数学建模习题答案

1、数学建模部分课后习题解答中国地质大学能源学院华文静1. 在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？解：模型假设（ 1） 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形（ 2） 地面高度是连续变化的， 沿任何方向都不会出现间断 （没有像台阶那样的情况） ，即从数学角度来看，地面是连续曲面。这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件（ 3） 椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。为了保证这一点，要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的。因为在地面上椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内， 如果出现深沟或凸峰 （即使是连续变化的） ，此时三只脚是无法同时着地

2、的。模型建立在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来。首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动。生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换。然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的。于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形。注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180 度后，椅子仍在原地。把长方形绕它的对称中心旋转，这可以表示椅子位置的改变。于是，旋转角度这一变量就表示了椅子的位置。为此， 在平面上建立直角坐标

3、系来解决问题。设椅脚连线为长方形ABCD,以对角线 AC所在的直线为x 轴，对称中心O 为原点，建立平面直角坐标系。椅子绕O 点沿逆时针方向旋转角度后，长方形ABCD转至A1B1C1D1的位置，这样就可以用旋转角（0）O旋转后的表示出椅子绕点位置。其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来。当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了， 而当这个距离大于零时，椅脚不着地。 由于椅子在不同的位置是的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是的函数。由于椅子有四只脚， 因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是的函数， 而由假设（ 3）可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的，其函数值至

4、少有三个同时为0。因此， 只需引入两个距离函数即可。 考虑到长方形 ABCD是对称中心图形，绕其对称中心O 沿逆时针方向旋转 180度后，长方形位置不变，但A,C 和 B,D 对换了。因此，记A， B 两脚与地面竖直距离之和为f ( ) ，C,D 两脚之和为g( ) ，其中0，使得 f ( 0 )g(0) 成立。模型求解如果 f ( 0)g( 0) 0 ，那么结论成立。精选文库如果 f ( 0)与 g( 0)不同时为零， 不妨设 f ( 0)0, g( 0)0. 这时，将长方形 ABCD绕点O逆时针旋转角度后，点 A,B 分别于与 C，D 互换，但长方形ABCD在地面上所处的位置不变，由此可知

5、，f （） g（ 0），g（） f （ 0） . 而由 f （ 0） 0， g（ 0） 0，得 g（） 0，f （） 0。令 h（） f( ) g（），由 f( ) 和 g( ) 的连续性知h()也是连续函数。又h( 0)f ( 0)g( 0)0, h()f ( )g()0，根据连续函数介值定理，必存在0（0， ），使得 ( 0 )0, 即(0 )(0 ) ；hfg又因为 f ( 0 ) ? g(0 )0, 所以 f (0 )g( 0 )0 。于是，椅子的四只脚同时着地，放稳了。模型讨论用函数的观点来解决问题，引入合适的函数是关键本模型的巧妙之处就在于用变量表示椅子的位置， 用的两个函数表示椅

6、子四只脚与地面的竖直距离运用这个模型， 不但可以确信椅子能在不平的地面上放稳，而且可以指导我们如何通过旋转将地面上放不稳的椅子放稳2. 人、狗、鸡、米均要过河，船需要人划，另外至多还能载一物，而当人不在时，狗要吃鸡，鸡要吃米。问人、狗、鸡、米怎样过河？模型假设人带着猫、鸡、米过河，从左岸到右岸，船除了需要人划之外，只能载猫、鸡、米三者之一， 人不在场时猫要吃鸡， 鸡要吃米。 试设计一个安全过河方案， 使渡河次数尽量地少。符号说明X1 ：代表人的状态，人在该左岸或船上取值为1，否则为0;X2 ：代表猫的状态，猫在该左岸或船上取值为1，否则为0；X3 ：代表鸡的状态，鸡在该左岸或船上取值为1，否则

