江苏省高考高三数学一轮复习专题函数导数

1、专题 1 函数、导数【课标要求】1课程目标通过集合的教学，使学生学会使用基本的集合语言描述有关的数学对象，发展学生运用数学语言进行交流的能力；使学生初步感受到运用集合语言描述数学对象时的简洁性和准确性通过函数概念与基本初等函数 I 的教学，使学生理解函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型；使学生感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步学会运用函数思想理解和处理现实生活中的简单问题；培养学生的理性思维能力、辨证思维能力、分析问题和解决问题的能力、创新意识与探究能力、数学建模能力以及数学交流的能力2复习要求（ 1）理解集合之间包含与相等的含义，理解两个集合的

2、并集与交集的含义；理解补集的含义了解集合的含义；了解全集与空集的含义； （不要求证明集合的相等关系、包含关系） （ 2）函数的概念和图象理解函数的概念；理解函数的三种表示方法；理解函数的单调性及其几何意义，会判断一些简单函数的单调性；理解函数最大（小）值的概念及其几何意义；会运用函数图象理解和研究函数的性质了解构成函数的要素（定义域、值域、对应法则） ，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念了解简单的分段函数， （不要求根据函数值求自变量的范围） 了解函数奇偶性的含义（对复合函数的一般概念和性质不作要求）（ 3）指数函数理解有理数指数幂的含义；理解指数函数的概念和意义；理解指数函数的性

3、质，会画指数函数的图象了解实数指数幂的意义，能进行幂的运算了解指数函数模型的实际案例，会用指数函数模型解决简单的实际问题（ 4）对数函数理解对数的概念及其运算性质；理解对数函数的性质，会画对数函数的图象了解对数换底公式，知道一般对数可以转化成自然对数或常用对数了解对数函数模型的实际案例；了解对数函数的概念；了解指数函数y a x 与对数函数 y loga x互为反函数（ a 0, a 1）（不要求一般地讨论反函数的定义，不要求求已知函数的反函数）（5）幂函数y x, y x2 , y x3 , y1 , y1了解幂函数的概念；结合函数x2的图象，了解幂函数的图象变化x情况（6）函数与方程了解二

4、次函数的零点与相应的一元二次方程的根的联系了解用二分法求方程近似解的过程，能借助计算器求形如：x3axb0,axbxc0,lg xbxc0的方程的近似解（7）函数模型及其应用了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型的意义，并能进行简单应用（ 8）导数理解导数的定义；能利用导数研究函数的单调性；能用导数方法求解有关利润最大、用料最省、效率最高等最优化问题；感受导数在解决实际问题中的作用了解平均变化率的概念和瞬时变化率的意义； 了解导数概念的实际背景， 体会导数的思想及其内涵了解基本初等函数的导数公式；了解导数的四则运算法则；能利用导数公式表的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数

5、3复习建议（1）关于函数的定义域与值域避免在求函数定义域、值域及讨论函数性质时出现过于繁琐的技巧训练，避免人为地编制一些求定义域和值域的偏题求简单函数的定义域和值域中，“简单函数”指下列函数：yaxb,yax2bxc, ycx d ax b, yaxb, yax , yloga (mxn), ysinx, ycosx 等（ 2）关于分段函数简单（情境）的分段函数指：在定义域的子集上的函数为常数、一次、反比例、二次函数的分段函数例如：出租车收费、邮资、个人所得税等问题（3）关于奇偶性对一般函数的奇偶性，不要做深入讨论（4）关于反函数不要求讨论一般形式的反函数定义，也不要求求已知函数的反函数（ 5

6、）用二分法求方程的近似解关键是结合具体例子感受过程与方法本方法限于用计算器求三类方程：x3axb0,a xbxc0,lg xbxc0的近似解（ 6）关于导数重视导数在研究函数与实际生活中的应用的教学，发挥导数的工具作用要注意运用学生熟悉的数学问题、 生产与生活中的实际问题， 帮助学生增强数学应用的意识， 促进学生全面认识数学的科学价值、应用价值【典型例题】例 1（填空题）2x，1 x1（1）设 f ( x)则 f ( f (2) 的值是1 ，x 1，x解析：课标对分段函数要求能简单应用，直接代入得答案为0（2）设1,1,2,3 ，则使函数 yx 的定义域为 R 且为奇函数的的值为2 3解析：逐

