三角函数与解三角形专业题材训练

1、. 三角求值与解三角形专项训练 1三角公式运用 【通俗原理】 cos 3 诱导公式: 2 sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos msin sin tan( ) tan tan 1 mtan gtan sin2 2si n cos , cos2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2si n tan 2 2 ta n 1 ta n2 . asi n bcos Ja2 b2 sin( ), 其中 由tan K -及点（a,b）所在象限确定. a asin bcos a cos b sin Ja2 b 其中 由tan 及点（a , b）所在象限确定. a 【

2、典型例题】 4 两角和差公式: 5.二倍角公式: 6 .辅助角公式： 2 2 cos( 1三角函数的定义：设 p（x,y），记 xOP R , r |OP |x1 2 y2 , 2 .基本公式：sin 则sin -,cos r cos2 1,tan x . ,tan r sin y(x o). x . 2 .若 (0,), tan 2，求 sin cos 的值. 2 3 已知 sin( ) 1 , sin( )-，求 2 tan 4 求 cos15o tan 15的值. 3 5.证明：cos3 4cos 3cos 【跟踪练习】 的值. . 1 .已知 sin( ) ，求 cos( 3 5 6）

3、的值. . 2 若sin 2 丄，求tan 的值. 仁三角形边角关系：在 ABC中, 2 .正弦定理： sin A 变形：a 2Rsin A, 2 a 2 3 .余弦定理： b 2 c a b c ；等边对等角，大边对大角 b c sin B b b2 2 a 2 a 2R(R是厶ABC外接圆的半径 sin C 2Rs in B,c 2Rsi nC 2bccosA 2accosB .变形：cos A 2abcosC 2bc ). ，其他同理可得 4 三角形面积公SA ABC 5.与三角形有关的三角方程： 6 .与三角形有关的不等式： 1 absin C 2 si n2 A cos2A a b

4、1 bcsin A 2 sin2 B cos2B sin A sin B 1 acsin B. 2 B或2A B. cosA cosB. 2B ; . 2 三角求值与解三角形专项训练 2.解三角形 A, B, C的对边分别为a,b,c，A B C 7 .解三角形的三种题型：知三个条件 （知三个角除外），求其他（角、边、面积、周长等）； 知两个条件，求某个特定元素或范围； 知一边及其对角，求角、边、周长、面积的范围或最值. (2)-：角形中常见的結论 1 + /J+(. =K- 2YEA RC /； 族=#泊鲁油 i 点 R :m 角形内的i秀导公成湎n ( 4 “)=sin C；tiK ( 二

5、一朋c- A+B . C -二 an W iM 3 在 ABC中，a 1, A , b .3，求角C的大小. 6 4 在 ABC中，C 2A，c x2a，求角A的大小. kui( 4 )= 1 .在 ABC 中，若 a cosA bcosB，试判断 ABC的形状. 2在 ABC中，证明：a b A B sin A sinB cosA cosB . -wnGBin 平 【典型例. 5 .在 ABC 中, a 3 cosA c si nC 求角 A 的大小. . 3 (I) 求厶ABC面积的最大值； (II) 求厶ABC周长的取值范围. 【跟踪练习】 1.在 ABC 中，a(si nA si n

6、B) (c b)(si nC si n B)，求角 C .6 在 ABC 中，c .3 , C . 2 .在 ABC 中，a2 c2 b2 ac. (I) 求 B的大小； (II) 求cos A cosC的最大值. 3 在 ABC 中，b2 c2 a2 、,3bc, B , b 23. 3 (I) 求BC边上的中线 AD的长； (II) 求 BAC的角平分线 AE的长. 参考答案 xOP xOQ = 2 ，有 P(x, y),Q(y, x), 则 sin( ) 2 x，而 cos x si n( _) 2 cos . 2 .解法一 :/ (0, ) , tan 2 2 , 代入sin2 2 2

7、 cos 1 得 cos 1 5 - sin cos 3 一5 5 . 解法二： (0, ), tan 2 , - (sin cos 2 ) 1 2sin cos 有sin 则cos 5.1 三角公式 【典型例题】 1证明：如图，在单位圆中，记 2cos sin 2sin -2- sin cos 2 cos 2ta n tan2 又sin cos 0，有 sin cos 3. 解：由sin( )1 , sin( sin cos cos sin 1 得 1 sicos cos sin 2 sin tan co sin co tan sin cos si 3. cos 4. 贝V sin cos