7、为0；X4 ：代表米的状态，米在该左岸或船上取值为1，否则为 0: ；Sk( X1, X2, X3 , X4 ) : 状态向量，代表时刻K 左岸的状态；Dk( X1 , X2 , X3 , X4 ) : 决策向量，代表时刻K 船上的状态；模型建立限制条件： X1X2X320X42X3初始状态： S0( 1，1，1，1), D0( 0，0，0，0)模型求解根据乘法原理， 四维向量（X1, X2, X3, X4） 2416种情况根据限制条件可以排除共有-2精选文库（0,1,1,1）（0，1,0，1）（0,0,1,1）三种情况，其余13 种情况可以归入两个集合进行分配，易知可行决策集仅有五个元素D(

8、 1，1，1，0), ( 1，0，1，0), ( 1，0，0，1), ( 1，0，0，0), ( 0，0，,0，0) , 状态集有 8 个元素，将其进行分配，共有两种运送方案：方案一：人先带鸡过河，然和人再回左岸，把米带过右岸，人再把鸡运回左岸，人再把猫带过右岸，最后人回来把鸡带去右岸（状态见表1）；方案二：人先带鸡过河，然后人再回左岸，把猫带过右岸，人再把鸡运回左岸，人再把米带过右岸，最后人回来把鸡带去右岸( 状态见表 2) ；目标：确定有效状态集合，使得在有限步内左岸状态由（1,1,1,1）（0,0,0,0）表一：时刻左岸状态 SK船上 DKK=0(1 ，1， 1， 1)(0 ， 0， 0

9、，0)K=1(0 ，1， 1， 1）(1 ， 0， 1，0)K=2（ 1，1， 0， 1）(1 ， 0， 0，0)K=3（ 0，1， 0， 0）(1 ， 0， 0，1)K=4（ 1，1， 1， 0）(1 ， 0， 1，0)K=5（ 0，0， 1， 0）(1 ， 1， 0，0)K=6（ 1，0， 1， 0）(1 ， 0， 0，0)K=7（ 0，0， 0， 0）(1 ， 0， 1，0)表二：时刻左岸状态 SK船上 DKK=0(1 ，1， 1， 1)(0 ， 0， 0，0)K=1(0 ，1， 0， 1)(1 ， 0， 1，0)K=2(1 ，1， 0， 1)(1 ， 0， 0，0)K=3(0 ，0，

10、0， 1)(1 ， 1， 0，0)K=4(1 ，0， 1， 1)(1 ， 0， 1，0)K=5(0 ，0， 1， 0)(1 ， 0， 0，1)K=6(1 ，0， 1， 0)(1 ， 0， 0，0)K=7(0 ，0， 0， 0)(1 ， 0， 1，0)3. 学校共 1000 名学生， 235 人住在 A 宿舍， 333 人住在 B 宿舍， 432 人住在 C 宿舍。学生们要组织一个 10 人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（ 1）按比例分配取整数的名额后 , 剩下的名额按惯例分给小数部分较大者.（ 2） 2.1 节中的 Q值方法 .（ 3）d Hondt 方法：将各宿舍的人数用正整数n

11、 1, 2 , 3 , 相除，其商数如下表：12345A235117.578.358.75B333166.511183.25-3精选文库C43221614410886.4将所得商数从大到小取前10 个 (10 为席位数 ), 在数字下标以横线，表中A， B， C 行有横线的数分别为2，3， 5，这就是3 个宿舍分配席位. 你能解释这种方法的道理吗。如果委员会从10 人增至 15 人，用以上3 种方法再分配名额. 将 3 种方法两次分配的结果列表比较 .（ 4）你能提出其他的方法吗. 用你的方法分配上面的名额.解：先考虑N=10 的分配方案，3p1235, p2333, p3432,pi1000