7、个检验， 答案为 3课标中增加了幂函数知识点，属于了解范围，掌握简单应用（ 3）若 a20.5log 3 ， clog 2 sin2y， b，5则 a, b, c 从小到大的顺序为03x1解析：利用估值法知a 大于 1，b 在 0 与 1 之间，c 小于 0. cba 大小比较也是高考较常见的题型，希望引起注意（第（ 4）题图）（4）设 aR ，函数 f (x)x2 2x 2a.若 f (x)0的解集为 A ，Bx|1 x3，A B，实数 a的取值范围是解析：结合图象分类讨论，f ( x)x22x2a（x 1)21 2a 对称轴 为 x1 若 f 10 ，则 f (x) 0的解集为 R ，满足

8、 AB；若 f1 0，则 f (x)0的解集为x x1 ，满足AB；若，则只要 f (3)0，则 f ( x) 0在（1,3）内有根，满足AB；解得a3f 1 0图22象法函数图象在课标中是较高要求，体现数形结合思想 另把函数改为f (x)2x 2a，其它不变，ax求解本题试试看？f (x)02a x2 2x试试看？（同学会误认为是恒成立问题）（5）读下列命题，请把正确命题的序号都填在横线上函数fxx的值域为1,1；( )1 x 已 知 f (x) 是 R 上 的 函 数 且 满 足 f ( x 2)f (x) ， 当 x1, 2 时 ， f ( x)2 x， 则f ( 2 0 0 7. 5

9、)0；.若函数 f ( x) 对定义域中 x 总有 f (1 x)f (1x) ，则 f (x) 是奇函数；函数 ylog 2 (x22x3) 的单调增区间是 (1,) 解析：不正确，对称轴是x1，不正确，应为(3,) 正确答案是：（6） 函数 y|log x|的定义域 a, b，值域0, 2，12y则区间 a,b 的长度 ba 的最小值是1解析：结合图象：当x4 或 x时， y2 4所以，当 a1 , b 1时 b a 的最小值是 3 4420.25 14x（7）若方程 x3x20 在区间 (a,b)(a, bZ, 且ba 1)上有一根，则 a的值为解析：画出 f ( x)x3x 2 的大致

10、图象，估算 f (2) 与 f (1) 的值，知 a2 （8）设直线 y1b 是曲线 y ln x( x 0)的一条切线，则实数b 的值为x2解析： y1，令 11 ，得 x2，切点为（ 2， ln2 ），代入直线方程得xx2b ln2 1本题主要考查导数的意义（切线的斜率）类似地，要能从函数的图像中读懂导数的意义，能理解函数及其相应的导函数图像间的关系（ 9）设函数 yf (x) ax3bx2cxd 的图像与 y 轴的交点为 P 点，曲线在点 P 处的切线方程为12 x y4 0 若函数在 x2处取得极值 0 ，则函数的单调减区间为解析：切线与y 轴的交点为 P(0，- 4) ，d4 ，又

11、f (x) 3ax 22bxc ， f (0)c12 ，f (2)0, f (2)0 ，解得 a2,b9,c12, d4 f (x)6x218x12 ， f ( x)0 ，解得 1 x2 所求的单调减区间为：(1,2) 本题参数较多，须逐个翻译题设（ 10）已知函数f ( x)x2 x1x2 ；cos x ，对于， 上的任意 x1， x2，有如下条件：22 x12x22 ； x1x2 其中能使 f (x1 ) f ( x2 ) 恒成立的条件序号是解析：函数 f ( x)x2cosx 显然是偶函数，其导数f ( x) 2 x sin x 在 0 x2时，显然也大于 0，是增函数，使f (x1)f

