数字电子技术基础逻辑代数基础ppt课件

1、第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础2.1 2.1 概述概述2.2 2.2 逻辑代数中的三种基本运算逻辑代数中的三种基本运算2.3 2.3 逻辑代数的公式逻辑代数的公式2.4 2.4 逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理2.5 2.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法2.6 2.6 逻辑函数的简化逻辑函数的简化 1 1、熟练掌握逻辑代数的基本定理、基、熟练掌握逻辑代数的基本定理、基本规则和常用公式；本规则和常用公式； 2 2、熟练掌握逻辑函数的表示方法；、熟练掌握逻辑函数的表示方法；3 3、熟练掌握逻辑函数的代数化简法和、熟练掌握逻辑函数的代数化简法和卡诺图化简法。卡诺图化简法。逻辑

2、函数的化简。逻辑函数的化简。数字电路又称逻辑电路。数字电路又称逻辑电路。逻辑电路的研究工具：逻辑电路的研究工具：逻辑变量：用字母逻辑变量：用字母A A、B B、C C 等表示。是二值变量。等表示。是二值变量。逻辑常量：逻辑常量：0 0和和1 1，中间值没有意义。，中间值没有意义。 0 0和和1 1只表示两个对立的逻辑状态，如：电位的高低、只表示两个对立的逻辑状态，如：电位的高低、开关的开关等。开关的开关等。逻辑运算：逻辑变量及常量之间逻辑状态的推理运算。逻辑运算：逻辑变量及常量之间逻辑状态的推理运算。布尔代数逻辑代数布尔代数逻辑代数/ /开关代数）。开关代数）。1 1、“与逻辑与逻辑A、B条件

3、都具备时，事件条件都具备时，事件F才发生。才发生。 逻辑符号：逻辑符号：ABF000010001111 真值表：真值表： 逻辑表达式：逻辑表达式：F=AB（2 2）“或逻辑或逻辑A、B只要有一个条件具备，事件只要有一个条件具备，事件F就发生。就发生。B 1AFABF000110101111 真值表：真值表： 逻辑表达式：逻辑表达式：F=A+B 逻辑符号：逻辑符号：（3 3）“非逻辑非逻辑A条件具备时条件具备时 ，事件，事件F不发生；不发生；A条件不具备时，事件条件不具备时，事件F 发生。发生。AEFRAFAFAF 或或 真值表：真值表： 逻辑表达式：逻辑表达式： 逻辑符号：逻辑符号：AF011

4、0与非：与非：条 件条 件 A 、 B都具备，则都具备，则F不发生。不发生。或非：或非：条件条件A、B任一具备，任一具备，则则F不不 发生。发生。ABF100110101011ABF100010001011)(BAF)(BAF与或非与或非AB=1或或CD=1时时,F=0； AB=0且且CD=0 时时,F=1；)(CDABF异或运算异或运算ABY1 01 10 10 01100ABY1 01 10 10 00011同或运算同或运算BAABBAY)(BAY= A BABBA2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式2.3.1 基本公式2.3.2 常用公式2.3.1 基本公式 根据与、或、非的定义，得表2

5、.3.1的布尔恒等式序号序号公公 式式序号序号公公 式式10 1 = 0; 0= 110 A = 0111 + A= 121 A = A120 + A = A3A A = A13A + A = A4A A= 014A + A = 15A B = B A15A +B = B + A6A (B C) = (A B) C16A + (B +C) = (A + B) + C7A (B +C) = A B + A C17A + B C = (A +B)(A +C)8(A B) = A + B18(A+ B) = AB9(A ) = A证明方法：推演 真值表与普通代数相似的公式与普通代数相似的公式交换律交

6、换律ABBA ABBA 结合律结合律)()(CBACBA )()(CBACBA 分配律分配律ACABCBA )()( )(CABABCA 例例 2. 3. 1 2. 3. 1 证明证明公式公式)(CABABCA 解解 方法一：公式法方法一：公式法CBBACAAACABA )(右右式式BCABACA BCBCA )1(左左式式 BCA普通代数普通代数不适用不适用! 证明公式证明公式)(CABABCA 方法二：真值表法方法二：真值表法 (将变量的各种取值代入等式将变量的各种取值代入等式两边，进行计算并填入表中两边，进行计算并填入表中) A B CCB BCA BA CA )(CABA 0 0 00

