数学建模实验报告

1、精选文库内江师范学院中学数学建模实验报告册编制数学建模组审定牟廉明专业：班级：级班学号：姓名：数学与信息科学学院2016年 3月-精选文库说明1. 学生在做实验之前必须要准备实验，主要包括预习与本次实验相关的理论知识，熟练与本次实验相关的软件操作，收集整理相关的实验参考资料，要求学生在做实验时能带上充足的参考资料；若准备不充分，则学生不得参加本次实验，不得书写实验报告；2. 要求学生要认真做实验，主要是指不得迟到、早退和旷课，在做实验过程中要严格遵守实验室规章制度，认真完成实验内容，极积主动地向实验教师提问等；若学生无故旷课，则本次实验成绩不合格；3. 学生要认真工整地书写实验报告，实验报告的

2、内容要紧扣实验的要求和目的，不得抄袭他人的实验报告；4. 实验成绩评定分为优秀、合格、不合格，实验只是对学生的动手能力进行考核，跟据所做的的情况酌情给分。根据实验准备、实验态度、实验报告的书写、实验报告的内容进行综合评定。-精选文库实验名称：数学规划模型（实验一）指导教师：实验时数：4实验设备： 安装了 VC+、mathematica、 matlab 的计算机实验日期：年月日实验地点：实验目的：掌握优化问题的建模思想和方法，熟悉优化问题的软件实现。实验准备：1在开始本实验之前，请回顾教科书的相关内容；2需要一台准备安装Windows XP Professional 操作系统和装有数学软件的计算

3、机。实验内容及要求原料钢管每根17 米，客户需求4 米 50 根， 6 米 20 根， 8 米 15 根，如何下料最节省？若客户增加需求： 5 米 10 根，由于采用不同切割模式太多，会增加生产和管理成本，规定切割模式不能超过3 种，如何下料最节省？实验过程：摘要： 生活中我们常常遇到对原材料进行加工、切割、裁剪的问题，将原材料加工成所需大小的过程 , 称为原料下料问题。按工艺要求 , 确定下料方案 , 使用料最省 , 或利润最大是典型的优化问题。以此次钢管下料问题我们采用数学中的线性规划模型 . 对模型进行了合理的理论证明和推导，然后借助于解决线性规划的专业软件 Lingo 11.0 对题目

4、所提供的数据进行计算从而得出最优解。关键词： 钢管下料、线性规划、最优解问题一一、问题分析：（1）我们要分析应该怎样去切割才能满足客户的需要而且又能使得所用原料比较少；（2）我们要去确定应该怎样去切割才是比较合理的，我们切割时要保证使用原料的较少的前提下又能保证浪费得比较少；（3）由题意我们易得一根长为17 米的原料钢管可以分别切割成如下6种情况(如表一)：表一： 切割模式表模式 4m钢管根数6m 钢管根数8m钢管根数余料/m140012120132011421035011360021-精选文库由表一分析可知，有两种方案满足题意且使得下料最节省：(1) 钢管切割后材料剩余最少 ;(2) 切割的

5、原料钢管根数最少。二、模型假设：令 Xi表示运用第 i 种切割方案所切割的根数(i=1,.,6)三、建立模型：( 一 )所剩余量最少目标函数： Min Z 1= x1x2 x33x43x5 x64x1x22x32x450约束条件： st. 2x2x4x520x3x52x615模型求解：LingoMin=x1+x2+x3+3*x4+3*x5+x6 ;4*x1+x2+2*x3+2*x4>50;2*x2+x4+x5>20;x3+x5+2*x6>15;gin(x1);gin(x2);gin(x3);gin(x4);gin(x5);gin(x6);end实验结果：由 Lingo 运行结

6、果分析可知：切割钢管最优解为 :x 1 =10，x2=10;x 6=8;x 3 =x4=x5=0；最优值为： x1+x2 +x6=28.即按模式 1 切割 10 根, 按模式 2 切割 10 根，按模式 6 切割 8 根，共 28 根，余料为 28m。( 二 )所用钢管数最少目标函数： Min Z2x1x2x3x4x5x6-精选文库4x1x22x32x450约束条件： st.2x2x4x520x3x52x615模型求解：LingoMin=x1+x2+x3+x4+x5+x6;4*x1+x2+2*x3+2*x4>50;2*x2+x4+x5>20;x3+x5+2*x6>15;gin

