动点到两定点的距离最值

1、浅析动点到两个定点得距离之与(差)得最值一、 直线上得动点到直线外两个定点得距离之与(差)得最值。例1(1)已知点A( 1,1),点B(3， 2)，P就是x轴上任意一点，则 PA+ P B得最小值为，此时点P得坐标为 ;(2)已知点A (1, 1),点B( 3, 2) ,P就是x轴上任意一点，则PB-PA得最大值为，此时点P得坐标为。解析：(1)如图1,当点P在x轴上运动时，P A + PB A B (当且仅当 A , P, B三点共 线时等号成立)(PA+ P B)mi n = A B =此时，点P得坐标为(2)如图2，当点P在x轴上运动时，PB PA AB(当且仅当A , P, B三点共线

2、时等 号成立)(PB PA) max =AB=此时，点P得坐标为变题：(1)已知点A (1, 1),点B (3 , 2), P就是x轴上任意一点，则 PA + PE得最 小值为，此时点P得坐标为 ;解析：(1)如图3,作点B关于x轴得对称点Bx( 3, 2),则有PB =PB /当点P在x轴上运动时，PA+PB = P A+P Bx =AB /(当且仅当 A , P , B /三点共线时等号 成立) (PA +PB) min =AB =此时，点P得坐标为(2)已知点A( 1,1)，点B(3,- 2) , P就是x轴上任意一点，则PBP A得最大值为 ,此时点P得坐标为.解析：(2)如图4,作点

3、B关于x轴得对称点B / ,则有PB=PB /当点P在x轴上运动时，PB PA = P Bx -PA =A B /(当且仅当A , P, B /三点共线时等号成立)(P B PA) max = A B / =此时，点P得坐标为归纳:当两定点位于直线得异侧时可求得动点到两定点得距离之与得最小值；当两定点位于直线得同侧时可求得动点到两定点得距离之与得绝对值得最大值.若不满足时，可利用对称性将两定点变换到直线得同(异)侧，再进行求解。如变题得方法.例2函数得值域为.解析:将函数进行化简得：即为动点P (x, 0)到两定点A (1, 1 )、B ( 3, 2)得距离之与.由例 1可知： 该值域为二、圆

4、锥曲线上得动点到两个定点得距离之与(差)得最值.(一 )直接求解或利用椭圆(或双曲线)得定义进行适当转化后求解。例3(1)已知 A( 4 ,0)与B(2,2), M就是椭圆上得动点，则MA M E得范围就是；解析：(1)如图5,在 MAB 中有M AMB< AB，当 M, A, B三点共线且 M B> MA即点M位于M 2处时，有 MA M B = A B,所以M A M B AB;同理在 MA B中有M B-M A AB，即MB MA -AB(当点M位于Mi处时等号成立)4Mi勺J一S 5P综上所述：-AB W MA-MB WAB(2)已知A (4, 0)与B (2, 2 ),M

5、就是椭圆上得动点，则MA+M B得最大值就是 .解析：(2 )如图6,因为点A恰为椭圆得右焦点，所以 由椭圆得定义可得MA+MB=10 MF+M B (F为椭圆得左焦点)，同(1)可得MB MF = BF (当且仅当点 M位 于点 M4处时，等号成立)所以(MA+MB) max =(10-MF+MB ) max=1 0 +BF=10+点评：因为点A, B都在椭圆得内部(即两定点都在曲线得同侧),故可直接求出动点M到两定点A ,B得距离之差得最值；若要求动点M到两定点A ,B得距离之与得最值(其中A恰为焦点)，需要利用椭圆得定义转化为动点M到两定点F, B得距离之差得最值(点 F为另一焦点)例4

6、(1)已知F就是双曲线得左焦点，A(4,1), P就是双曲线右支上得动点，则PA+ PF得最小值为;解析：(1)如图7,在PA B中有PA+PF > A B,当P , A, F三点共线即点 P位于Pi处时，有 PA + PF = AF , 所以(PA+ PF)min = A F =.(2)已知F就是双曲线得左焦点,A(1 , 4), P就是双曲线右支上得动点，则PA+PF得最小值为。解析：(2)如图 8,设F 2就是双曲线得右焦点，由双曲线得定义可得PA+PF=PA+2a + PF2=8 + PA + PF 2=8+ AF2(当P, A, F2三点共线即点 P位于P 2处时等号成立),

7、所以(PA + PF) min=8 + AF2= 1 3。点评：本题需要特别关注点与双曲线得位置关系，两定点一定要在动点得轨迹 (曲线)得异侧(二)利用圆锥曲线得统一定义将圆锥曲线上得动点到焦点得距离与到相应准线得距离进行互化后进行求解。例5 (1)已知点A (2, 2 ), F就是椭圆得右焦点，P就是椭圆上得动点，贝yPF+ PA得最小值就是 ，一此时，点得坐标为 ;解析:如图9，设点P到右准线得距离为 PP，由圆锥曲线得统一定义可知，即 (当且仅当A ,P ,P，三点共线，即点 P位于点Pi处时取等号) 此时点P得坐标为 P (,2)、(2)已知点A( 5, 2) ,F就是双曲线得右焦点，

8、P就是双曲线上得动点，则PF+ PA得最小值就是 ,此时点得坐标为 .解析:如图10,设点P到右准线得距离为 PP ,由圆锥曲线得统一定义可知，即(当且仅当A, P, P，三点共线，即点 P位于点P i处时取等号) 此时点P得坐标为P (, 2)点评：此类最显著得特征就是动点与焦点距离前有系数，可以利用圆锥曲线得统一定义将动点到焦点得距离转化为到相应准线得距离。例6 (1 )抛物线得焦点为F ,A(4 , - 2 )为一定点，在抛物线上找一点M，当MA+ M F为最小值时，点M得坐标为;解析:如图11,为抛物线得准线，MM /为点M到准线得距离。利用抛物线得定义：M F=MM',可得MA+ MF= MA+M M' = AM / (当且仅当 A , M, M /三点共线时等号成立， 即当点M在M /处时等号成立)此时点M得坐标为M(, 2)(2) P为抛物线上任一点，A(3 ,4)为一定点，过P作P P '垂直y轴于点P ',则AP+ P P'得最小值为。解析:如图12,延长PP'交抛物线得准线于点P'',由抛物线得定义：PP'=PF,所以 AP+ PP'=