三角函数与解三角形中的范围问题含答案

1、-可编辑修改- 1.在锐角厶 ABC 中，a, b, c 分别为角 A、B、C 的对边，且 B=2A，求的-取值范围 a 2 2 2 2 2 2 .在 ABC 中，a,b,c 分别为角 A, B, C 的对边，设 f(x)=ax -(a -b)x-4c. n (1) 若 f(1) =0，且 B- C=，求角 C. 3 (2) 若f (2) =0，求角 C 的取值范围. 2 3.在锐角厶ABC中，a, b,c分别是角A,B,C 所对的边，且 J3a=2csin A, (1) 确定角 C 的大小； (2) 若C=7，求 ABC面积的最大值 4.已知 ABC中，角A, B, C,所对的边分别是 a,

2、 b, c,且 2(a2+b2 c2)=3ab. (1)求 cosC; 若C=2，求 ABC面积的最大值. -可编辑修改- 5在 ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且c2 = a2 b2 - ab. 13 (I)若 tan Atan B (1 tan A tan B)，求角 B ； 3 (n)设 m = (sin A,1) , n = (3,cos 2 A)，试求 m n 的最大值. 6. ABC的三个内角 A, B, C依次成等差数列. （1） 若sin B =sinAsinC，试判断 ABC的形状； c _ A A i （2） 若 ABC为钝角三角形，且 a c，试求代数式

3、sin2 3 sin cos 的 2 2 2 2 取值范围. 7.在厶 ABC 中，内角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c , ABAC =8 , - BAC =二, 4 a =4.-可编辑修改- (1) 求b c的最大值及二的取值范围； (2) 求函数f=2.3Sin2( ) 2cosU 的最值. 4 1 3 8.在 ABC 中，ta nA , ta nB 4 5 (1)求角C的大小； (2)若 ABC最大边的边长为.17，求最小边的边长. 6 B+C 9 在 ABC中，角A, B,C所对应的边分别为 a,b,c，且满足4sin： 27 -cos2A . 2 2 -可编辑修改-

4、 (1) 求角 A 的度数； h +c (2) 求 的取值范围. a 10.在 ABC 中，sinB+sinC=sin(A-C). (1) 求 A 的大小； (2) 若 BC=3，求 ABC 的周长 L 的最大值. 8 1 11设 ABC的内角A, B,C所对的边分别为a,b,c,且acosC c = b. (1)求角 A 的大小; (2)若a =1，求 ABC的周长I的取值范围 12.已知向量 m 二(1, cos x), n 二(sin x, 3), (=0),函数 f (x) m n 且 f(x)图 n 7n 像上一个最高点的坐标为 (一 ,2)，与之相邻的一个最低点的坐标为 (厂2).

5、 12 12 (1) 求 f(x)的解析式。 (2) 在厶ABC中，a、b、c是角A、B、C所对的边，且满足 a2，c2-b2=ac，求 角B的大小以及 f(A)取值范围。 3 -可编辑修改- 13. 在 ABC 中，已知内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且a2 b2二c2 ab 若行需，且皿，求-ABC的面积； (2)已知向量 m = (si nA, cos A), n =(cosB,-s inB),求丨 m-2 n 丨的取值范围. 14. 在 ABC中，a、b、c分别是角 A、B、C的对边，且 (1)求角 B 的大小； (2)若 ABC最大边的边长为7，且sin C = 2 s

6、in A ,求最小边长 15. 已知 ABC 的内角 A , B, C 所对的边分别为 a, b, c.它的外接圆半径为 6. / B, 10 / C 和厶 ABC 的面积 S 满足条件：S =a2 -(b -c)2且sin B sin C = . (1) 求 sin A (2) 求厶 ABC 面积 S 的最大值. 16.已知 ABC 中，sin A(sinB 亠3cosB) = . 3sinC (I)求角 A 的大小； (n)若 BC=3，求 ABC 周长的取值范围. 3 -可编辑修改- 17. 在锐角 ABC中，三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且满足-可编辑修改- 2 si

