高等数学-第七版-课件-12-1级数的收敛性分解

1、 级数是数学分析三大组成部分之一，是逼近理论的基础，是研究函数、进行近似计算的一种有用的工具. 级数理论的主要内容是研究级数的收敛性以及级数的应用.1 级数的收敛性数学分析 第 十二章数项级数数学分析 第十二章 数项级数高等教育出版社1 级数的收敛性级数的收敛性有限个实数有限个实数 u1, ,u2,un 相加后还是一个实数，相加后还是一个实数，“无限个实数相加无限个实数相加”会有什么结果呢？会有什么结果呢？到到庄子庄子天下篇天下篇“一尺之棰一尺之棰, ,日取其半日取其半, ,万世不竭万世不竭”的例中的例中, ,231111,2222n由于前由于前 n 项相加的和是项相加的和是 112n ，个数

2、相加个数相加”的结果应该是的结果应该是1. .相加相加”的表达式的表达式 那么那么如在第二章提如在第二章提可以推测这可以推测这“无限无限又如下面由又如下面由“无限个数无限个数 后退 前进 目录 退出将每天截下那一部分的长度将每天截下那一部分的长度“加加”起来是起来是: : 数学分析 第十二章 数项级数高等教育出版社1 级数的收敛性级数的收敛性中，中，(11)(11)(11)000,结果肯定是结果肯定是0，1( 1)1( 1)11000,则结果是则结果是1. .问题问题:“无限个数相加无限个数相加”是否存在是否存在“和和”;“和和”等于什么等于什么? ? 简单地与有限个数相加作简单的类比简单地与

3、有限个数相加作简单的类比, ,需要建立新需要建立新 的理论的理论. . 1( 1)1( 1)如果将其写作如果将其写作而写作而写作两个结果的不同向我们提出了两个基本两个结果的不同向我们提出了两个基本 如果存在如果存在,由此可见由此可见,“无限个数相加无限个数相加”不能不能数学分析 第十二章 数项级数高等教育出版社1 级数的收敛性级数的收敛性定义1称为常数项级数或数项级数称为常数项级数或数项级数( (常简称级数常简称级数),),称为数项级数称为数项级数(1)的通项或一般项的通项或一般项. . 1nnu.nu常记为常记为，在不致误解时可简记为，在不致误解时可简记为数项级数数项级数(1)的前的前n项之

4、和记为项之和记为 121,(2)nnknksuuuu称为数项级数称为数项级数(1)的第的第 n 个部分和个部分和, ,也简称部分和也简称部分和. .给定一个数列给定一个数列un, 将其各项依次用将其各项依次用“+”+”号号连接连接起来的表达式起来的表达式12(1)nuuu数项级数数项级数(1)也也其中其中 un 数学分析 第十二章 数项级数高等教育出版社1 级数的收敛性级数的收敛性定义2 limnnss(即即 ), 则称数项级数则称数项级数(1)收敛收敛, 项级数项级数(1)的和的和, ,记作记作 例例1 讨论等比级数讨论等比级数( (也称几何级数也称几何级数) )2(3)naaqaqaq的收

5、敛性的收敛性(a0).若若 是发散数列是发散数列, ,则称数项级数则称数项级数(1)发散发散. .ns若数项级数若数项级数(1)的部分和数列的部分和数列ns收敛于收敛于 ss 称为数称为数,21nuuus1.nnsu或或数学分析 第十二章 数项级数高等教育出版社1 级数的收敛性级数的收敛性解解 q1时时, , 级数级数(3)的第的第 n 个部分和为个部分和为 此时级此时级 数数(3)收敛收敛,其和为其和为.1-aq(iii)1,.nqsna当当时时级级数数发发散散1,q当当时时 20,ks1nnaqaqas.11qqanqqasqnnnn11limlim1) i (时，时，当当.1qa,lim

6、1)ii(nnsq时，时，当当.3 ）发散）发散此时级数（此时级数（21,0, 1, 2,ksa k .级数发散级数发散2(3)naaqaqaq1,(3);q时时 级级数数收收敛敛1,q时时综合起来得到综合起来得到: 级级 数数(3)发散发散. . 数学分析 第十二章 数项级数高等教育出版社1 级数的收敛性级数的收敛性例例2 讨论数项级数讨论数项级数111(4)1 22 3(1)n n的收敛性的收敛性. .解解 级数级数(4)的第的第n个部分和为个部分和为 1111223(1)nsn n1111112231nn11.1n数学分析 第十二章 数项级数高等教育出版社1 级数的收敛性级数的收敛性1l