7、(x1);gin(x2);gin(x3);gin(x4);gin(x5);gin(x6);endGlobal optimal solution found.Objective value:28.00000Objective bound:28.00000Infeasibilities:0.000000Extended solver steps:0Total solver iterations:3VariableValueReduced CostX110.000001.000000X210.000001.000000X30.0000001.000000X40.0000001.000000X50.0

8、000001.000000X68.0000001.000000X70.0000001.000000RowSlack or SurplusDual Price128.00000-1.00000020.0000000.000000-精选文库30.0000000.00000041.0000000.00000最优解为 x1=10，x2=10;x 6=8; 其余为 0；最优值为： 28.即按方式 1 切割 10 根, 按方式 2 切割 10 根，按方式 6 切割 8 根，共 28 根，余料 28m。综上，我们可以分析若按最小切割钢管根数去切割，我们需要用到28 根，若要求余量最少则也只需要切割 28 根

9、，所以要使下料最省我们两种选择都是切割28 根钢管。问题二一、问题分析：（1）与问题 1 类似我们要分析应该怎样去切割才能满足客户的需要而且又能使得所用原料比较少；（2）由于客户对钢管的需求又增加了一种，且需求的最小尺寸为4 米，所以要能合理切割那么余量就只能小于4 米；（3）每根钢管使用量不得超过17 米，但也必须超过14 米；（4）要使下料最节省， 如果我们还是得从所剩余量最少和所用根数最少的两种情况分析那出现的情况就不仅仅是像问题（1）中的 6 种了，因此我们就可简化该问题，对使用原料数量最少进行求解以便达到最佳切割模式，并使得余量相对较少；二、建立模型：决策变量 : 用 xi 表示第

10、i 种模式（ i=1,2,3）切割的原料钢管的根数，生产4 米长、5 米长、6米长、 8 米长的钢管数量分别设为y1i , y2i , y3i , y4i 。目标函数： min x1x2 x3y11x1y12 x2y13x350;y21x1y22 x2y23 x310;y31x1y32 x2y33x320;约束条件： s.t.y41x1y42 x2y43 x315;xi0, y ji0,( i1,2,3; j 1.4)144 y115 y216 y318 y4117;144 y125 y226y328 y4217;144 y135y236 y338 y4317;又由提议可知，增加约束条件：-精

11、选文库原料钢管的总根数不可能少于450为满足每种模式下的钢管需求量，有所以： 29x1x2x335模型求解：51062081517450510620142981535Lingo ，model:sets:needs/1.4/:length,num;cuts/1.3/:x;patterns(needs,cuts):r;endsetsdata:length=4 5 6 8;num=50 10 20 15;capacity=17;enddatamin=sum(cuts(i):x(i);for(needs(i):sum(cuts(j):x(j)*r(i,j)>num(i);for(cuts(j):

12、sum(needs(i):length(i)*r(i,j)<capacity);for(cuts(j):sum(needs(i):length(i)*r(i,j)>capacity-min(needs:length);sum(cuts:x)>26;sum(cuts:x)<31;for(cuts(i)|i#lt#size(cuts):x(i)>x(i+1);for(cuts:gin(x););for(patterns:gin(r););end运行结果：-精选文库Local optimal solution found.Objective value:30.00000

13、Objective bound:30.00000Infeasibilities:0.000000Extended solver steps:176Total solver iterations:06027VariableValueCAPACITY17.00000LENGTH( 1)4.000000LENGTH( 2)5.000000LENGTH( 3)6.000000LENGTH( 4)8.000000NUM( 1)50.00000NUM( 2)10.00000NUM( 3)20.00000NUM( 4)15.00000X( 1)15.00000X( 2)10.00000X( 3)5.0000

14、00R( 1, 1)2.000000R( 1, 2)0.000000R( 1, 3)4.000000R( 2, 1)0.000000R( 2, 2)1.000000R( 2, 3)0.000000R( 3, 1)0.000000R( 3, 2)2.000000-精选文库R( 3, 3)0.000000R( 4, 1)1.000000R( 4, 2)0.000000R( 4, 3)0.000000RowSlack or Surplus1 30.000002 0.0000003 0.0000004 0.0000005 0.0000006 1.0000007 0.0000008 1.0000009

15、3.000000104.000000113.000000124.000000131.000000145.000000155.000000结果分析：方式 1：每根原料切割成2 根 4 米的和 1 根 8 米的钢管，共 15 根。方式 2：每根原料切割成1 根 5 米和 2 根 6 米钢管，共 10 根；方式 3：每根原料切割成4 根 4 米，共 15 根。总的根数为： 15+10+5=30-精选文库实验总结（由学生填写）：通过本题实验进行分析思考以及实际操作，大致学会了如何使用lingo程序，如何运用lingo 求解一般问题最优值的方法，以及如何用多种方法求解模型。实验等级评定：实验名称：席位分

