数学专升本考试试题精品精编资料

1、高等数学（二）命题预测试卷（二）一、选择题（本大题共5 个小题，每小题 4 分，共 20 分。在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）1下列函数中，当 x1时，与无穷小量 (1 x) 相比是高阶无穷小的是（）A ln( 3x)B x 32x 2xC cos(x 1)D x212曲线 y3x31 在(1, ) 内是（）xA处处单调减小B处处单调增加C具有最大值D具有最小值f ( x02h)f (x0 )1，则 f ( x0 ) 为（）3设 f (x) 是可导函数，且 limhx 0A1B0C2D 14若 f ( 1 )x，则f ( x)dx 为（2）1

2、xx10A 1B 1 ln 22C1D ln 25设 uxy z , u 等于（）xA zxyzB xy z 1C y z 1D y z二、填空题：本大题共10 个小题， 10 个空，每空4 分，共 40 分，把答案填在题中横线上。6设 zexyyx2 ，则 z(1,2) =y7设 f ( x)exln x ，则 f (3)8 f ( x)x ，则 f ( 1 )1xx9设二重积分的积分区域 D 是1x2y 24 ，则 dxdyD10 lim (11 ) x =x 2x11函数 f ( x)1 (exe x ) 的极小值点为212若x2ax 43，则 alimx 1x113曲线 y arcta

3、n x 在横坐标为 1 点处的切线方程为14函数 yx2sintdt 在 x处的导数值为021x sin 2x15cos2dx1 1x三、解答题：本大题共13 小题，共 90 分，解答应写出推理、演算步骤。16（本题满分 6 分）arctan1x0 的间断点求函数 f (x)x0x017（本题满分 6 分）计算 lim xx1 x 2x2 118（本题满分 6 分）1计算 lim ln arcsin x(1x) xx019（本题满分 6 分）1设函数 f (x)xe xx0，求 f ( x) ln(1 x)1x020（本题满分 6 分）求函数 ysin( xy) 的二阶导数21（本题满分 6

4、分）求曲线 f (x)x 42x 3 的极值点22（本题满分 6 分）x3计算dx 2x123（本题满分 6 分）若 f ( x) 的一个原函数为xln x ，求xf ( x)dx 24（本题满分 6 分）0k2 dx1 ，求常数 k 的值已知1x225（本题满分 6 分）求函数 f (x, y)y3x 26x12y5 的极值26（本题满分 10 分）求( x2y)dxdy ，其中 D 是由曲线 yx 2 与 xy 2 所围成的平面区域D27（本题满分 10 分）设 f ( x) x2aaa3f ( x) dx ，且常数 a1 ，求证： f ( x)dx003(a1)28（本题满分 10 分）

5、求函数 yln x 的单调区间、极值、此函数曲线的凹凸区间、拐点以及渐近x线并作出函数的图形参考答案一、选择题1B2B3D4D5D二、填空题6 2e217 e3 138 119 3x10 e12 51211 x013 y41 ( x 1)2214 sin15 04三、解答题16解这是一个分段函数，f ( x) 在点 x0 的左极限和右极限都存在limf ( x)lim1a r c t an2x0x 0xlimf ( x)lim1ar c t a n2x0x 0xl i mf ( x)l i mf ( x)x0x 0故当 x0 时，f (x) 的极限不存在，点 x0 是 f ( x) 的第一类间

6、断点111xx1xx21217解 原式 = limlim2x 21122xx2x2118解设 f (x)arcsin x (1 x) x 由于 x0 是初等函数 ln f (x) 的可去间断点，1故lim ln f (x)x 0ln lim f (x)ln l i ma r c sxi n (1x) xx0x01ln lim arcsin xlim (1 x) xx 0x 0ln(0e)ln e1 19解 首先在 x0 时，分别求出函数各表达式的导数，即111111当 x0 时， f ( x) ( xe x) exxe xe x (1x2)x当1x 0时， f( x)ln( x1)1x1然后分