12、i1方法一（按比例分配）q1p1N2. 35, q2p2 N3. 33, q3p3 N4分配结果为：n13, n23, n34方法二（ Q值方法）9 个席位的分配结果（可用按比例分配）为：n1 3, n23, n34第 10 个席位：计算Q值为Q12352920417， Q23332924075 Q3432293312233445Q3最大，第10 个席位应给 C. 分配结果为 n12, n23, n35方法三（ d Hondt 方法）原理：记 pi和 ni为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表 A、B、C 宿舍） ,pi 是每席位ni代表的人数，取 ni=1,2,3 ，从而得到的pi中选较大

13、者，可使对所有的i ， pi尽量nini接近。所以此方法的分配结果为：n12, n23, n35再考虑 N15的分配方案， 类似地可得名额分配结果。现将 3 中方法两次分配额结果列表如下：宿舍（ 1）（ 2）（ 3）（ 1）（ 2）（ 3）A322443B333555C455667总计1010101515154. 一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱-4精选文库乐部只准备了一把软尺用与测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假设鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到了8 条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：身长（ cm）36.831.843.836.832

14、.145.135.932.1重量（ g）75648211627374821389652454胸围（ cm）24.821.327.924.821.631.822.921.6先用机理分析，再用数据确定参数。模型分析本题为了知道鱼的重量，用估计法来通过估计鱼的长度而确定鱼的重量，这种方法只能针对同一种体形相似鱼， 但是一般而言世界上没有两种完全相同的东西， 所以对于同一种类的鱼也有可能肥瘦不一。 所以在此， 我们应该先不妨假设同一种鱼它的整体形状是相似的，密度也大体上是相同的。模型假设（ 1）设鱼的重量为；（ 2） 鱼的身长记为 l ；模型的构成与求解因为我们前面假设了鱼的整体形状是相似的，密度也相

15、同， 所以鱼的重量与身长 l 的立方成正比，为这两者之间的比例系数。即k13 , k1 为比例系数。不过常钓得较肥的垂钓者不一定认可上面的模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待，如果只假定鱼的截面是相似的，则横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，于是k 2d 2l , k2 为比例系数。利用题中给的数据，估计模型中的系数可得：k10. 0146, k 20. 0322, 将实际数据与模型结果比较如下表：实际重量（ g）7654821162 7374821389652 454模型k1372746912267274831339675483模型k d 2l73046511007304831471607483

16、2通过机理分析，基本上满意5. 生物学家认为， 对于休息状态的热血动物消耗的能量主要用于维持体温， 能量与从心脏到全身的血流量成正比， 而体温主要通过身体表面散失， 建立一个动物体重与心率之间关系的模型，并用下面的数据加以检验。动物体重（ g）心率（次 / 分）田鼠25670家属200420兔2000205小狗5000120大狗3000085羊5000070人7000072-5精选文库马45000038解：动物消耗的能量P 主要用于维持体温， 而体内热量通过表面积S散失，记动物体重为，则 PS2/ 3,PQ, 而Qqr ，其中 q 是动物每次心跳泵出的血流正比于血流量量 ， r为 心 率 。

17、合 理 地 假 设 q 与成 正 比 ， 于 是 qr ，综上可得r1/ 3,或 rk1 /3 。由所给数据估计得 k20. 897103 ，将实际数据与模型结果比较如下表：动物实际心率（次 / 分）模型结果（次 / 分）田鼠670715家属420375兔205166小狗120122大狗8567羊7057人7251马38276.速度为 v 的风吹在迎风面积s 为的风车上，空气密度是。用量纲分析方法确定风车获得的功率P 与 v ， s ，的关系。解：模型分析设P， ，s，的关系为 f (P, s ,)0，其量纲 表 达式 为：P23,LT1, s2, ML3, 这里,是基本量纲MLTLL M T

18、模型求解2123MA1001L量纲矩阵为：3100T( P)()( s) ( )2y 1y 22y 33y 40齐次线性方程组y 1y 403y 1y 2 0它的基本解为 y(1,3,1,1)由量纲 Pi 定理得P 13s 11,P3s 11 ，其中是无量纲常数7.雨速的速度 v 与空气密度、粘滞系数和重力加速度g 有关， 其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系-6精选文库数。用量纲分析方法给出速度v 的表达式。解：模型分析设 ， ， , g 的关系为 f ( v， ， ，g)0 . 其量纲表达式为：v LM0T 1, L 3 MT0，