16、配问题（实验二）指导教师：实验时数：6实验设备： 安装了 VC+、mathematica、 matlab 的计算机实验日期：年月日实验地点：实验目的：熟悉有分配问题的建立与计算，熟悉Matlab 的相关命令。实验准备：1. 在开始本实验之前，请回顾教科书的相关内容；2.需要一台准备安装Windows XP Professional 操作系统和装有Matlab 的计算机。实验内容及要求在现实生活中，经常出现席位分配的问题，人们常用的方法是比例分配法，请简要叙述比例分配法的原理，并举例说明在现实生活中可能出现的错误。请简要推导Q 值方法， 并用比例分配方法和Q 值方法解决一个实际问题。实验过程：摘

17、要：处理 席位分配公平与否的问题需要我们联系生活，用比例分配法求出结果，但是在实际操作时，因为实际的现实因素，出现了问题。本次实验以公平分配为约束条件，首先通过比例分配法进行分配，使得结果不公平，推导出Q值分配方法，运用Q值方法进行分析和检验，得出了一套使得各系席位分配最公平的方案。关键词：席位公平分配、最佳、最公平、Q值方法一、提出问题：三个系学生共 200 名（甲系 100，乙系 60，丙系 40），代表会议共 20 席，按比例分配，三个系分别为10， 6， 4 席。现因学生转系，三系人数为103, 63, 34,问 20 席如何分配。若增加为 21 席，又如何分配。二、问题分析：按照比例

18、加惯例：（可以得到下列数据）-精选文库表二： 比例分配结果系别学生人数比例（ %）20 席的分配21 席的分配比例结果比例结果甲10351.510.31010.81511乙6331.56.366.6157丙3417.03.443.5703总和200100.0202021.00021根据表中数据，我们可以看到虽然只增加了一个席位，但是丙却少了一个席位，而甲与乙却多了一个席位。这样对丙系公平吗？三、提出假设：公平分配方案：人数席位A方p1n1B方p2n2衡量公平分配的数量指标：当 p1/n1= p2/n2 时，分配公平若 p1/n1> p2/n2 ，则对 A 不公平四、建立模型：令 p1/n

19、1 p2/n2 为对 A 的绝对不公平度：例如：（1）p1=150, n1=10, p1/n1=15（ 2） p1=1050, n1=10, p1/n1=105p2=1000, n2=10, p2/n2=100p2=100, n2=10, p2/n2=10对于（ 1）有 p1/n1 p2/n2=5对于（ 2）有 p1/n1 p2/n2=5虽然二者的绝对不公平度相同，但后者对A 的不公平程度已大大降低。因此：将绝对度量改为相对度量p1 / n1 p2/ n2rA (n1, n2 )p2 / n2首先我们定义为对 A 的相对不公平度类似地定义 rB ( n1 , n2 )而公平分配的方案应使rA

20、, rB 尽量小将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即设 A, B 已分别有 n1, n2席，若增加 1 席，-精选文库问应分给 A, 还是 B不妨设分配开始时p1/n1> p2/n2，即对 A 不公平应讨论以下几种情况初始 p1/n1> p2/n21）若 p1/(n1+1)> p2/n2，则这席应给 A2）若 p1/(n1+1)< p2/n2，应计算 rB(n1+1, n2)3）若 p1/n1> p2/(n2+1)，应计算 rA(n1, n2+1)问题： p1/n1<p2/(n2+1) 这种情况是否会出现？不可能。因为本来对A 就不公平，把多的一个席

21、位给 B以后，对 A 应该更加不公平了，因此不会出现 p1/n1<p2/(n2+1) 。1）若 rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1),则这席应给 A；2）若 rB(n1+1, n2) >rA(n1, n2+1),则这席应给 B。当 rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1),该席给 ArA,rB的定义 :p22p12n2 (n21) n1 (n11)该席给 A；否则 ,此席给 BQipi2i 1,2,令ni (ni 1)L , m，该席给 Q值较大的一方五、模型求解：推广：推广到 m方分配席位Qipi2ni (ni, i 1,2L , m计

