数列创新题的基本类型及求解策略(含答案)

1、精品资料数列创新题的基本类型及求解策略高考创新题，向来是高考试题中最为亮丽的风景线这类问题着重考查观察发现，类比转化以及运用数学知识，分析和解决数学问题的能力当然数列创新题是高考创新题重点考查的一种类型下举例谈谈数列创新题的基本类型及求解策略一、创新定义型例 1 已知数列 an 满足 anlog n 1 (n2) （ n N），定义使 a1a2a3 Lak 为整数的数叫做企盼数，则区间1, 2005 内所有的企盼数的和M_解： anlog n 1(n2) （ nN ）， a1a2 a3 .aklog 2 3log 3 4Llog k1 (k 2)log2 (k2)要使 log 2 ( k2)

2、为正整数，可设k( n)22n 1 ，即 k(n) 2n 12 （ nN ）令1 2n 12 20051 n 9 （ nN ）则区间 1, 2005 内所有企盼数的和99(2 n 1(2 2(232) (24(210Mk(n)2)2)2) .2)n 1n 1(2 22324. 210 )2922 (291) 182056 ，21 M2056 评析：准确理解企盼数的定义是求解关键解题时应将阅读信息与所学知识结合起来，侧重考查信息加工能力二、性质探求型nn1,2,3,4,5,6例 2 已知数列 an 满足 anan 3，则 a2005 _n 7解：由 anan 3 ， n 7 知， an6an 3

3、an 从而当 n 6 时，有 an an 6 ，于是知 a2005a334 6 1a1 1 评析：本题主要通过对数列形式的挖掘得出数列特有的性质，从而达到化归转化解决问题的目的其中性质探求是关键三、知识关联型可编辑修改精品资料例 3 设是椭圆x2y21 的右焦点，且椭圆上至少有21 个不同的点 Pi (i 1, 2, 3,L ) ，76使 PF1, PF2 ,PF3, L组成公差为的等差数列，则的取值范围为_PF解析：由椭圆第二定义知iePFie PPii ，这些线段长度的最小值为右焦点到右PPi i顶点的距离即FP171 ，最大值为右焦点到左顶点的距离即PF217 1 ，故若公差d 0 ，则

4、7171 ( n1)d ， n21 21， 0d 1 同理，若公差 d0 ，d10则可求得1 d0 10评析：本题很好地将数列与椭圆的有关性质结合在一起，形式新颖，内容深遂，有一定的难度，可见命题设计者的良苦用心解决的关键是确定该数列的最大项、最小项，然后根据数列的通项公求出公差的取值范围四、类比联想型a1a2a3 Lan(n N ) 也是等差例 4 若数列 an ( n N ) 是等差数列， 则有数列 bnn数列；类比上述性质，相应地：若数列 cn 是等比数列，且cn0 ，则有数列 dn_也是等比数列解析：由已知“等差数列前 n 项的算术平均值是等差数列”可类比联想“等比数列前n 项的几何平

5、均值也应该是等比数列”不难得到dnn c1 c2c3 L cn 也是等比数列评析：本题只须由已知条件的特征从形式和结构上对比猜想不难挖掘问题的突破口五、规律发现型例 5 将自然数 1, 2, 3, 4, L 排成数陈（如右图） ，在处转第一个弯，在转第二个弯，在转第三个弯， ，则第 2005 个转弯处的数为 _可编辑修改精品资料21 22 23 24 25 26|207 891027|1961 211|1854312|17 16 15 14 13解：观察由起每一个转弯时递增的数字可发现为“1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, L ”故在第2005 个转弯处的数为：12(1 2 3 L

6、 1002)1003 1006010 评析：本题求解的关键是对图表转弯处数字特征规律的发现具体解题时需要较强的观察能力及快速探求规律的能力因此，它在高考中具有较强的选拔功能六、图表信息型例 6 下表给出一个“等差数阵”：（）（） （）a1j（） （） （） a2 j（） （） （） （） （） a3 j（） （） （）（） （）a4 jai1ai 2ai 3ai 4ai 5aij其中每行、每列都是等差数列，aij 表示位于第行第j 列的数写出 a45 的值；写出 aij 的计算公式；证明：正整数在该等差数列阵中的充要条件是2N1可以分解成两个不是的正整数之积解： a4549 （详见第二问一般性

7、结论）该等差数阵的第一行是首项为，公差为的等差数列：a1 j43( j1)；第二行是首项为，公差为的等差数列：a2 j75( j1)，可编辑修改精品资料第行是首项为43(i1) ，公差为 2i1的等差数列，因此 aij43(i1)(2i1)( j1)2ijiji (2 j1)j ；必要性：若在该等差数阵中，则存在正整数i , j 使得 Ni (2 j1)j ，从而 2 N12i (2 j1)2 j1(2i1)(2 j1) 即正整数 2N1可以分解成两个不是的正整数之积充分性：若2N1 可以分解成两个不是的正整数之积，由于2 N1 是奇数，则它必为两个不是的奇数之积，即存在正整数k ，l ，使得

8、 2N1(2k1)(2l1) ，从而 Nk (2l1)lakl可见在该等差数阵中综上所述，正整数在该等差数阵中的充要条件是2N1可以分解成两个不是的正整数之积评析：本小题主要考查等差数列、充要条件等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力求解关键是如何根据图表信息求出行列式中对应项的通项公式七、“杨辉三角”型例 7 如图是一个类似“杨辉三角”的图形，第行共有个数，且该行的第一个数和最后一个数都是，中间任意一个数都等于第n 1行与之相邻的两个数的和，an,1 , an,2 , .an,n (n1, 2, 3, L ) 分别表示第行的第一个数，第二个数，第个数求 an ,2 (n 2

9、且 nN ) 的通项式122343477451114115.解：由图易知a2,22, a3,24,a4,2 7,a5,211, L 从而知 an,2 是一阶等差数列，即a3,2a2,22.(1)a4,2a3,23.(2)a5,2a4,24.(3).an ,2a( n1),2n 1.(n1)以上 n 1 个式相加即可得到：an ,2a2,223 4 .(n(n1)(n2)(n 1)(n 2)1)2an ,222可编辑修改精品资料2nn2即 an ,2(n 2 且 nN )2评析：“杨辉三角”型数列创新题是近年高考创新题的热点问题求解这类题目的关键是仔细观察各行项与行列式的对应关系，通常需转化成一阶 （或二阶）等差数列结合求和方法来求解有兴趣的同学不妨求出aij (i , jN 且 i j ) 的通项式八、阅读理解型例 8 电子计算机中使用二进制，它与十进制的换算关系如下表：十进制二进制100101110观察二进制位数，位数，位数时，对应的十进制的数，当二进制为位数能表示十进制中最大的数是解：通过阅读，不难发现：1120,2020121,3120121，4020021122，5120021122，进而知 7120121122，写成二进制为111于是知二进