江苏省2020届高三尖子生班3月调研考试数学试题含附加题(共18页)

1、2020届高三尖子生班3月调研考试数学试题 注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求.1. 本试卷包含填空题（第1题-第14题）、解答题（第15题-第20题）.本卷满分160 分 考试时间为120分钟.2. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在规定位置.3. 请在答题卡上按顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色签字笔.注意字体工整，笔记清楚.4. 如需作图，需用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.5. 保持答题卡卡面清洁，勿折叠、破损.一律不准用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔数学（一） 2020.3一、填

2、空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分请把答案写在答题卡相应位置上1已知集合，则= 2在“一带一路”（英文：The Belt and Road，缩写B&R）知识问答竞赛中，“江苏”代表队的七名选手的比赛成绩的茎叶统计图如图所示，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的方差为 3复数z满足，i为虚数单位，为复数z的共轭复数，则复数的模为 4 随机掷出5个标准的骰子，得到5个点数之和是11的概率为 5 执行如图所示的算法流程图，则输出的a的值是 6 曲线与的四个交点所在圆的方程是 7 已知，则的值是 8 在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD上.若，则 的最小值是 9 设椭圆）

3、的左焦点为，过椭圆上一点作椭圆的切线交y轴于点若,则此椭圆的离心率为 10在正方体盒子里放入四个半径为1的球，恰好使得两个球在下方，另外两个在上方，每个球都和其他球相切，且它们都和正方体的三个面相切.则这个正方体的棱长为 11已知函数在区间上最大值为2，正数= 12定义数列，先给出，接着复制该项，再添加1的后继数2，于是，接下来再复制前面所有项，之后再添加2的后继数3，如此继（1,1,2,1,1,2,3,1,1,2,1,1.）设是的前n项和，则= 13 已知，分别为其左右焦点，为上任意一点，为 平 平分线与x轴交点，过作垂线，垂足分别为M,N,求的最大值 14 已知，且， 则的最大值为 二、解

4、答题：本大题共6小题，共90分.解答时需写出文字说明、证明过程或演算步骤.15（本小题满分14分）如图，已知四点共面，且, ,. （1） 求；（2） 求.16.（本题满分14分）如图,在多面体中，四边形是菱形，相交于点,平面平面,是中点.(1) 求证：直线平面(2) 求证：直线平面17 （本题满分14分）如图，河的两岸分别有生活小区和，其中三点共线，与的延长线交于点，测得若以所在直线分别为 x，y轴建立平面直角坐标系xy，则河岸可看成是曲线（其中是常数） 的一部分，河岸可看成是直线（其中k，m为常数）的一部分.(1) 求的值(2) 现准备建一座桥,其中M,N分别在DE,AC上，且,的横坐标为t

5、.写出桥的长关于t的函数关系式，并标明定义域；当t为何值时取到最小值?最小值是多少?18 （本题满分16分）平面直角坐标系中，点是椭圆上任一点，直线截所得的弦MN被OP平分且（1） 判断四边形OMPN的形状；（2） 求PM与的公共点数.19 （本题满分16分）已知函数（）.（1）若，求函数在处的切线方程；（2）若有两个不同的零点.求的取值范围；证明:当时，20 （本题满分16分）今有一个“数列过滤器”，它会将进入的无穷非减正整数数列删去某些项，并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非减正整数数列，每次“过滤”会删去数列中除以M余数为N的项，将这样的操作记为操作。设数列是无穷非减正整数数列

6、。（1） 若，进行操作后得到，设前n项和为求.是否存在，使得成等差？若存在，求出所有的；若不存在，说明理由.（2）若，对进行与操作得到，再将中下标除以4余数为0，1的项删掉最终得到证明：每个大于1的奇平方数都是中相邻两项的和.2020届高三尖子生班3月调研考试数学试题数学（二）附加题 2020.0注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求.6. 本试卷包含填空题（第1题-第14题）、解答题（第15题-第20题）.本卷满分160 分 考试时间为120分钟.7. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在规定位置.8. 请在答题卡上按顺序在对应的答题区域内作答，在

7、其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色签字笔.注意字体工整，笔记清楚.9. 如需作图，需用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.10. 保持答题卡卡面清洁，勿折叠、破损.一律不准用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔21 选做题（在A、B、C三小题中选做2题，若多做按前两题计分，每小题10分，计20分请把答案写在答题纸的指定区域内.）A （选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵，向量，计算B （选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），求直线被截得的弦的长度.C.（选修4-5：不等式选讲）已知为

8、正数，且，求证.必做题（第22、23题，每小题10分，计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内）22 （本小题满分10分）（第22题）如图，在三棱锥中，且，分别为 中点，平面，（1）求直线与直线夹角的余弦值；（2）求直线与平面夹角的正弦值23 （本小题满分10分）（1） 设数列满足,用数学归纳法证明.（2）证明：对任意自然数，都有2020届高三尖子生班3月调研考试数学试题 数学（一）（参考答案） 2020.3一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分请把答案写在答题卡相应位置上1已知集合，则= 2在“一带一路”（英文：The Belt and Road，缩写B&R）知识问答竞赛

9、中，“江苏”代表队的七名选手的比赛成绩的茎叶统计图如图所示，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的方差为 3复数z满足，i为虚数单位，为复数z的共轭复数，则复数的模为 5 随机掷出5个标准的骰子，得到5个点数之和是11的概率为 8 执行如图所示的算法流程图，则输出的a的值是 129 9 曲线与的四个交点所在圆的方程是 10 已知，则的值是 8 在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD上.若，则 的最小值是 15 9 设椭圆）的左焦点为，过椭圆上一点作椭圆的切线交y轴于点若,则此椭圆的离心率为 10在正方体盒子里放入四个半径为1的球，恰好使得两个球在下方，另外两个在上方，每个球都和其他球相