8、解： cos15 3 ,cos 4 sin o o o o o o cos(45 30 ) cos45 cos30 sin 45 sin 30 . 2 .3 J 1 、2 .6 V V T 2 4 【跟踪练习】 cos( 2 ) cos cos2 sin si n2 2 cos (2cos 1) 2cos .2 sin c 3 2cos cos 2cos (1 2 cos ) 4cos3 3co 5.证明：C0S3 1.解： (3) 且 sin( 二 cos( cos ( 2 sin( -)3 3 5 )3 3 5 2 .解：由 sin 2 1 得 2sin 2 cos 即 2 sin sin

9、 cos 2 cos tan tan2 1，即 tan2 1 4 4 tan o,解得 ta n 由cos 乜得cos(2k 5 即 sin sin 由sin 口 得 si n(2k 5 cos cos - 2sin cos 4 “5 5 tan 15o ta n(45 0、 30 ) tan 45 tan 30o 1 ta n45gta n30 cos15o tan 15o 、2 .6 4 .3. . 5.3 解三角形. 【典型例题】 1.解：由 acosA bcosB 及正弦定理得 si nAcosA sin BcosB，即 si n2A sin2B , 又 AB (0,)，有 2A 2B

10、 或 2A 2B，即 A B 或 A B ABC是等腰三角形或直角三角形 . 2.证明：a b A B，由a b及正弦定理得2RsinA 2RsinB sin A sin B, 而函数f(x) COSX在(0,)上单调递减，有 f(B) f(A), A 二 a B cosA b A B cos, sin A sin B cosA cosB . 3 解: 由正弦定理得 sin A ，得 sin sin B bsin A 因为b .3 所以B A，故B 时， 3 2 时 3时， -_L3 2 2 (A B) (6 3) 2 3)6 角C为一或一. 6 .2a ,由正弦定理有 sinC= 2 sin

11、A. si n2A= .2 sin A,于是 2si nAcosA= . 2 si nA, sinAK,于是 cosA=, 2 4 解：T 又 C=2A, 在厶 ABC 中, 5 解：由条件结合正弦定理得, 3cosA c a sin A， si nC 从而 si nA 、3cosA , tan A .3 , 6 解: (I) T c 3,C ，由余弦定理得 3 C、3)2 b2 2abcos, 3 2 2 a b ab 2ab ab ab，仅当 b时等号成立, 1 1 ABC 的面积 S -absinC absin 2 2 3 . 当a b -3时， ABC面积的最大值为匚； 4 (II)由

12、(I)得 3 a2 b2 ab，即 3 (a b)2 3ab , 1 2 a b 2 2 l ab -(a b)2 1 ( )2，则(a b)2 12，即 a b 2.3，仅当 a 3 2 ABC的周长a b c 2、3 ,3 3、.3，仅当a b .3时等号成立， 而 a b c 、3，故 a b 【跟踪练习】 又 A (0, ) , A 而 b 2.3 ,由一 sin A sin B b时等号成立 ABC周长的取值范围是 (2 .3,3,3. 1.解：由已知以及正弦定理，得 c b，即 b2 ab . 2 2 2 a b c 1 口 cosC ，又 2ab 2 ，所以 C 2 a 2 .解

13、：（I）由已知得：cosB - c2 b2 2ac -,Q0 B 2 (II)由(I)知：A C ,故 A - 3 3 C,0 所以 cos A cosC cos( C) cosC si nC 2 3 cosC 2 3sin( C Q0 C 3 I3 sin(C 3) 3 cos A 2 cosC 3. 2 2 3.解：(I)由 b c a2 - 3bc 及余弦定理得cos A ,2 2 2 b c a 2bc . c a 得 sinC sin sin一 6 3 ，即 sin 6 2. . uuur i uuu uuur AD是BC边上的中线，则 AD (AB AC), 2 uuu-2 1 2

14、 2 uuur 二 AD (c b 2bccos) 7，有 | AD | ：.7 , 4 6 即BC边上的中线长为.7 ; (II)由(I)得c 2,b 2、入,A ，又AE是 BAC的平分线， 6 由 SA ABE SACAE SABC 得 cgAE sin bgAE sin bc sin , 2 12 2 12 2 6 2(、一3 1)sin gAE 2、3，即(、3 1)sin gAE .3 , 12 12 亍. / 、罷迈 1 迈辰迈 乂 sin sin ( 一) 12 3 4 2 2 2 2 4 AE ,6，即 BAC的角平分线 AE .6 . 5.2三角函数的图象与性质 【通俗原理

15、】 1 三个基本三角函数的图象与性质 (2)对称性：关于(k ,0)中心对称，关于 x k 轴对称； (k Z , 下同) 2 (3)周期性：周期为T 2 ； 单调性: 在2 k 2 2上递 增， 在2 k ,2 k 上递减； 2 2 最值性：当 i x 2k 时, 2 y max II 当x 2k 时， ymax 1 ； 2 II 奇偶性：奇函数，图象关于原点对称； k (2) 对称性：关于(,0)中心对称，不是 2 轴对称图形；(k Z，下同) (3) 周期性：周期为T ； 单调性：在(k -,k -)上递增. 2 2 (2) 对称性：关于(k ,0)中心对称， 2 关于x k轴对称；(k