7、imlim 11,1nnnsn由于由于 因此级数因此级数 (4) 收敛收敛, ,且其和为且其和为 1. 注注 由于级数由于级数(1)的收敛或发散的收敛或发散(简称敛散性简称敛散性), ,是由它是由它 的部分和数列的部分和数列ns来确定来确定, 数列数列ns的另一种表现形式的另一种表现形式. na, 如果把它看作某一数项级数的部分和数列如果把它看作某一数项级数的部分和数列, 则则这个数项级数就是这个数项级数就是 因而也可把级数因而也可把级数(1)作为作为反之反之, 任给一个数列任给一个数列数学分析 第十二章 数项级数高等教育出版社1 级数的收敛性级数的收敛性定理12.1（级数收敛的柯西准则）12

8、13211()()().(5)nnnnuaaaaaaana这时数列这时数列与级数与级数 (5) 具有相同的敛散性具有相同的敛散性, 收敛时收敛时, ,其极限值就是级数其极限值就是级数(5)的和的和. . na基于级数与数列的这种关系基于级数与数列的这种关系, ,可得下面有关级数的定理可得下面有关级数的定理. . 12.(6)mmmpuuu 且当且当级数级数(1)收敛的充要收敛的充要条件是条件是:任给正数任给正数, n总总存存在在正正整整数数，以及对任意以及对任意使得当使得当nm p的的正正整整数数都都有有数学分析 第十二章 数项级数高等教育出版社1 级数的收敛性级数的收敛性推论（级数收敛的必要

9、条件）任何正整数任何正整数n, ,总存在正整数总存在正整数 m0(n) 和和 p0，使得，使得0000120.(7)mmmpuuu 由定理由定理12.1立即可得如下推论立即可得如下推论. .若级数若级数(1)收敛收敛, ,则则 lim0.nnu注注 推论是级数收敛的一个必要条件推论是级数收敛的一个必要条件: :一般项不趋于一般项不趋于 零零, , 级数一定发散级数一定发散, , 收敛收敛. .写出级数写出级数(1)发散的充要条件是发散的充要条件是:0, 存存在在某某正正数数对对 根据定理根据定理12.1以及数列发散的充要条件，可以立刻以及数列发散的充要条件，可以立刻 但一般项趋于零但一般项趋于

10、零, 则级数未必则级数未必因此推论用来判断级数发散是很有效因此推论用来判断级数发散是很有效. . 数学分析 第十二章 数项级数高等教育出版社1 级数的收敛性级数的收敛性 1( 1)1( 1)例例3 讨论调和级数讨论调和级数111123n的敛散性的敛散性. . 解解 这里一般项这里一般项 ,10nun因此不能利用推论判断它因此不能利用推论判断它 是发散级数是发散级数. . 因为一般项因为一般项un=( )n-1 不趋于零，所以发散不趋于零，所以发散. . 1 如级数如级数下面利用柯西准则证明它是发散的下面利用柯西准则证明它是发散的. .数学分析 第十二章 数项级数高等教育出版社1 级数的收敛性级

11、数的收敛性为此令为此令 p = m, , 则有则有122111122mmmuuummm111222mmm1,201,2 故取故取对任何正整数对任何正整数 n 只要只要 m n 和和 p = m 就有就有(7)式成立式成立，因此调和级数因此调和级数 发散发散. . 11nn 数学分析 第十二章 数项级数高等教育出版社1 级数的收敛性级数的收敛性例例4 判断级数判断级数 111nnnnnnn 的敛散性的敛散性. 解解 因为因为 所以由级数收敛的必要条件知原级数发散所以由级数收敛的必要条件知原级数发散. . nnnnnnnnnnnnnnn111lim1limnnnnnn112211lim10数学分析