22、算 :1)Q值方法 : 该席给 Q值最大的一方，三系用Q值方法重新分配21 个席位按人数比例的整数部分已将19 席分配完毕甲系： p1=103,n1=10乙系： p2=63,n2=6丙系： p3=34,n3=3用 Q值方法分配第 20 席和第 21 席1032632342第 20席：Q196.4, Q294.5, Q396.310 116 734由数据显示： Q1最大，因此第 20 席给甲系；-精选文库Q1103280.4, Q2 , Q311 12第 21席：同上由数据显示： Q3最大，因此第 21 席给丙系。Q值方法分配结果：甲系11 席，乙系 6 席，丙系 4 席。clear,clcp

23、= 103 63 34;n = round(p*(19/200);for i=1:2Q = p.2./(n.*(n+1);a = find(Q = max(Q);n(a) = n(a) + 1;endn =1164六、结果分析：按人数比例的整数部分已将19席分配完毕甲系： p1=103,n1=10;乙系： p2=63,n2=6;丙系： p3=34,n3=3.用Q值方法分配第 20席和第 21席第20席：由数据显示： Q1最大，因此第 20席给甲系；第21席： 同上 .因为 最大，因此第 21席应该给丙系 .最后的席位分配为：甲 11席，乙 6席，丙 4席。与上述结果一致 .实验总结（由学生填写

24、）：在该实验中，最大的收获是对于在席位分配公平与否的问题中正确运用 Q 值方法，在建模问题中懂得假设问题和排除不确定因素，熟悉了报告撰写的基本流程。但在实验中仍然存在不足有待改进。实验等级评定：-精选文库实验名称：插值与数据拟合（实验三）指导教师：实验时数：6实验设备： 安装了 VC+、 mathematica、matlab 的计算机实验日期：年月日实验地点：实验目的：掌握插值与拟合的原理，熟悉插值与拟合的软件实现。实验准备：1. 在开始本实验之前，请回顾教科书的相关内容；2.需要一台准备安装Windows XP Professional 操作系统和装有VC+6.0的计算机。实验内容及要求下表

25、给出了某工厂产品的生产批量与单位成本（元）的数据。从散点图可以明显地发现，生产批量在500 以内时，单位成本对生产批量服从一种线性关系，生产批量超过500 时服从另一种线性关系，此时单位成本明显下降。生产批量650340400800300600单位成本2.484.454.521.384.652.96生产批量720480440540750单位成本2.184.044.203.101.50要求： 1、构造合适的模型全面地描述生产批量与单位成本的关系；2 、对于这种关系，试采用分段函数进行详细分析。另外，从误差的角度出发，定量与定性相结合的方式来说明采用分段函数来描述这种关系的优点。实验过程：一、问题

26、分析：设生产成本为x, 生产批量为 y。从散点图可以明显的发现，生产批量在500 以内时，单位成本对生产批量服从一种线性关系，生产批量超过500 时服从另一种线性关系，此时单位成本明显下降。所以考虑从两个方面着手， 分段建立模型：即 x 在 500 以内时，建立模型（1）；x 超过 500 时，建立模型（ 2）。然后综合模型（ 1）和（ 2）建立回归模型。二、符号说明：-精选文库符号意义符号意义y单位成本x1生产批量大于 500 的部分回归方程系数x生产批量回归方程系数x2生产批量小于 500 的部分回归方程系数三、模型的建立分段建立模型：记生产批量时，单位成本为，生产批量时，单位成本为。为了

27、大致地分析 y 与 x 的关系，首先利用表中表中数据分别作出对和对的散点图。从图中可以发现对和对成线性关系。所以分别建立线性模型：模型（ 1）：模型（ 2）：四、模型的求解分段模型求解：-精选文库将 x1 和 y1 的数据分别输入 MATLAB： X=300 340 400 440 480;Y=4.65 4.45 4.52 4.20 4.04; plot(X,Y,'.') p=polyfit(X,Y,1)得到模型（ 1）的回归系数估计值及其置信水平、检验统计量,F,p 的结果见表三 .表三参数参数估计值参数置信区间5.58634.5743 6.5983-0.0031-0.0056 -0.0006然后，对数据进行残差分析：从结果可以看出，应将第二个点去掉后再进行拟合：去掉第二个点（ 340,4.45 ），再将剩下的点输入MATLAB:X=300 400 440 480;Y=4.65 4.52 4.20 4.04;plot(X,Y,'.')p=polyfit(X,Y,1)得到模型（ 1）的回归系数估计值及其置信水平、检验统计量,F, p的结果见表四.-精选文库表四参数参数估计值参数置信区间5.72935.0