12、 ( x2 ) 恒成立的条件是f (| x1 |)f (| x2 |) ， | x1 | | x2 |， x12x22 ；当x 1 = 2 ,x 2 =- 2 时，均不成立故填自觉应用导数，函数的图像，奇偶性等性质解题，培养学生转化意识、化归意识例 2求函数 y1x2的值域1x2解法一：令1x2t(t1)，则 y21 (1,1t解法二： y2x(1 x2 )(1 x2 )2 x4x(1 x2 )2(1x2 )2列表x（， 0）0（ 0，）f ( x)0f ( x)增极大值减当 x0 时，函数取得极大值，也是最大值1；当 x时， f ( x)1，函数的值域为( 1,1例 3在边长为60 的正方形

13、铁皮的四角切去边长相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底铁皮箱箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？图（ a）图（ b）解：设小正方形的边长为x ，则围成的长方体的体积为V ( x)(602x)2 x(0x30) ，V (x)12(x240x300) 0 得 x 10 或 x30 （舍去），当 x(0,10)时， V (x) 0， V (x) 为增函数，当 x(10,30) 时， V ( x)0 ， V ( x) 为减函数，所以，当 x10 时， V (x) 取得极大值也是最大值V (10)16000 （ cm3）答：当箱子底边长等于40cm 时，箱子容积最大

14、，最大值为16000cm3说明：此题是教材中的一道例题，求解也并不困难，如果能适当创设问题情景，譬如设问：由于上述设计存在缺陷（材料有所浪费），请你重新设计切、焊方法，使材料浪费减少，而且所得的长方体容器的体积 V2V 1学生不难发现多种方案，如方案一：ABDC以为底面，以为侧面，焊接成一个长方体；方案二：将正方形作如图切割，然后以ABCD 为底面，四个角分别拼接成四个矩形侧面进一步引导启发可以发现，问题即为已知x2 4xy 3600，求 V x 2 y 的最大值通过精讲例题，培养学生的数学思维能力，探究创新能力，归纳概括能力例 4已知 f ( x) 是( 1， 1) 上的奇函数，当 x2x(

15、 1， 0) 时， f (x)4x1（ 1）求 f ( x) 在 ( 1， 1) 上的解析式（ 2）判断 f ( x) 在 ( 0， 1) 的单调性，并给出证明解：（ 1）当 x( 0，1) 时，x( 1， 0) ， f ( x)2 x2x，x 14x2x41因为 f ( x) 为奇函数所以 f (x)f (x)4x1又 f (0)f ( 0)f (0) ，所以 f (0)0 2x, 1x0,4x1所以在区间 ( 1， 1) 上， f ( x)0,x0,2x,0x1.4x1（ 2） f ( x) 在( 0， 1) 上为增函数，证明如下：设 0x1x21 ，则f ( x1 ) f ( x2 )2

16、x22x12x2 (4 x11)2x1 (4x21)(2 x22x1 )(12x1 x2 )4x214x11(4 x11)(4x21)(4x1 1)(4x21) 0 x x 1 ， x1 x2 0，则 2x22x1 0， 2x1x2 1， 4x11 0， 4x210.12例 5已知函数 f ( x)2x12|x| .（1）若 f (x)2 ，求 x 的值；（2）若 2t f ( 2t )mf (t)0 对于 t1, 2 恒成立，求实数m 的取值范围 .解：（ 1）当 x0时， f (x)0 ；当 x0 时，f ( x)2x12 x .由条件可知2x12 ，即 2 2x22 x10 ，解得2 x

17、12 .2 x2 x0 ， xlog 212 .（2）当 t 1, 2 时， 2t22 t1m 2t10 ，即 m 22 t124 t1 .2 2t2t2 2t10 ， m2 2 t1.t 1,2 ,122 t17,5 ，故 m 的取值范围是 5,) .例 6已知函数 f(x)= ax2ln xaR , x1,2x2( )当 a 2,1) 时 ,求 f ( x) 的最大值 ;4ln x x2 ,( )设 g ( x) f ( x)k 是 g( x) 图象上不同两点的连线的斜率，否存在实数 a ，使得 k 1恒成立 ?若存在 ,求 a 的取值范围 ;若不存在 ,请说明理由解： ()当 -2 a

