数列求和的基本方法和技巧与大题

1、.数列求和的基本方法和技巧一、分组法求和、已知 an3n 1 2n ，求前n项和Sn .12、已知 ann12n，求前 n 项和 Sn .二、裂项法求和（ 1） an111（ 2） an11(11)n(n1) n n 1n(n k ) k n n k1、求数列1,1,1的前 n 项和 .,1223nn 1'.2、在数列 a n 中， an12n ，又 bn2，求数列 b n 的前 n 项的和 .n 1 n 1n 1an an 13、求和 1111.21231231n4、已知在等差数列 an 中， a3 5, S416 。（1）求 an 的通项公式；（ ）记bn1，求 bn 的前 n 项

2、和。2an 1an'.三、错位相减法求和1、已知 an 3n ，求前 n 项和Sn .n2、求数列2,4,6,2n, 前 n 项的和 .222232 n3、已知 an(2n1) 3n ，求前 n 项和 Sn .'.四、倒序相加法求和1、求 sin 2 1sin 2 2sin 2 3sin 2 88sin2 89 的值五、利用常用求和公式求和1、已知 log 3 x1，求 x x 2x3xn的前 n 项和 .log 2 32、设 Sn 1 2 3n , n N *, 求 f (n)Sn的最大值 .(n32) Sn 13、求 1 11 111111 1之和.n个1'.数列大

3、题专题训练1、设 an 是公比为正数的等比数列，a1 2, a3 a2 4 .( ) 求 an 的通项公式 ;()设bn 是首项为12的等差数列，求数列 an bn的前 n 项和Sn .，公差为2、设等差数列an 满足 a35 ， a109 。（）求an 的通项公式；（）求an 的前 n 项和 Sn 及使得 Sn 最大的序号 n 的值。3、已知等差数列 an 中， a11， a3 3。（）求数列 an 的通项公式；（）若数列 an 的前 k 项和 Sk 35，求 k 的值。'.4、成等差数列的三个正数的和为15，且这三个数分别加上2、5、13 后成为等比数列bn 中的 b 、b 、b

4、。(I)求数列bn 的通项公式；(II) 数列 bn的前 n 项和为 Sn ，求证：数列 S5是等比数列。n45、等比数列an 的各项均为正数，且2a13a21,a329a2 a6 .（ ) 求数列an 的通项公式；（）设 bnlog 3 a1 log 3 a2 . log 3 an , 求数列1 的前 n 项和 .bn6、设等比数列an 的前 n 项和为 Sn , 已知 a26, 6a1a330, 求 an 和 Sn 。'.7、已知等比数列 an 的公比 q 3，前 3项和 S3133( ) 求数列 an 的通项公式；( ) 若函数 f ( x) A sin(2 x)( A 0,0)

5、 在 x处取得最大值， 且最大值为 a3 ，求函数6f ( x) 的解析式8、已知等差数列 an 满足 a20 ， a6 a810 。（ I ）求数列 an 的通项公式；an的前 n 项和（ II ）求数列2 n1'.参考答案1、解： ( ) 设等比数列的公比为q,q0 ，由已知得 2q22q4 ，即q2 或 q1（舍去），所以数列的通项公式为 an2n ；( )Sn2n 1n22 。2、解：（）由 ana1 (n 1)d 及 a35 ， a109 得 a19, d2 ；所以数列an的通项公式为 an11 2n（） Sn10n n2( n5) 225 ，所以 n5时 Sn 取得最大值。

6、3、解：（）由 a 1， a 3 得 d2 ，所以 a 3 2n；13n（） Skkk(k1)35 ，解得 k 7。4、解： (I) 设成等差数列的三个正数分别为ad , a, ad ；则 adaad 15a 5 ；数列 bn中的 b 、 b、 b 依次为7d,10,18d ，则(7d )(18d )100；得 d2 或 d13 （舍），于是 b35,b410bn5 2n 355Sn 155 2n 1(II)数列 bn的前 n 项和 Sn5 2n 2，即 Sn5 2n24244Sn55 2n 24因此数列Sn5是公比为2 的等比数列。45、解：（）设数列 a n 的公比为 q，由 a29a2a

7、得 a39a2 所以q21。363491由条件可知 a>0, 故 q。31由 2a1 3a21得 2a13a2 q1，所以 a1。3故数列 a 的通项式为a =1。3nnn（） bnlog 3 a1log 3 a2.log 3 an =(12Ln)n(n1)2故 122( 11)bnn(n1)nn111.12(11 )( 11).(11)2nb1b2bn22 3n n 1n 1'.所以数列 1 的前 n 项和为2nbnn16、解：设等比数列an的公比为 q ，由题a1q6,解得a13,a12,6a1 a1q2或30,q2,q3.所以如果 a13, 则 an =a1qn 13 2n

8、 1. Sn= a1 (1 qn )3 2n31q如果 a12, 则 an =a1qn 12 3n 1. Sn= a1 (1 qn )3n11q7、解： ( ) 由 q3, S313得 a11，所以 an3n 2；333，所以 A3 ，( ) 由 ( ) 得 a33 ，因为函数 f ( x) 最大值为又当 x时函数 f (x) 取得最大值，所以 sin(3)1，因为0，故6，6所以函数 f ( x) 的解析式为f ( x)3sin(2 x6) 。8、解：（ I ）设等差数列 an 的公差为 d，由已知条件可得a1d0,2a112d10,a11,故数列 an 的通项公式为an2n. 5 分解得1.d（ IIana1a2Lan,故 S11 ，）设数列n 1 的前 n项和为 Sn ，即 Sn2n122Sn