2017-2018学年高中数学第2章统计2.3总体特征数的估计2.3.2方差与标准差教学

1、2. 3.2 方差与标准差谍前门王学习.基稳才能搂商预习课本 P6971，思考并完成以下问题1.什么叫一组数据的极差、方差、标准差?新知初探1.极差、方差、标准差(1)极差：一组数据的最大值与最小值的差.,Xn,其平均数为X,则称S2=(Xi-X)2为这个样本n= 12.方差与标准差的作用A标准差与方差描述一组数据围绕平均数波动的大小，标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小.方差、标准差刻画了一组数据的稳定程_VA /度.少 S答案：762._ 一组数据 1,2,3,4 ,a的平均数是 3,则数据的方差为 _ ,标准差为 _答案：223.若 1,2,3 ,X

2、的平均数是 5,而 1,3,3 ,X,y的平均数是 6,贝 U 1,2,3 ,X,y的方差2 .一组数据的方差和标准差具有什么作用?(2)方差与标准差：设一组样本数据X1,X2,小试身手A、,方差为的方差，其算术平方根为样本的标准差.21 + 2+ 3+X解析：由 5 =4 得X= 14.同理y= 9.3212 2 2 2 2 2由s= (1 + 2 + 3 + 14 + 9 ) 5.8 = 24.56. 5答案：24.564分散性小或者样本数据集中稳定.课堂讲练设计.举一能他类题方差、标准差的计算及应用典例甲、乙两机床同时加工直径为100 cm件测量，数据(单位：cm)为：甲：99 100

3、98 100 100 103;乙：99 100 102 99 100 100.(1) 分别计算两组数据的平均数及方差；(2) 根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定.解(1)匚甲=舟(99 + 100 + 98 + 100+ 100 + 103) = 100,6X乙=*(99 + 100 + 102+ 99 + 100 + 100) = 100.212 2 2 2 2$甲=(99 100) + (100 100) + (98 100) + (100 100) + (100 100) + (103 627100) = 3.212 2 2 2 2$乙=(99 100) + (100 100)

4、 + (102 100) + (99 100) + (100 100) + (100 6100)2 = 1.(2)两台机床所加工零件的直径的平均数相同，又S甲S乙,所以乙机床加工零件的质量更稳定.(1) 方差常用计算公式有两个21 -2 - 2 - 21基本公式S=门(X1X) + (X2X) + (XnX)1 一 12简单计算公式：s2= #(x2+x2+X2) nX2或写成s2=-(X?+x2+X2)X2,即方差等于原数据平方和的平均数减去平均数的平方.(2) 在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，因此还要研究样本数据偏离平均数的离散程度(即方差或标准差)，标准差大说明样本数据分散性大

5、，标准差小说明样本数据的零件=293,5活学活用某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品, 称其重量（单位：g）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据茎叶图如下图：屮乙根据样本数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对稳定.解：设甲、乙两个车间产品重量的均值分别为x甲、x乙，方差分别为S甲、S乙，则 7甲=122+114+113111+111+107= 113,+ 血+112工115+108+109= 113,21S甲= 6【(122 113) + (114 113) + (113 113) + (111 113) + (1

6、11 113) + (107 2113)=21,21$乙=6【(124 113) + (110 113) + (112 113) + (115 113) + (108 113) + (109 2113)1由于S甲VS乙，所以甲车间的产品的重量相对稳定方差的性质6典例设数据Xi,X2,，Xn的方差为s2,2 2=as.求下列各组数据的方差.7(2)axi,ax2,，axn；数据axi,ax2,，axn的平均数为a x, 数据axi+b,ax2+b,，axn+b的平均数为设数据xi+b,X2+b,，xn+b的方差为数据axi,ax2,，axn的方差为s2,数据axi+b,ax2+b,，axn+b的

7、方差为i一一(i)s2= #(xi+b-x-b)2+ (X2+b-x-b)2+i22=n( Xi-x)+(X2-x) +i2(2)s=#( axi-a x) + (ax2-a x) +(axn-a x)、2,、2.2 2X2-x) + (Xn-x) =as,axi+b-a xb)2+ (ax2+b-a xb)2+ (axn+b-a xb)2 、丁i2 22=#( axi-a x) + (ax2-a x) + (axn-a x)2i222=an【(xix)+(X2-x)+(Xn-x)(i)数据xi,X2,，xn与数据xi+b,X2+b,，xn+b的方差相等；若xi,X2，Xn的方差为s2，贝Ua