18、< 1时，由 f '(x) =0 得 x1114a114a4=2, x22.显然 -1 x1< 1 , 1 <x2 2， x11 ,2 , x21 ,2 .又 f '( x) = x x1x x22222x2当 1 x x2 时， f'( x) 0， f (x) 单调递增；当x2<x 2 时， f'( x) <0， f ( x) 单调递减，2 f ( x) max= f (x2)=12a114aln 114a=-14aln 114a .14a222( )答：存在 a(,13) 符合条件因为 g( x) f (x )ln x 2x3，

19、不妨设任意不同两点p1 (x1, y1 ), p2 (x2 , y2 ) ，其中 x1x2 ，则x = axky1y2a( x1x2 ) ( x23x13 )a ( x12x1x2x22 ) ，x1x2x1 x2由 k1知 : a1+ ( x12x1x2x22 ) <13x22 又 1x224 ，故 a7 ，故存在 a (,13) 符合条件44【新题备选】1设 x 表示不超过x 的最大整数（如2 =2,5 =1 ） , 对于给定的n N* , 定义4Cnxn( n1)(nx1)1,3 ,3 时，函数 C8x 的值域是x( x1)(xx, x,则当 x1)233816所以 C8x8解：当

20、x, 2时， C82, 当 x2 时， x1,4；23322当 2,3时， C828728,当 x3时， x2,C8x 8728 ,21323故函数 C8x 的值域是4, 1628 ,28 .332方程 x 22 x10 的解可视为函数yx2 的图像与函数y1 的图像交点的横坐标.若x方程 x4ax 40 的各个实根 x1 , x2 , xk(k4)所对应的点 (xi , 4)（ i =1, 2,k ）均在直线 yxxi的同侧，则实数a 的取值范围是.解：方程的根显然x0 ，原方程等价于 x3a4 ，原方程的实根是曲线yx3a 与曲线 y4 的xx交点的横坐标；而曲线yx3a 是由曲线 yx3

21、向上或向下平移|a| 个单位而得到的若交点 ( xi,4 )（ ixi 1,2,k）均在直线 y x 的同侧，因直线yx 与 y4 交点为： ( 2,2),(2,2)；所以结合图象可得：xa0a0x 3a2 或x3a2a(,6)(6,) ；x2x23 已 知函 数 f (x)(1) xlog 2x ，正 实数 a 、 b 、 c 成 公差为 正数的 等差 数列 ，且满 足3f ( a) f (b) f (c)0 ，若实数 d 是方程 f (x)0 的一个解，那么下列四个判断：da ； db ； dc ； dc 中有可能成立的是解 ： 函 数 f ( x) 为 （ 0 ， ） 上 的 减 函 数

22、 ， 且 a bc ， f (a)f (b)f (c) ， 又 f ( a) f (b) f (c)0， 有的值有两种可能，0f (a)f (b)f (c)或f ( a) , f (b ) ,f (cf (a) f (b)0f (c) ，故填4已知函数 f ( x)log 1 (| x |3) 定义域是 a, b (a,bz) ，值域是 1,0 ，则满足条件的整数3数对 (a,b) 有对解：显然，函数f (x) 是偶函数，定义域为（3，3），且 f (0)1, f (2)0，所以，则满足条件的整数数对 ( a, b) 有（ 2， 0），（ 2，1），（ 2， 2），（ 1， 2），（0，2）5