19、MLT 2( LT 1L 1 ) 1 L 2MLL2T 2TL 1MT 1，gLM0T - 2，其中 M, L, T 是基本量纲模型求解1311M量纲矩阵为A0110L1012T( ) ( ) （ ）（）齐次线性方程组Ay0, 即y 1 3y 2y 3y 40y 2y 30y1y 32y 40的基本解为 y(3, 1,1,1)由量纲 Pi定理得31 g.所以3g 其中是无量纲数8. 在存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用。重新确定最优订货周期和订货批量。证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样。 而在允许缺货模型中最优订货周期和定货批量都比原来结果减少。解：模型求解设购买单位重量货物的费用为

20、k对于不允许缺货模型，每天平均费用为：c1c2rTG（ T）krT 2dCc1c2 rdT-2T2dC*2令0,解得 Tc1dTc2r由 QrT , 得Q*rT *2c1rc2-7精选文库与不考虑购货费的结果比较，T、 Q的最优结果没有变对于允许缺货模型，每天平均费用为：c( T , Q)1 c1c2Q2c 3 ( rT Q)2kQT2r2rcc0令0,TQ解得 T*2c1(c2c3 )k 2*2c1 rc 3c3k 2r 2krrc 2c3c2c3, Qc2( c1 c3 )c2(c2 c3 )c2c3T *，Q*均比不考虑费用k 时的结果减小9. 建立不允许缺货的生产销售存贮模型。设生产速

21、率为常数k ，销售速率为常数r ，k r 在每个生产周期T 内，开始的一段时间(0 t T0 ) 一边生产一边销售，后来的一段时间 ( T0 tT ) 只销售不生产，画出贮存量q(t ) 的图形。设每次生产准备费为c1 ，单位时间每件产品贮存费为c2 ，以总费用最小为目标确定最优生产周期。讨论 kr 和 kr 的情况。解：由题意可得贮存量g(t)的图形如下：qk-rroTtnT(k)? T贮存费为 c2limg( i ) t ic2 0g(t )dtc2r T02t0 i 1又（kr ） T0r (T T0 )T0rT ,贮存费变为 c2r(k)Tr Tk2k于是不允许缺货的情况下，生产销售的

22、总费用（单位时间内）为-8精选文库C(T)c1c2r ( kr )T 2c1c2r ( kr )TT2kTT2kdCc1c2r ( kr )dTT2k令 dC0, 得T*2c1kdTc2 r( k r )易得函数 C(T )在 T * 处取得最小值，即最优周期为T *2c1kc2r ( kr )当 kr , T*2，相当于不考虑生产的情况。c1c2r当 kr , T *，此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量。10. 在森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度与开始救火时的火势b 有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型。解：模型分析考虑灭火速度与火势 b有关，可知火势 b越大，灭火速度将

23、减小模型假设（b）k，分母 b1中的 1 是防止 b0时而加的b1模型求解c1 t12c12t 12( b1)c2t 1x( b1)总费用函数 C（ x）2( kxb)kxbc3 x2最优解为 x c1kb 22c2b( b 1) ( b 1)( b 1)22kc3k11 设某种动物种群最高年龄为30，按 10 岁为一段将此种群分为3 组。设初始时三组中的动物为(1000,1000,1000) T ，相应的 Leslie矩阵为030L10061002试求 10， 20， 30 年后各年龄组的动物数，并求该种群的稳定年龄分布，指出该种群的发展趋势。-9精选文库解：模型分析：根据 Leslie矩阵

