动点问题最值

1、动点问题最值最值问题有四种情形：定点到动点得最值，动点在圆上或直线上，就就是点到圆得最近距 离，与点到直线得最近距离；三角形两边之与大于第三边得问题，当两边成一直线最大； 几条线段之与构成一条线段最小；还有就就是对称点最小问题。一、定点到动点所在圆得最大或最小值，动点在一个定圆上运动，其实质就是圆外一点到 圆得最大或最小距离，就就是定点与圆心所在直线与圆得交点得两个距离。方法：证明动点在圆上或者去找不变得特殊三角形，证明两个三角形相似，求出某些边得 值。1. 如图， ABC EFG均就是边长为2得等边三角形，点 D就是边BC EF得中点，直线AG、FC相交于点M .当 EFG绕点D旋转时，线段

2、BM长得最小值就是（）A. 2 3B. .3 1C. .2D. .3 1F提示：点M在以AC为直径得圆上2. （ 2015?咸宁）如图，已知正方形 ABCD得边长为2, E就是边BC上得动点，BF丄AE交CD于点F,垂足为G,连结CG.下列说法：AG>GE;AE=BF ; 点G运动得路径 长为nCG得最小值为1 .其中正确得说法就是.（把您认为正确得说法得序号都填上）N就是 AB边上一动点, 值就是 八、吕长度得最小彳提示：G在以AB为直径得圆上：正确答案就是：3、 如图，正方形 ABCD得边长为4cm,正方形AEFG得边长为1cm如果正方形 AEFG绕点A 旋转，那么C、F两点之间得最

3、小距离为4、如图，在边长为2得菱形ABCD中, / A=60° ,M就是AD边得中 将厶AMN& MN所在直线翻折得到 A MN,连接A' C,则A' C/B5、如图，等腰直角 ACB AC=BC='5，等腰直角 CDP且PB<2，将 CDP绕C点旋转、A'A NBCP(1 )(2)(3)求证：AD=PB若/ CPB=135 , 求 BD/ PBC=时，/ PBC=时，BD有最大值，并画图说明;BD有最小值，并画图说明、PBCBCP45DFA以点角顶点C按逆时针方向排列)提示等腰直角厶AOC与等腰直角发现EEFGH2DCB最大值为GBAB

4、(1 )(2)(3)BD=A分析:且ACAD：2 GFEM2AE=135 ,AD=1 B得最F为CE得中 D ADBa得+AD寸 BD 角三角礙,.线段AB上亍AD在一条直线上，6由(1)知/ PBC=/求CF得长将厶ADE绕A旋转一周，求点 F运动得路径长 ADE绕点A旋转一周，求线段 CF得范围、得等腰 PBC(点P, BAC=、2 , F为BE中点就是'AC边上一动点人连接q 则厶BADE得周长得最小则线段 AC得取值范围A(2, 4)、P(1, 0), B为y轴上得动点，以 AB为边构造 ABC,为。一2+_3C 2点F在以GH为直径得圆p A-一此时/ CAD=456、如图，

5、 ABCM ADE都就是等腰直角三角形DDA又 AD=47、如图，AB=4, O为AB中点，O O得半径为AE-CEC ACW AE+CE1三角形，边长为,2, D0，AAB+AD 当 BD=A、ACB就是等腰1E1,点P就是O O上一动点:5>BA，过点 A作AE/ BC交O O于E,连接EDFM CB -A A【寸BD最小，此时，AB与>BC/ CAD=45提示：本题根据中点构造三角形相似，B03A BAE且OF9、如图，正方形 ABC,AB 点，求BF得最大值。连AC,取DC中点G,A -1- GH -AD 22CE(BE从而得到相似BOPA BEC CE=在厶ACE中卡 C

6、D ”小距离。方法：1.在平面直角坐标系中，已知V其实质就是点到直线DEO BE、点，且/ AED=9BCBA PMM1M取特殊位置考虑:当B在原点时,当C在原点时,5使点C在x轴上,OM=AM点M在0A得垂直平分线上。2、在平面直角坐标系中，A (-3,0 ), B (3,0 ), C (0，-知3 ), E为y轴上一动点，以BE为边向左侧作正厶BEF贝U OF得最小值为 提示：点F在如图所示得直线 AF上运动。 那两个涂色得三角形始终就是全等得/ FAO=3C° OF 3332323、如图，点D在等边 ABC得边BC得延长线上,且 AF=BE寻最小值就是X E若BD=2,贝U D

