三年高考两年模拟2017版高考数学专题汇编第八章立体几何初步4理

1、a第四节空间中平行的判定与性质A 组 三年高考真题（20162014 年）1. （2016 山东，17）在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径,EF是上底面圆O的直径,FB是圆台的一条母线（1）已知G H分别为ECFB的中点，求证：GH/平面ABC1(2)已知EF=FB=2AC=2 3,AB= BC求二面角FBC- A的余弦值2. (2016 全国川,19)如图，四棱锥P ABCD中 ,PAL底面ABCDAD/ BC,AB= AD= AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点，AM=2MDN为PC的中点.（1）证明MIN/平面PAB（2）求直线AN与平面PMh所成角的正弦值3.（2015

2、 江苏,16）如图，在直三棱柱ABC-ABC中，已知ACLBC BC= CC.设AB的中点为D, BCQBC=E.求证：（1）DE/平面AACC;（2）BC丄AB.4.（2014 江苏,16）如图，在三棱锥PABC中 , D,E F分别为棱PCACAB的中点.已知C2PAI AC,PA=6,BG=8,Di5.求证：直线PA/平面DEF；(2) 平面BDEL平面ABC5.（2014 新课标全国n,18）如图，四棱锥P-ABGD中,底面ABGD矩形，PAL平面ABGDE为PD的中点.（1）证明：PB/平面AEG（2）设二面角DAEG60,AP=1,AD=3,求三棱锥EACD勺体积6.（2014 湖

3、北,19）如图，在棱长为 2 的正方体ABCD1BGD中，E F,M N分别是棱AB ADAB,AD的中点，点P, Q分别在棱DD BB上移动，且DP= BQ=入（0入2）.（1）当入=1 时，证明：直线BG/平面EFPQ（2）是否存在 入,使面EFPQ与面PQM所成的二面角为直二面角?若存在，求出入的值；若不存在，说明理由.B 组 两年模拟精选（20162015 年）1.（2016 浙江金华十校期末）设a是空间中的一个平面，l,m n是三条不同的直线,则下列命 题中正确的是（）A.若n?a,n?a,l丄m l丄n,则I丄aB.若m?a,nL a,l丄n,则I/m3G.若I/m nL a,nL

4、 a,则I/nD.若I丄ml丄n,则n/m2. （2016 贵阳调研）在空间四边形ABGD,E,F分别为ABAD上的点，且AE：EB= AF：FD=1：4,又HG分别为BGCD的中点，则（）A.BD/平面EFG且四边形EFGHI平行四边形B.EF/平面BCD且四边形EFG堤梯形C.HG/平面ABD且四边形EFGH是平行四边形D.EH/平面ADC且四边形EFGHH梯形3. （2015 成都四中模拟）以下命题中真命题的个数是（）1若直线I平行于平面a内的无数条直线,则直线I/a；2若直线a在平面a外,则a/a；3若直线a/b,b?a,则a/a；4若直线a/b,b?a,则a平行于平面a内的无数条直线

5、.A.1B.2C.3D.44. （2016 北京海淀模拟）如图所示，ABCDABCD是棱长为a的正方体，MN分别是下底面的a棱A1B1、B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP=3,过P、M N的平面交上底面于PQQ在CD上,则PQ=_.M5. （2015 四川德阳模拟）如图所示，在正方体ABCDABCD中，E、F分别是棱DD、GD的中占I八、（1）求直线BE和平面ABBA所成角0的正弦值;（2）证明：BF/平面ABE4合案精析A 组 三年高考真题（20162014 年）1.（1） 证明 设FC中点为I,连接GI,HI,在厶CEF中 ,因为点G是CE的中点，所以GI/EF5又EF/ O

6、EB所以GI/OB在厶CFB中 ,因为H是FB的中点,所以HI/BC, 又HInGI=I,所以平面GHI/平面ABC因为GH平面GHI所以GH/平面ABC连接OO,则OO丄平面ABC又AB= BC且AC是圆O的直径，所以BOL AC由题意得B(0,23,0), q 2 3,0,0).过点F作FM垂直O盯点M所以FM=,FBM= 3,可得F(0,3,3).故C= ( 2 3, 2 , 3,0),(0, . 3,3).因为平面ABC的一个法向量n= (0,0,1),所以 cosmn所以二面角FBCA的余弦值为 亏722. (1) 证明 由已知得AM= -AD=2.31 取BP的中点T,连接AT,T

7、N由N为PC中点知TN/ BCTN=-BC=2.又AD/ BC故TN綉AM四边形AMN为平行四边形，于是MN/ AT因为AT?平面PABMN平面PAB所以MN/平面PAB设mr(x,y,z)是平面BCF的一个法向量nr BC= 0,.由 -m-F=0.可得23x 2 3y= 0,j3y+ 3z= 0.可得平面BCF的一个法向量m= 1,6解 取BC的中点E连接AE由AB= AC得AE! BC7nPM=0, 设n= (x,y,z)为平面PMN勺法向量，则、nPN=0,3.证明 由题意知，E为BC的中点，又D为AB的中点，因此DE/ AC又因为DE?平面AACC AC?平面AACC所以DE/平面A

8、ACC因为棱柱ABCAiG是直三棱柱,所以CC丄平面ABC因为AC?平面ABC所以ACLCC.又因为ACL BCCC?平面BCGBi,BC?平面BCCB,B6 CC=C,所以ACL平面BCCB.又因为BC?平面BCCBi,所以BCLAC因为BC= CC,所以矩形BCCB是正方形，因此BCLBC.因为ACBC?平面BACA8 B C=C,所以BCL平面BAC又因为AB?平面BAC所以BCLAB.4.证明 因为DE分别为棱PC,AC的中点，所以DE/ PA可取n= (0,2,1).于是 cosn,AN=nAN=皤 |n|AN5设AN与平面PMb所成的角为0,则 sin以A为坐标原点，AE的方向为x