8、xi,ax2,，axn的方差为a2s2；X1+b,X2+b,Xn+b；(3)axi+b, ax2+,axn+b.解设数据Xi,X2,Xn的平均数为X,则数据xi+b,X2+b,- ,Xn+b的平均数为x+b,=a2$(xi-7)2+ (s2= *( r-+b,a x+(Xn+bxb)8(3)若xi,X2,，xn的方差为s2 3,贝Uaxi+b,ax2+b,，axn+b的方差为a2s2.反映了方差的性质，利用这些性质可比较方便地求一些数据的方差.活学活用1.已知一组数据xi,X2,，X8的平均数是 2,方差为 6，则数据Xi 1,x2- 1,X8 1 的平均数是 _ ，方差是 _答案：162已知

9、一组数据X1,X2,，Xn的平均数是一 2，方差是 4,则数据 2X1+ 3,2X2+ 3，,2Xn+ 3 的平均数是 _，方差是 _答案：116典例(广东高考)某工厂 36 名工人的年龄数据如下表工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄1401036192728342441131204329393401238214130434411339223731385331443233432426401545244233537451639253734378421738264435492用系统抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽 到的年龄数据为 44,列出样

10、本的年龄数据.3计算(1)中样本的均值 匚和方差S2.36 名工人中年龄在xs与x+s之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)?解(1)36 人分成 9 组，每组 4 人，其中第一组的工人年龄为44,所以它在组中的编统计图表中的方差问题994318362742363910号为 2,所以所有样本数据的编号为4n2(n= 1,2，9),(1)解决统计图表中的方差问题的基本方法是从图表中读取数据后，再利用方差含义求出方差.(2)利用组中值求出的方差为近似值，往往与实际数据得出的不一致，但它能粗略估计方差.活学活用从某企业生产的某种产品中抽取100 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量

11、结果1 I其年龄数据为：44,40,36,43,36,37,44,43,37.44 + 40+-+ 379由方差公式知：s2=9(44 40)2+ (40 40)2+ (37 40)2 =9.所以 36 名工人中年龄在xs和x+s之间的人数等于年龄在区间37,43 上的人数,即 40,40,41，39,共 23 人.所以 36 名工人中年龄在xs和x+s之间的人数所占的百分比为2336X 100展呢89%.得如下频数分布表：质量sAz.指标值匕分组75,85)185,95)95,105)105,115)115,125频数62638228(2)由均值公式知:=40,因为s2=孚，s=10(1)在

12、下表中作出这些数据的频率分布直方图:11阳 眄時1105 115 125(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95 的产品至少要占全部产品的80%的规定？解：如图所示：(2)质量指标值的样本平均数为x=80X0.06+90X0.26+100X0.38+110X0.22+120X0.08=100.质量指标值的样本方差为s2=(20)2X0.06+(10)2X0.26+0X0.38+102X0.22+202X0.08=104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100,

13、方差的估计值为 104.(3)质量指标值不低于 95 的产品所占比例的估计值为0. 38+ 0.22 + 0.08 = 0.68.由于该估计值小于 0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%的规定.层级一学业水平达标1.给出下列说法：一组数据不可能有两个众数；一组数据中的方差必须是正数；厂尸rL.rL.ILJ.卜l-i卜lr rT+J-T+J- TTXTTX 斗-II-IIT TJ-+J-+十-1-11 1T T+ + -II-II节寸丄|课后层级训练岀I*J.I*J.寸丄T+T+.亠aaaftaaaaaaaaaftaaaaaaaaaftaa

14、aaaaaaaftaaaaaaaCLdaCLd daCLa.CLaOLd(La0.L(Laftd-ddaCLa.CLaOLd(La0.S3S2.故填SiS3答案：SiS3S29对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6 次测试，测得他们的最大速度（m/s）的数据如下表：甲273830373531乙332938342836（1）画出茎叶图，由茎叶图你能获得哪些信息？（2）分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度（m/s）数据的平均数、中位数、标准差，并判断选谁参加比赛更合适.解：（1）画茎叶图如图所示，中间数为数据的十位数 .if-J护I51:IB8从这个茎叶图中可以看出，甲、乙的得分情况都是分布均匀的，只是乙更好一些；乙的19中位数是 33.5，甲的中位数是 33.因此，乙发挥比较稳定，总体得分情况比甲好.(2)可求x甲=33,x乙=33,s甲 3.96 ,s乙 3.56 ,甲的中位数是 33，乙的中位数是 33.5，综合比较，乙参加比赛较合适.10.总体的各个个体的值由小到大依次为2,3,3,7 ,a,b,12,13.