7、 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100 0 1 0 0 0 1 000111110001111100 1 1 1 1 1 1 01 0 1 1 1 1 1 相等相等逻辑代数的一些特殊公式逻辑代数的一些特殊公式BABA)(BABA )(同一律同一律A + A = AA A = A还原律还原律AA )( 例例 证明：证明：德德 摩根定理摩根定理 A B 0 0 0 1 1 0 1 1BA )(BA00 0 1 1110A BBA11 0 0 10101110)( BABA BA 011110001000相等相等相等相等德德 摩根定理摩根定理2.3.2 若干常用公式

8、序 号公 式21A + A B = A22A +A B = A + B23A B + A B = A24A ( A + B) = A25A B + A C + B C = A B + A CA B A C + B CD = A B + A C26A (AB) = A B ; A (AB) = A 2.3.2、若干常用公式、若干常用公式BAAB (1)ABA (2)BAA (3)CAABBCCAAB (4)ABBABABA)( (5)AAA ) ()(BBA)1(BA )(BAAAA A BA 推行推行长中含短，长中含短，留下短。留下短。长中含反，长中含反，去掉反。去掉反。正负相对，正负相对，余

9、全完。余全完。 BCAACAAB)(左BCAABCCAABCAAB公式公式 (4) 证明：证明：CAABBCDCAAB推论推论ABBABABA)()()( BABA左)()(BA BABBABBAAA ABBA公式公式 (5) 证明：证明：即即)( BA= A B同理可证同理可证CAABBCCAAB AABA BA A B 将将Y 式中式中“.”换成换成“+”,“+”换成换成“.” “0换成换成“1”,“1换成换成“0” 原变量换成反变量，反变量换成原变量原变量换成反变量，反变量换成原变量2.4 逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理1. 代入定理：代入定理：等式中某一变量都代之以一个逻等式中某

10、一变量都代之以一个逻辑函数，则等式仍然成立。辑函数，则等式仍然成立。例如，知例如，知BABA )( (用函数用函数 A + C A + C 替代替代 A)A)那么那么BCABCABCA )()(2. 反演定理：反演定理：不属于单个变量上的反号应保留不变不属于单个变量上的反号应保留不变运算顺序：括号运算顺序：括号 乘乘 加加留意留意:Y例如：知例如：知 )( 1CDCBAY )C ( ) (1DCBAYCDCBAY)( 2CDCBAY )(2反演定理的应用：求逻辑函数的反函数反演定理的应用：求逻辑函数的反函数那那么么 将将 Y 式中式中“.”换成换成“+”,“+”换成换成“.” “0换成换成“1

11、”,“1换成换成“0” 原变量换成反变量，反变量换成原变量原变量换成反变量，反变量换成原变量知知那那么么运算顺序：运算顺序：括号括号 与与 或或不属于单个变量上不属于单个变量上的反号应保留不变的反号应保留不变Y留意留意括号括号3. 对偶定理：对偶定理：如果两个表达式相等，则它们的对如果两个表达式相等，则它们的对偶式也一定相等。偶式也一定相等。将将 Y 中中“. ”换成换成“+”,“+”换成换成“.” “0” 换成换成“1”,“1换成换成“0” )()(1DC BCAYD )( 1CDCBAY CDCBAY)( 2CDCBAYD )(2例如例如对偶规则的应用：证明等式成立对偶规则的应用：证明等式

12、成立 ) ( 对偶式DY运算顺序：运算顺序：括号括号 与与 或或 1 1、逻辑函数的定义、逻辑函数的定义输入逻输入逻辑变量辑变量输出逻输出逻辑变量辑变量一一对应一一对应任何一种因果关系都可以用逻辑函数来表示。任何一种因果关系都可以用逻辑函数来表示。输入和输出变量的取值只能是输入和输出变量的取值只能是0或或1。2.5.1 逻辑函数逻辑函数例：举重裁判的例子：设有三个裁判，分别用例：举重裁判的例子：设有三个裁判，分别用A,B,CA,B,C表示，其中表示，其中A A是主裁判。规定至少有两个裁判确认是主裁判。规定至少有两个裁判确认其中必须包含主裁判时，运动员的试举才算成功。其中必须包含主裁判时，运动员