10、切，且它们都和正方体的三个面相切.则这个正方体的棱长为 11已知函数在区间上最大值为2，正数= 或 3 12定义数列，先给出，接着复制该项，再添加1的后继数2，于是，接下来再复制前面所有项，之后再添加2的后继数3，如此继（1,1,2,1,1,2,3,1,1,2,1,1.）设是的前n项和，则= 3990 14 已知，分别为其左右焦点，为上任意一点，为 平 平分线与x轴交点，过作垂线，垂足分别为M,N,求的最大值 15 已知，且， 则的最大值为 二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答时需写出文字说明、证明过程或演算步骤.15（本小题满分14分）如图，已知四点共面，且, ,. （3） 求；（4）

11、 求. 解：（1）在中，因为，所以由正弦定理知，所以 5分（2）在中，由余弦定理知，故，解得或（舍）8分由已知得是锐角，又，所以.所以11分在中，由余弦定理知，解得14分16.（本题满分14分）如图,在多面体中，四边形是菱形，相交于点,平面平面,是中点.(3) 求证：直线平面(4) 求证：直线平面20 （本题满分14分）如图，河的两岸分别有生活小区和，其中三点共线，与的延长线交于点，测得若以所在直线分别为 x，y轴建立平面直角坐标系xy，则河岸可看成是曲线（其中是常数） 的一部分，河岸可看成是直线（其中k，m为常数）的一部分.(3) 求的值(4) 现准备建一座桥,其中M,N分别在DE,AC上，

12、且,的横坐标为t.写出桥的长关于t的函数关系式，并标明定义域；当t为何值时取到最小值?最小值是多少? （1）解：由题意得：OD=BC=4，OB=FC， D（0， ），E（3，4），A（ ，0），C（ ，4），把D（0， ），E（3，4）代入y= 得： ，解得：a=4，b=7，把A（ ，0），C（ ，4）代入y=kx+m得： ，解得：k= ，m=2（2）解：由（1）得：M点在y= 上， M（t， ），t0，3，桥MN的长l为MN到直线y= x2的距离，故l=f（x）= = |4t+ 9|，t0，3；由得：f（t）= |4t+ 9|= |4（t4）+ +7|，而t40， 0，4（t4）+ 2 =1

13、2，当且仅当4（t4）= 时即t=  “=”成立，f（t）min= |12+7|=1答：当t=时取到最小值，为1km21 （本题满分16分）平面直角坐标系中，点是椭圆上任一点，直线截所得的弦MN被OP平分且（3） 判断四边形OMPN的形状；（4） 求PM与的公共点数.（1） 解：联立直线与C2：得， 设，则. ,MN=,又k，相减化简得,即.又，化简得：.再设，由.而，故t=1.设0到MN的距离为，则，即O,P到MN的距离相等，故OP被MN平分，所以OMPN是平行四边形.（2）解： 由上一问知，所以，化简得，故，所以，得.显然，故PM与C2相切，公共点数为122 （本题满分16分）已

14、知函数（）.（1）若，求函数在处的切线方程；（2）若有两个不同的零点.求的取值范围；证明:当时，（1） 解：解：易知a=0时，只有一个零点，舍去.当时，的零点即为的零点.当时，单调，至多一个零点，舍去.当时，在增，在减，在增，又,此时至多一个零点，舍去.当时，图像连续而不间断，故有两个零点.当时，在增，在减，在增，同理知只需，图像连续而不间断，故有两个零点.综上所述，.解：由上一问知此时令，则，又注意到，则.由题意知，且，结合单调性知，故，化简得：，同理可得，联立两式得：，由，化简即得欲证不等式.24 （本题满分16分）今有一个“数列过滤器”，它会将进入的无穷非减正整数数列删去某些项，并将剩下

15、的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非减正整数数列，每次“过滤”会删去数列中除以M余数为N的项，将这样的操作记为操作。设数列是无穷非减正整数数列。（2） 若，进行操作后得到，设前n项和为求.是否存在，使得成等差？若存在，求出所有的；若不存在，说明理由.（2）若，对进行与操作得到，再将中下标除以4余数为0，1的项删掉最终得到证明：每个大于1的奇平方数都是中相邻两项的和.（1） 解：由知：当时，故. 则. 解：假设存在，由单调递增，不妨设 化简得，显然左式为偶数，右式为奇数，矛盾，故不存在.(5) 解：易知，所以保留，则.又，将删去，得到，则也即.记，下面证明：.由，知：，同理可得：，合并以上四式

16、，便证明了对任意的，都有.因此，原命题得证.2020届高三尖子生班3月调研考试数学试题数学（二）附加题(参考答案) 2020.025 选做题（在A、B、C三小题中选做2题，若多做按前两题计分，每小题10分，计20分请把答案写在答题纸的指定区域内.）C （选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵，向量，计算解：因为，由，得或 2分当时，对应的一个特征向量为；当时，对应的一个特征向量为 5分设，解得,所以 10分D （选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），求直线被截得的弦的长度.解：的方程化为，两边同乘以，得由,得5分其圆心坐标为，半径,又直线的普通方程为,圆心到直线的距离,弦长10分C.（选修4-5：不等式选讲）已知为正数，且，求证.解：已知为正数，且，故有 故.必做题（第22、23题，每小题10分，计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内）26 （本小题满分10分）（第22题）如图，在三棱锥中，且，分别为 中点，