7、别求出在 x0处函数的左导数和右导数，即f( 0)l i m11x0 x111f(0)l i mex (1) 0x0x从而 f( 0)f(0) ，函数在 x0 处不可导11e x (1x0)所以 f( x)x1x0x120解ys i nx( y)ycos(xy)(1 y )c o sx(y)y c o sx(y)ysin( xy)(1y )y c o sx(y)y s i nx(y) (1 y )1 cos(xy) ysin( xy)(1y ) 2ysin(xy)(1y ) 21c o sx(y)又由解得 ycos( xy)1cos(x y)cos(x y)2cos(xy) 1cos(xy)代

8、入得 y11cos(xy)s i nx(y)1c o sx( y) 321解先出求 f ( x) 的一阶导数： f ( x)4x 36x 24x2 ( x3)2令 f( x) 0即 4x 2 (x3)0解得驻点为 x1 0, x23 22再求出 f ( x) 的二阶导数 f( x)12x212x12x( x 1) 当 x23 时， f ( 3)90 ，故 f ( 3)27是极小值22216当 x10 时，f (0)0，在 (,0) 内，f (x)0 ，在 (0, 3) 内 f ( x) 02故 x1 0 不是极值点总之曲线 f (x)x 42x 2 只有极小值点 x3 2x3x3x xx( x

9、21) xxx22解1x21x 21x1x 22x3dx( xx)dxxdxxdxx221x21x11 x 21 d( x 21)1 x 21 l n x(21) C22x12223解 由题设知 f (x) (x ln x)ln xx(ln x)ln x1故 xf (x)dxx(ln x1) dxx ln x d xx d xln x 1 dx21 x 2221ln xx 2x2 d ( l nx)1 x2221 ln x x21 x2 1 dx1x 222x21 x 2 ln x1xdx1 x22221x 2 ln x1x 2C k21410dx0dxklim0dx24解1 x 2k1 x2

10、a 1x2ak lim arctan x a0klim (a r c t a)n kaa20kdx1又1x22故k21解得 k1 225解f2x6,f3 y 212xy解方程组2x60得驻点 A0 (3,2), B0 (3,2)3y 2120又Af xx2, Bfxy0,Cfyy6 y对于驻点 A0 : A2, B0,C6y x312 ，故 B2AC240y2驻点 A0 不是极值点对于驻点 B0 : A2, B0,C6y x312y2故 B 2AC24 0，又 A2 0函数 f ( x, y) 在 B0 (3,2) 点取得极大值f (3,2)( 2)39182453026解 由 yx2 与 x

11、y 2 得两曲线的交点为O(0,0) 与 A(1,1)xy2 ( y0) 的反函数为 yx 1x11 y 2 )( x2y)dxdydxx2 (x 2y)dy( x2 y2x dxD002x151 x) ( x41 x 4 ) dx( x 2022( 2 x 721 x23 x5 ) 1033741014027证aaaf ( x)dx0x 2f ( x)dx dx00aaa0x 2 dx0f (x)dx dx01 x30aaf (x)dxa0dx30a3a3af ( x) dx0aaa3f ( x) dx af ( x)dx003aa3于是 f ( x) dx03( a1)28解 （1）先求函

12、数的定义域为(0,) （2）求 y 和驻点： y1ln x，令 y 0 得驻点xex2（3）由 y 的符号确定函数的单调增减区间及极值当 01ln x0 ，所以 y 单调增加；x e 时， yx 2当 xe 时， y 0 ，所以 y 单调减少由极值的第一充分条件可知y x1 为极大值e e（4）求 y 并确定 y 的符号：2 ln x 3 ，令 y3y0 得 x e2x 33当 0x e2 时， y0 ，曲线 y 为凸的；3当 xe 2 时， y0 ，曲线 y 为凹的33根据拐点的充分条件可知点 (e 2 , 3e 2 ) 为拐点2这里的 y 和 y 的计算是本题的关键， 读者在计算时一定要认真、仔细。另外建议读者用列表法来分析求解更为简捷，现列表如下：x(0,e)e333(e,e 2 )e2(e2 , )y0y0就表上所给的 y 和 y 符号，可得到：函数 yln x 的单调增加区间为 ( 0,e) ；x函数 yln x 的单调减少