9、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题意知,P(0,0,4),M020),4),PN=2y 4z=0,直线AN与平面PMN所成的角的正弦值为8 ,525从而AELADAE=ABB自C,5 ,2,0),PM=(0,2,+y2z= 0,8又因为PA?平面DEFDE?平面DEF?所以直线PA/平面DEF因为D, E,F分别为棱PC AC AB的中点，PA= 6,BC=8,所以DE/ PA,DE= *PA=3,91EF= gBG=4.又因为DF= 5,故DF=DE+EF2,所以/DEF=90 ,即DEL EF又PA! AC DE/ PA所以DEL AC因为A8 EF=E, AC?平面AB

10、CEF?平面ABC所以D巳平面ABC又DE?平面BDE所以平面BDEL平面ABC5. (1) 证明 连接BD交AC于点O连接EO因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点又E为PD的中点,所以EO/ PB又因为EO平面AECPB?平面AEC所以PB/平面AEC解 因为PAL平面ABCDABCD为矩形，所以ABADAP两两垂直如图，以A为坐标原点，ABB勺方向为x轴的正方向,|AP为单位长，建立空间直角坐标系Axyz,12.设B(m0,o)(m0),则C(m3,0),AC=(m3,o).AC=0, 设n1= (x,y,z)为平面ACE的法向量，则nAfe= 0,1/313又n2= (1,0,0)为平

11、面DAE的法向量，由题设知|cos 5, “| =刁，即、L+4n2= 2,解得m=因为E为PD勺中点，所以三棱锥EAC啲高为舟,三棱锥EAC啲体积V=1x-x3X3x1=事232 甲 2286. 法一(几何法)(1)证明 如图 1,连接AD,由ABCDBCD是正方体，知BC/AD.当入=1 时,P是DD的中点，又F是AD的中点，所以FP/ AD.所以BC/FP.而FP?平面EFPQ且BC?平面EFPQ故直线BC/平面EFPQ则D(0, .3,0),扌,庄2，mx3y= 0,01H图2101解 如图 2,连接BD因为EF分别是ABAD的中点，所以EF/ BD且EF= qBD又DFBQ DP/

12、BQ所以四边形PQB是平行四边形,故PQ/ BD,且PQ= BD1从而EF/ PQ且EF=尹Q在 Rt EBQ和 RtFDP中，因为BQ= DP=入，BE= DF= 1,于是EQ= FP=1 +入2,所以四边形EFPQ是等腰梯形.同理可证四边形PQM是等腰梯形.分别取EFPQMN勺中点为HQG连接OHOG则GQL PQHQL PQ而GO HQ= Q故/GQ!是面EFP(与面PQM所成的二面角的平面角.若存在入，使面EFPQ面PQM所成的二面角为直二面角，则/GQ= 90 连接EMFN则由EF/ MN且EF=MN知四边形EFNMH平行四边形 连接GH因为H,G是EF,MN的中点，所以GH= ME

13、=2.在厶GQH中 ,GH= 4,QH=1 + 入2-法二(向量方法)以D为原点，射线DADCDD分别为x,y,z轴的正半轴建立如图 3 所示的空间直角坐标系由已知得B(2,2,0),C(0,2,2),日 2,1,0),F(1,0,0),R0,0,入)BC= ( 2,0,2),FP= ( 1,0,入),FE=(1,1,0).QG=1+（2 入）2入）2+2,由QG+QH=GH得（2 入）2+ 2 + 入2+ 2=4,解得入=1故存在入=1使面EFPC与面PQM所成的二面角为直二面角Dxyz图311(1)证明 当入=1 时,FP= ( 1,0,1),又因为BC= ( 2,0,2),所以E3G=

14、2FP即BG/FP而FP?平面EFPQ且BG?平面EFPQ故直线BG/平面EFPQ12（2）解 设平面EFPQ勺一个法向量为n= （x,y,z）.x+y= 0,】x+0.于是可取n=（入，U同理可得平面MNP的一个法向量为 m=（入一 2,2 入，1）.若存在入，使面EFPQf面PQMI所成的二面角为直二面角则 m-n=（入一 2,2 入，1 ） （入，一入,1） = 0,即 入（入一 2）入（2 入）+ 1 = 0,解得 入=B 组 两年模拟精选（20162015 年）m?a,n?a,I丄m I丄n,需要mAn=A才有i丄a,A 错误;I丄n,I与m可能平行、相交，也可能异面，B 错误;11

15、如图，由题意，EF/ BD且EF=BDHG/ BD且HG=；BD52面PQNMMN/ PQ又TM/AC - PQ/ ACFE- n=0,则由可得FP-n=0,7故存在入=1,使面EFPC与面PQM所成的二面角为直二面角1.C 解析若n?a ,n丄若I丄mi丄 n,n与m可能平2. B EF/HG且EFM HG 四边形EFGH是梯形.又EF/平面BCD而EH与平面ADC不平行，故选B.3.A 中I可以在平面a内；中直线a可以与平面a相交，故错误；a可以a内；正确.4.23ra如图所示，连接AC在平面易知MI/平面ABCD又平面PQNM ABC=PQMI?平9 C13又AP=aPD=DQ=PQ=2 乂.A3 AD=CD=AC= 3，PC= |AC= a.5.解 设G是AA的中点，连接GE BG / E为DD的中点，ABCdAiBGD为正方体， GE/ AD又ADL平面ABBA, GEL平面ABEAi,且斜线BE在平面ABBA内的射影为BG RtBE