23、 对5对于函数 f ( x)lg 1x ，有三个数满足a1, b1, c1，且 f ( ab )1， f ( bc ) 2 ，1x1ab1bc那么 f ( ac ) 的值是_1ac解：f( a b )f( )f(),f( b c )f()f() ，1abab1bcbc所以 f ( a c )f (a)f (c) f (a)f (b) f (b)f (c)1 1acmx26已知函数 f ( x)(m3)x1的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点右侧（ 1）求实数 m 的取值范围；（ 2）令 t m 2，求 1 的值（ t 表示不大于 t 的最大整数）；tt1（ 3）对（ 2）中的 t ，求函数

24、g(t )1t1的值域t t1 tt1解：（ 1）若 m 0则 f (x)3x 1由 f (x)0,得x0. 符合题意3若 m0 ， m<0 时，10 , 方程 f ( x)0 两根异号，必有一个负根m10,m m>0 时，由m 30,得 m(0,1 时，方程有两正根综上得 m 1m(m 3)24m 0,（ 2） t m 2 ， t111 ，当 t>1 时， 10 1, ), 01当 t 1 时， ttt（ 3）当 t 1 时， g (t)1；当 t>1 时， 1 0，设 t n，且 t t a，则 nZ,0 a 12tna11于是 g (t)na 由函数 h(x)x1

25、时是增函数，n在 x1xn1n a111n nn 1 及0a 得n a1,n1n1n1n1nn1n2设 an1递减， an 1ann1(n1) 21)(nn( n2) a1a2a3a4ann11n11递减， b1b2bnbn1n1(n1) 2于是 t>155综上 g(t )155时， g(t ) 的值域为 a2 ,b1 ), 即, )的值域为 ,) 642647已知函数 f ( x)1 x41 ax3a2 x2a4 (a0) ，4 3（ 1）求函数 y f (x) 的单调区间；（ 2）若函数 yf (x) 的图像与直线y1恰有两个交点，求a 的取值范围解：（ 1）因为 f ( x)x3a

26、x22a2x x(x2a)( xa)，令 f (x)0得 x12a, x20, x3a ，由 a 0 时， f ( x) 在 f(x)0 根的左右的符号如下表所示x(,2a)2a( 2a,0)0(0, a)a( a, )f ( x)000f ( x)极小值极大极小值值所以 f ( x) 的递增区间为 ( 2a,0) 与(a,) ， f ( x) 的递减区间为 (， 2a)与(0，a) ，（ 2）由（ 1）得到 f (x)极小值f (2a)5 a4 ， f ( x)极小值f (a)7a4 ，312f ( x)极大值f (0)a4；要使 f ( x) 的图像与直线y 1恰有两个交点，只要5 a41

27、7 a4 或 a41 ，312即 a4 120 a 1或7sin x（ 1）求f ( x)的单调区间；设函数f (x)82cos x1（ 2）当 a时，证明：对任何x 0 ，都有 f (x) ax 3解：（ 1） f ( x)(2 cos x)cos x sin x( sin x)2cos x 1(2 cosx)2(2 cos x) 22x2k2Z ）时，当 2k（ k332x2k4Z ）时，当 2k（ k33cos x10 ；，即 f ( x)2cos x10 ，即 f ( x)2因此 f ( x) 在每一个区间2k22（ k Z ）是增函数，2k33f ( x)在每一个区间2k24（ kZ

28、 ）是减函数，32k3（ 2）令 g( x)axf ( x) ，则 g ( x)a2cos x 123(2cos x)2a(2 cos x)22 cos x21 故当 a 1311a时， g ( x) 02cos x333又 g(0)0 ，所以当x 0 时， g (x) g(0)0 ，即 f (x) ax 【专题训练】一、填空题1函数 f (x)x21的定义域为log 2 ( x设函数 f (x)1)( x1)(xa) 为偶函数，则a23方程9x63x70 的解是 _ 4设 a1，函数f (x)loga x在区间a 2a上的最大值与最小值之差为1 ，则a_，25已知 f (3x )4 x log2 3233，则 f (2)f (4)f (8)f (28 ) 的值等于6设函数 f (x) 定义在实数集上，它的图像关于直线x1 对称，且当 x1时，f ( x) 31f (2 )