7、n 2B sin2Bsin B cos2B = 1. (1) 求.B的值； (2) 若 b=3，求 a+c 的最大值. 18. 在 ABC 中，角 A、B、C 对边分别是a, b,C，且满足 2ABAC =a2 -(b - c)2 . (1) 求角 A 的大小； (2) 求2、3cos? C -Sin(4 B)的最大值， 并求取得最大值时角 B、C 的大小. 2 3 19 ABC 中，角 A、B、C所对的边分别是a，b，c且a2七ac 13 (1) 求 sin2 C cos2B 的值； 2 (2) 若 b=2，求 ABC 面积的最大值. 20.已知在.ABC中角 A,B,C 所对的边分别为 a

8、,b,c,且.2acos B = ccosB bcosC (1)求角B的大小； 4 4 M 4 设向量 m = cosA,cos2A ,n = 12,-5，求当 m n取最大值时,tanC的值.-可编辑修改- 参考答案 1. (1) c=二(2) Ov CW 二 6 3 【解析】(1 )T f (1) =0 , a2-(a2-b2)-4c2=0 , / b2=4c2,. b=2c, sinB=2sinC , 又 B-C= . sin(C+ )=2sinC , TT 二 sinC cos +cosC 3 叫=2sinC， 2sin C-#cosC= ， sin(C- )=0, 又-二 v C-二

9、 v , 6 6 6 (2 )若 f (2) =0 ,则 -a +b =2c，cosC= JI C=. 6 4a2-2(a2-b2)-4c2=0 , 2 2 2 a +b c = c 2ab 2ab ， 又 2c2=a2+b2 2ab,. ab 丄, 2 又 C( 0,兀)， 0v Cw 卫. 3 2. (1) C= 6 JI (2) 0 1 , 2 2 b -7 二 ab _ 2ab-7 _7 1 . 巧 S ABC ab sin C ab 2 4 2 , 2 a +b cosC= 4ab 2ab - 4ab （当且仅当 a=b 时取等号） (10 分) 又余弦函数0, _)上递减， .0C

10、 W 2 12 分) 3. (1)芒一 sin A 2c 3 sinC sinC 上 2 又C是锐角 (2) cosC = a2 - b2 -c2 2 2 a b -7 2ab 2ab 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考 3 3 16 (1 )由 tan A -ta n B -(1 ta nA tan B)二 tan (A - B)= 3当且仅当a =b 二-7时，厶ABC的面积有最大值 A3 【解4. 【解5. (I) 兀 -(n) 4 17 【解2 a2 b2 _c2 b ab = cosC 2ab -可编辑修改- A-B 3 71 = 2inAcosZ-A 2 2 3 ,

11、3 1 sin A cos A - 21 =2sin(A 6) ji 2兀 A , / 2 3 3 1 二 sin A 2 . 6 1 1 sin A 4 2 2CLA A 3 I 1 43 (2) m n = 3sinA+ cos2A= -2 (si nA-3)2 4 17 + 8 A (0,)二 si nA (0,1 = m n 的最大值为 3 17 10 分 2 2 6.解：(i)： sin B =sin AsinC , b =ac. A,B,C依次成等差数列， 2B = A C - 二-B,B JT 由余弦定理 b2 =a2，c2 -2accosB , a2 c2 -ac = ac,

12、a =c. ABC为正三角形. (H) sin2C2 3sinA A A 1 cos 2 2 cosC sin 2 2 A -丄 2 -sin A 4 = sin 4 A 丄 cos A 4 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考 18 代数式sin C+sin-cos-+-的取值范围是;盲 【解析】略-可编辑修改- 2 2 2 7.1) be cos) -8 b c2bo台=4 即 b2 e = 32 . 2 分 2 2 又b e _2be，所以be空16，即be的最大值为 16 . 4 分 8 1 下 即 16 所以eos ，又 Ovv二所以 Ov 6 分 cos 二 2 3