13、的试举才算成功。2 2、逻辑函数的建立、逻辑函数的建立当用当用Y表示举重结果时，表示举重结果时，Y与与A,B,C的逻辑关系可表示为：的逻辑关系可表示为：Y=F(A,B,C) =A(B+C) 真值表 逻辑式 逻辑图 波形图 卡诺图 计算机软件中的描述方式 各种表示方法之间可以相互转换2.5.2 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法真值表输入变量A B C输出Y1 Y2 遍历所有可能的输入变量的取值组合输出对应的取值 逻辑式 将输入/输出之间的逻辑关系用与/或/非的运算式表示就得到逻辑式。 逻辑图 用逻辑图形符号表示逻辑运算关系，与逻辑电路的实现相对应。 波形图 将输入变量所有取值可能与对应输出按

14、时间顺序排列起来画成时间波形。 卡诺图 EDA中的描述方式 HDL (Hardware Description Language) VHDL (Very High Speed Integrated Circuit ) Verilog HDL EDIF电子设计交换格式，Electronic Design Interchange Format ） DTIF数字试验交换格式Digital Test Interchange Format ） 。 举例：举重裁判电路A B CY0 0 000 0 100 1 000 1 101 0 001 0 111 1 011 1 11)(CBAY 各种表现形式的相互

15、转换：各种表现形式的相互转换： 真值表 逻辑式 例：奇偶判别函数的真值表 A=0,B=1,C=1使 ABC=1 A=1,B=0,C=1使 ABC=1 A=1,B=1,C=0使 ABC =1 这三种取值的任何一种都使Y=1, 所以 Y= ? A B CY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100010110真值表 逻辑式：找出真值表中使 Y=1 的输入变量取值组合。每组输入变量取值对应一个乘积项，其中取值为1的写原变量，取值为0的写反变量。将这些变量相加即得 Y。把输入变量取值的所有组合逐个代入逻辑式中求出Y，列表 逻辑式 逻辑图 1. 用图形符号代替逻

16、辑式中的逻辑运算符。)(CBAY 逻辑式 逻辑图 2. 从输入到输出逐级写出每个图形符号对应的逻辑运算式。 )( BAB)(BAA)()( BABABABABABABABABA )()()( 波形图 真值表Q3Q2Q1Y0000001001000110100010101101一、最小项和最大项一、最小项和最大项 1. 1. 最小项最小项 m m最小项之和最小项之和- 标准与或式标准与或式 最大项之积最大项之积- 标准或与式标准或与式m是乘积项包含n个因子n个变量均以原变量和反变量的形式在m中出现一次最小项特点：最小项特点： 包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或包括所有变量的乘积项，每个变

17、量均以原变量或反变量的形式出现一次。反变量的形式出现一次。) ( A ,B FY ( 2 ( 2 变量共有变量共有 4 4 个最小项个最小项) )BA BABA AB) (A ,B ,C ,DFY ( 4 ( 4 变量共有变量共有 16 16 个最小项个最小项) )( n ( n 变量共有变量共有 2n 2n 个最小项个最小项) )DCBADCBADABC ABCDDCBA) ( A ,B ,CFY ( 3 ( 3 变量共有变量共有 8 8 个最小项个最小项) )CBACBACBABCACBACBA CAB ABC最小项的编号：最小项取值对应编号A B C十进制数0 0 0 0m00 0 1

18、1m10 1 0 2m20 1 1 3m31 0 0 4m41 0 1 5m51 1 0 6m61 1 1 7m7ABCCABCBACBABCACBACBACBA对应规律：原变量对应规律：原变量 1 1 反变量反变量 0 01 CBA1 CBA对应规律：对应规律：1 1 原变量原变量 0 0 反变量反变量 最小项的性质：最小项的性质：00000001000000100000010000001000000100000010000001000000100000000 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1A B CCBACBA CBABCACBACBA CAB ABC(1) 任一最小项，只有一组对应变量取值使其值为任一最小项，只有一组对应变量取值使其值为 1 ；A B C 0 0 1A B C 1 0 1(2) 任意两个最小项的乘积为任意两个最小项的乘积为 0 ；(3) 全体最小项之和为全体最小项之和为 1 。（4具有相邻性的两个最小项可以合并，并消去一对因子。具有相邻性的两个最小项可以合并，并消去一对因子。只有一个因子不同的两个最小项是具有相邻性的最小项。只有一个因子不同的两个最小项