16、 Z，下同) (3) 周期性：周期为T 2 ； (4) 单调性：在2 k ,2k 上递减， 在2 k ,2 k 2 上递增； 最值性：当x 2k时，ymax 1， 当 x 2k 时，ymax 1 ； (6)有界性：当 x R 时，sinx 1,1.奇偶性：奇函数，图象关于原点对称; (1) 奇偶性：偶函数，图象关于 y轴对称; . (6)有界性：当 x R 时，sinx 1,1. y tanx 化/ y x y sin x 工 H亠, Z - ” (1)切线： 曲线y sinx在x 0处的切线 为y x，曲线y tanx在x 0处的切 线也为y x ； 不等式：当x (0,)时，sinx x

17、tanx， 当 x ( 2,0)时，tanx x sinx， 当 x 0 时， si nx x tanx. 2 函数图象平移与伸缩变换. (1)左右平移：y f(x)向右平移 a 个单位 y f(x a)； 同理有如下结果： 上下平移：y f(x)向上平移 b 个单位 y b f (x)，即y f (x) b ; 说明：当a 0时，y f (x)向右平移a个单位得y f (x a)，当a 0时，y f (x)向 左平移|a|个单位得y f (x a)；当b 0时，y f (x)向上平移b个单位得y b f (x)， 即y f(x) b，当b 0时，y f (x)向下平移|b|个单位得y b f

18、 (x)，即y f (x) b. 1 横向伸缩：y f(x)横向(x)伸长到原来的 A 倍 y fx)； 1 纵向伸缩：y f (x)纵向(y)伸长到原来的 B 倍 y f (x)，即y Bf (x). B 说明：当A 1时，表示伸长，当0 A 1时，表示缩短；当 B 1时，表示伸长，当0 B 1 时，表示缩短. 【典型例题】 1 .已知函数 f(x) sin(2x ). 3 (1) 求f (x)的对称轴及对称中心； (2) 求f(x)的单调递增区间及在0,上的单调递增区间； (3) 求f(x)在,0上的最大值与最小值，并求出相应的 x的值. 1 3 把函数f(x) si nx的图象经过怎样的

19、平移与伸缩变换可得到函数 g(x) 2cos-x 1的图 3 象？ 【跟踪练习】 1 .函数y | tan2 x |的对称轴是 _ . 2 .已知a 0, 0 ,函数f(x) sin (x )，把y f (x)的图象向右平移 a个单位得到一 个偶函数y g(x)的图象，把y f (x)的图象向左平移 a个单位得到一个奇函数 y h(x)的 图象，当| |取得最小值时，求y f(x)在0,2 上的单调递减区间. 1 3 .若把函数f(x) x2 2x的图象向左平移 1 个单位，再把横坐标缩短为原来的 倍(纵坐标不 2 变)得到函数y g(x)的图象，求函数 y g(x)的解析式. 5.2 三角函

20、数的图象与性质 【典型例题】 1 .解：由2x - k 得x k ，即 f(x) k 的对称轴为x 3 2 2 12 2 12 由2x k得x k 即 k f (x)的对称轴为( ,0) , k Z ； 3 2 6 2 6 由2k 2x 2k 得k x k 2 3 2 12 12 f (x)的单调递增区间为 k ,k ,k Z , . 12 12. 当 x 0,时，2x , 3 3 3 f(x)在0,上的单调递增区间是 由x ,0得2x 2 sin( A) 2 同理 cosB si nC , cosC si nA , - sin A sinB sinC cosA cosB cosC . 3 .

21、解：方法一(先平移再伸缩)：f (x) si nx cos(- 2 把x a代换 x得，y cos(x x) cos(x ), 2 1 1 a )，把一x 代换 x 得 y cos( x a )，与 y 2 A A 2 1 COS x 3 a 对比得 丄 A -0 2 1 3 2，即把f(x) si nx的图象向左平移 一个单位，再将横坐标 3 2 伸长到原来的 3倍得 cosx的图象，再将纵坐标伸长到原来的 2 倍得y 2cos - x的图象, 3 3 后向上平移 i 个单位得 1 g(x) 2cos”x 1 的图象. 方法二(先伸缩再平移)：f (x) sinx cos( x) cos(x ), 2 2 1 1 1 cos( x a )，与 y cos x 对比得 2 A A 2 3 由 2x 或 2x - 3 3 2 2 3 12 x ， 当 2x - 3，即x 0 时，f(X)max f (0)