24、的意义及公式x( k1)L * x( k) 很容易求出各年龄组的动物数。而 Leslie 矩阵的唯一的正特征值及对应的特征向量分别表示种群的发展趋势及种群的稳定分布。模型的建立与求解：（ 1） 10 年后各年龄组的动物数：( 1)L x( 0)L( 1000,1000,1000)T( 3000, 500 ,500)tx320 年后各年龄组的动物数：x( 2)Lx( 1)( 500,500, 250)T330 年后各年龄组的动物数：x( 3)Lx( 2)( 1500, 250 ,250)T3（ 2 ）很容易求出L 矩阵的大于零的特征值为2，其对应的特征向量为2d (6 2,2, 2 )T所以种群

25、的稳定年龄分布： x : y : z62:2:2 ，其中， x 表示 0-10 岁年龄组的动物数， y 表示 10-20 岁年龄组的动物数，z 表示 20-30岁年龄组的动物数。由于1，所以该种群动物数会逐渐减少。12. 对于 7 1 节蛛网模型讨论下列问题：（ 1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第k时段的价格yk 1 由第 k1和第 k 时段的数量 xk 1 和 xk 决定如果仍设 xk1 仍只取1决于 yk ，给出稳定平衡的条件，并与7 1 节的结果进行比较 .（ 2）若除了 yk1 由 xk 1 和 xk 决定之外， xk 1 也由前两个时段的价

26、格yk 和 yk 1确定试分析稳定平衡的条件是否还会放宽解：（1）模型假设简单地假设 y k 1由 x k 1和 x k 的平均值决定模型建立y k1y 0a( x k 1xkx 0 )02x k1x 0( y ky 0 )0-10精选文库模型求解得 2x k 2x k 1x k2( 1)x 0 ，与 7.1节（ B）的结果相同，平衡点稳定的条件仍为2（2）模型假设设 x k 1也由 y k 和 y k 1 的平均值决定模型建立y k 1y 0a( x k 1x kx 0 ),02x k 1x 0y ky k 1y 0 ),0(2模型求解得 4x k 3x k22x k 1x k c , c由

27、 ， ， x 0 , y 0 决定，其特征方程为 4 3220 ，该方程所有特征根1的条件 （即平衡点稳定的条件）仍为213. 设 n 阶矩阵 A 为一致阵，证明 A 具有下列性质：（ 1） A 的秩为 1，唯一的非零特征根为 n ；（ 2） A 的任一列向量都是对应于 n 的特征向量。解：（ 1）由一致阵的定义，aikaij, k1,2, n ，所以 A 的任意两行成比例，ajka11a12a1n对 A 进行初等变换得B，则 B000，所以 A 的秩为 1.000由初等变换及初等矩阵的关系得，存在可逆阵P，使得 PA=B，所以c11c12c1nPAP 1BP 1000C，则 A 与 C 相似

28、，便有相同的特征根000易 知 C 的 特 征 根 为 c11（一次根），0；由于对任意矩阵 A 有12ntr（ A）n，所以 A 的唯一非零特征值为n.，于是 c11a1k , a2 k , ankT(2)对于A的任一列向量, 有：-11精选文库nTnnnTnTa1j ajk ,anj ajka1k ,a2k ,ankn a1k ,a2k , ankA a1k , a2 k , ankj 1j1j 1j 1j1所以，每一列均为对应于n 的特征向量14. 若发现一成对比较矩阵 A 的非一致性较为严重，应如何寻找引起非一致性的元素？例如，设已构造了成对比较矩阵11 53A51613161（ 1）对 A 作一致性检验；（ 2）若 A 的非一致性较严重，应如何作修正。解：（ 1） 模型分析对 A 作一致性检验，算出A 的最大特征值，A=1 1/5 3;5 1 6;1/3 1/6 1;A=max(eig （ A）) ；CI=（ a-3 ） /(3-1);RI=0.58;CR=CI/IR模型求解解得 CR=0.0810<0.1（ 2）模型求解根据一致阵的定义，一致阵满足aik akjaij ，所以，应该