7、G彳A7点E、F分别就是连接EF,以EF为边构造等边 EFG连接DG垂直时,考虑特殊位置: 当当杏与 有点G¥与A重合，此时BG/ AC 当 与AC平行得直线上，/DG垂直于过B与CDC过 E 作 EH/ AC,则有EGBBBG EHF=60D点G在平行于AC得直线GB上运动。4、如图，OA=3 / OAB=60 , P为射线BO上一动点，E为OB中点, 则点P运动过程中CE得最小值为34AB F H与C重合时，F与B重合,GX AC 所平行得直线以AP为边作等边 APC,易证： APHA ACB A点C在AB得垂 三、根据三角形两边之与CyA半轴上得那个点) AC=BC*y其她两边

8、得与,之差小于第三边，最大值就就是让第三1、15、 ACD 中，AD=；则BD得最大值就是,CD= 5 , BC丄 AC 于 C, AC=2BC,提示：过C作CE! CD使 CE=2CD连接ACCDCE则有ACDBDCCEED二 BD - AE 又 AE< DE+AD=13 / BD=6 522、如图，AB=4, O为AB中点，O O得半径为1,点P就是O O上一动点，以点P为直角顶点得等腰PBC(点 P, B,C按逆时针方向排列)则线段 AC得取值范围、2 < APW 3 2提示：发现定等腰直角厶2 在厶ACE中,AAE-CEC ACW AE+C(1)(2)(3)AD=PB若/

9、CPB=135/ PBC=/ PBC=，求BD 时， 时，pBCA分析且ACAD=DBD=AB+AD寸 BDAOC与等腰直角C* BCDCB就是等腰线段AB上,BD有最大值，并画图说明;BD有最小值，并画图说明、1 A AB寸BD最小，此时,CAD=45-CDp,且 PB=(2最小值问题，就就是要ACB AC=BC='5，等腰A Ov_从而得到相似BOPA BEC CEf 2 CDP绕IO角礙A此时/ CAD=45，四、由三角形第三边小于两边之与推广可以得到，多条线段得与构成一条线段，理由就是两点之间线段最短。1、如图，四边形 ABCD就是正方形， ABE就是等边三角形,将BM绕点B逆

10、时针旋转 60°得到BN,连AM CM EN(1)(2)求证： ABMA ENB 当M点在何处时，AM+CMI值最小？ 当M点在何处时，AM+BM+C得值最小？并说明理由、E当AM+BM+C得值最小值为.31时，求正方形得边长、E2. ( 2015?天津)在每个小正方形得边长为1得网格中.点(3)分别为线段 BC、DB上得动点，且 BE=DF .AD在一条直线上，1)知/ PBC=/M为对角线BD上任意一点,A、F(I )如图，当BE仝时，计算AE+AF得值等于(H)当AE+AF取得最小值时，请在如图 所示得网格中，用无刻度得直尺，画出线段AE，AF，并简要说明点 E与点F得位置如何

11、找到得(不要求证明)取格点H，K，连接BH，CK，相交干点 P，连接 AP，与 BC 相交，得点 E，取格点 M，N连接 DM，CN，相交于点G，连接AG，与BD相交，得点 F，线段 AE，AF即为所求. .1111 -»»-r - - ir - < - -1«ilIf1*_ _ 1 _ _ _ _L " L - k F II ' -<!'Iji|ji3i| Ii；Um nJ1 «faH » Jng41111!=>111li亠厶w q ,1111i.iL K * L FT V r*Ha * fan m

12、 厶 4AP1 1,1 1i r b r 1.0.I H T I IVt-1r p b 尸 * t t . -r、«-ida1 >1k s 亠44a JL.J 8 ¥ 1 cF I！.B1 W-i4a|njF T R ji3hii1111h - i 3"111Iy n»niL. * 1 7 1 1q"J""iila4jI|:ji*Aii3、已知抛物线y2 2x 2nx nn得顶点为N.(1) 若点P在直线MN上，求(2) 就是否存在过(0, 2)得直线与抛物线交于 使AB为定长，若存在，求出 AB得长；若不(3) 在(