12、 第十二章 数项级数高等教育出版社1 级数的收敛性级数的收敛性例例5 运用级数收敛的柯西准则证明级数运用级数收敛的柯西准则证明级数 21n收敛收敛. .证证 由于由于 12mmmpuuu222111(1)(2)()mmmp 111(1)(1)(2)(1)()m mmmmpmp1111111121mmmmmpmp11mmp1.m数学分析 第十二章 数项级数高等教育出版社1 级数的收敛性级数的收敛性定理12.2当当mn及任意正及任意正 整数整数 p, ,由上式可得由上式可得 121,mmmpuuum 21n依级数收敛的柯西准则,知级数依级数收敛的柯西准则,知级数收敛收敛. ,nnuv若若级级数数与

13、与都都收收敛敛则对任意常则对任意常 数数c, , d，()nncudv级级数数亦收敛，且亦收敛，且().nnnncudvcudv因此因此, 0 对任意对任意,1 n可取可取数学分析 第十二章 数项级数高等教育出版社1 级数的收敛性级数的收敛性定理12.3注注 去掉、增加或改变级数的有限项虽不改变该级去掉、增加或改变级数的有限项虽不改变该级数的敛散性，但在收敛时，其和一般还是要变的数的敛散性，但在收敛时，其和一般还是要变的. . 由定理由定理12.3知知, , 1,nnu若级数收敛若级数收敛 其和为其和为s, ,12(8)lnnuu第第 n 个余项个余项( (简称余项简称余项),), 时所产生的

14、误差时所产生的误差. . 去掉、增加或改变级数的有限项并不改变去掉、增加或改变级数的有限项并不改变级数的级数的则级数则级数也收敛，也收敛，.nnssr且其和且其和的的式称为级数式称为级数nu)8(它表示以部分和它表示以部分和 sn代替代替s敛散性敛散性.数学分析 第十二章 数项级数高等教育出版社1 级数的收敛性级数的收敛性定理12.4在收敛级数的项中任意加括号在收敛级数的项中任意加括号, , 既不改变既不改变级数的级数的收敛性收敛性, ,也不改变它的和也不改变它的和. . ,.nus为为收收敛敛级级数数 其其和和为为nu下下面面证证明明加加证证 设设括号后的级数括号后的级数111()kknnk

15、uu收敛收敛, 11,kkknnvuu 则则11111().kknnnknkkuuuv且其和也是且其和也是.s,111nuuv为此，记为此，记,2112nnuuv,数学分析 第十二章 数项级数高等教育出版社1 级数的收敛性级数的收敛性注注 从级数加括号后的收敛从级数加括号后的收敛, ,不能推断它在未加括号不能推断它在未加括号 于是于是, 若若 为收敛级数为收敛级数nu的部分和数列的部分和数列, ns时也收敛时也收敛. . 例如例如 (11)(11)(11)0000,收敛收敛, , 但级数但级数 1 11 1 却是发散的却是发散的. .则级数则级数.kknnvss的的部部分分和和数数列列是是的的

16、一一个个子子列列由于由于lim.nnnsss收收敛敛, ,且且kns故故由由子子列列性性质质，也也收收敛敛，,limssknk且且.svk收敛，且它的和也等于收敛，且它的和也等于即级数即级数数学分析 第十二章 数项级数高等教育出版社1 级数的收敛性级数的收敛性例例6 判别下列级数判别下列级数的敛散性：的敛散性： 111111212131314141解解 考虑加括号的级数考虑加括号的级数111121213131114141其一般项其一般项112,111nunnn数学分析 第十二章 数项级数高等教育出版社1 级数的收敛性级数的收敛性由定理由定理12.212.2及例及例3 3知，级数知，级数发散，从

17、而原级数发散发散，从而原级数发散. .22112nnnnu112nn数学分析 第十二章 数项级数高等教育出版社1 级数的收敛性级数的收敛性*例例7 证明级数证明级数1213nnn收敛，并求其和收敛，并求其和.1213nnkkkslimnns证证 令令 ，若能求出，若能求出, 就能得到所就能得到所 要的结论要的结论. . 11112121333nnnnkkkkkkss111112121333nkkkkk1111112121333nnkkkkkk由于由于 1213nn数学分析 第十二章 数项级数高等教育出版社1 级数的收敛性级数的收敛性11111221333nknkn 12111121213333nknkn 12121,