13、2)得条件下，当四边形 MABN得周【意图】本题综合考查运用初中数学核心内容与重要n得值;* 分交x, y轴于点M ,-A,请说明理由长最小时，得思想方法解决问题得能力.生，(A点在艸得下方)，【考点】抛物线得解析式求法，坐标得方法，直线与抛物线得交点问题，一元二次方程根与 系数得关系等，坐标系中定值与最值问题.44【解析】(1)配方P (n, n)代入y x -93如图1，设过(0， 2)得直线为y kx设 A(x1,y1), Bgyz)y kx 2,联立2,y (x n) n消元得 x2 (k 2n)x n2 n 20二 x1 x2 2n k ,x1x2 n2 n 2, (x1 x2)2

14、(x1 x2 )2 4x2 k2 8 AB2(1 k2)k2 8 (4 4k)n第24题(4 4k)n2要使AB为定长，则 AB得值与n得取值无关， 4 4k=0.k=1存在直线y=x 2，使AB为定长，且 AB=3、2 .4(3)如图2，易求M ( 3, 0), N(0,)，平移AB,使A点于M点重合，则 B得对应点G刚3好落在y轴上，因为AB=3j2，所以G (0, 3).作点G关于直线y=x 2得对称点H(5,2).过G作GF1 y轴，交直线 AB于F,连FH,所以FH=FG=5又/ FGAN AFH=45 ,连接NH 交直线y=x 2为点R (2, 0).可证明当点B与R重合时，四边形

15、 MABN得周长最小.ty将 R (2, 0)代入 y (x n)2 n 中,得 n1 1, n2 4 (舍去)./ n=1 .五、利用对称求最值M°H/OB上，且 OM = 1 , °N= 3,点 P、Q 分别1.如图，/ AOB= 30 °点 M、N分别在边 OA、在边OB、OA上，贝U MP+ PQ+ QN得最小值就是2、已知抛物线 yx2 2nx n2 n得顶点为x, y轴于点M ,P,直线y 4N.(1) 若点P在直线MN上，求n得值；(2) 就是否存在过(0, 2)得直线与抛物线交于 A, B两点(A点在B点得下方)， 使AB为定长，若存在，求出 AB

16、得长；若不存在，请说明理由；(3) 在(2)得条件下，当四边形 MABN得周长最小时，求 n得值.【意图】本题综合考查运用初中数学核心内容与重要得思想方法解决问题得能力.【考点】抛物线得解析式求法，坐标得方法，直线与抛物线得交点问题，一元二次方程根与系数得关系等，坐标系中定值与最值问题.44【解析】(1)配方P (n, n)代入y x93如图1，设过(0， 2)得直线为y kx 2 ,设 Ag%), B(x2,y2)ykx2,联立y(xn)2 n消元得x2(k2n )x n2 n 20X22nk ,x1x2n2 n 2,(x1x2)2(x1 x2 )2 4xjX2 k28 (4第24题4k)n

17、AB2(1 k2)k28 (44k)n 要使AB为定长，则 AB2得值与n得取值无关， 44k=0. k=1存在直线y=x 2，使AB为定长，且 AB=3.2 .4(3)如图2，易求M ( 3, 0), N(0,)，平移AB,使A点于M点重合，则 B得对应点G刚3好落在y轴上，因为AB=3j2，所以G (0, 3).作点G关于直线y=x 2得对称点H(5,2).过G作GF1 y轴，交直线 AB于F,连FH,所以FH=FG=5又/ FGAN AFH=45 ,连接NH 交直线y=x 2为点R (2, 0).可证明当点B与R重合时，四边形MABN得周长最小.*y将 R (2, 0)代入 y (x n

18、)2n 中,得n 1, n2 4 (舍去). n=1 .六、其她类最值1、如图，在 ABC中，/ C= 90 °点GOMD就是BC边上一动点，过点作BE丄AD交AD得延长线于E.若AC= 6, BC= 8，则D旦得最大值为( B )AD11A.B.-23提示：比值构造相似三角形，于就是过C.第24题图2_D3 D.空4 2E作 EF丄 BC于 F,则有 ACSA EFDDEADEFAC，而AC=6所以只要EF最大就比值最大，当E在以AB为直径得半圆弧中点时，EF最大就是22 .如图，在O O中，BC就是弦，AD过圆心 O, AD丄BC. E就是O O上一点.F就是AE延 长线上一点，EF=AE.若AD=9, BC=6.设线段CF长度得最小值与最大值分别为 m , n,则mn=( )A. 100 B. 9