13、2 = 2si n(2 -) 1 . 9 分 6 51 1 因 Ov ，所以v 2 ， sin(2 ) 1 . 10 分 3 6 6 6 2 6 , 兀 5兀 兀 1 当 2 即 时，f(Rmin =2 1=2 . 11 分 6 6 3 2 JI J JI _ 当 2d * 二一 即二二一时，f U)max =2 1 * 1 =3 . 12 分 6 2 6 【解析】略 & (I) C=3 n 4 (n)最小边BC2 . 由 ”=_Bq,得 BC= . si nC si nA si iC tanC 二-tan(A B)= 13 4 5 “ 1 3 1 4 5 又 i 0 : C : n，

14、 - C =3 n. 4 (n) ； C = 3 二， 4 AB边最大，即 AB、刁. 又 T t a rA t aB A 兀 B ，*0 )- 角A最小, 匚 sin A 1 tan A 二 由 eos A 4且A 2 2 sin A eos A =1， (0，n)得 Sinx 【解析】解：(I)： C = n-(A B)， BC边为最小边. (n) fO) =逅1 _cos( +2日)+1 +cos2日= V3sin 2。+cos2G +1 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考 20 所以，最小边BC 2.-可编辑修改- sinC = cos As in C , 2 sinC

15、 = 0 , .cosAl, 2 I I 兀 又,0 ： A ：二.A= 3 . 6 (2 )由正弦定理得: , asin B b = sin A 2 2 sin B ,c ： sinC 3 3 I =a + b + c =1 (sin B +sinC ) = 1 + 予(sin B+sin(A + B ) +2sinB+1cosBL 12 2 丿 .10 9. (I) (ii)L_E.wii,2 1 a 【解析】解：(I) ： 2 1 cos A i 2cos2 A-1 =7 , . 4 分 2 1 n 4cos A-4cosA 1 =0 解得 cos A , 6 分 T 0 ： A ：二.

16、A . 8 分 3 ：B：-|0,2 B ,5 , - 1 =: si n(B ) _1 bc 1,2 .12 分 3 丿 6 (6 6 丿 2 6 a V 10.解：(1 )将 sinB+sinC=sin(A-C)变形得 sinC(2cosA+1)=0, (2 分) 而 sinCM 0,则 cosA= -1，又 A ( 0,n),于是 A=勺; (6 分) 2 3 _ _ AC =2. 3 sin 0 (2)记 B= 0,则 C=m-0 0V0vF),由正弦定理得 厂 兀， (8 分) 3 3 AB=23sin(； 一 0) 则厶 ABC 的周长 1=2 勺呂sin 0+s in (f-0)

17、+3=2 73 s in (0+彳)+3 2 73+3 , (11 分) 当且仅当0=匸时，周长 I取最大值 2、一 3+3. (13 分) 6 【解析】略 1 1 11.解：(1 )由 acosC c = b得sinAcosC sinC=sinB . 2 2 2 又 sinB =sin A C 二sinAcosC cosAsinC . 4 (II) sinB sinC si nA sinB -sin 2 B 71 10 分 sin 3 2 sin 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考 22 江 又 0 ： B ： :， B . 8 分 JI f (A) =2sin(2A 一)，

18、 3 JI r， 2兀 0 - A : 3 二 二 5 二 可知一：:：2A -10 分 3 3 3 sin(2A ) 1 1,1 1 f ( A) - 2,2 1 . 12 分 -可编辑修改- .按确定y = Asin(，x：)的解析式的一般步骤定参数JI B :u 6 f n 5 兀、 ,一 I I6 6丿 ( 兀 ，” sin B + 怎 故 ABC的周长I的取值范围为 2,3 1. 13 2 2 2 (2)另解：周长I二a，b，c=1bc由(1)及余弦定理a = b c -2bccosA b2 c2 = bc 1 . 8 2 b +c 2 .(b c)2 =1 3b“1 3( )2 b

19、 c 乞2 . 10 又 bca=1l=abc2 即ABC的周长I的取值范围为 2,31. . 13 【解析】略 12.略 【解析】将条件代入求参数，分析角之间的关系求值 (I) f (x)二 m n = sin x 3 cos x 1 =2(?sin，x 兀 =2sin( x ) . 3 分 f(x)图像上一个最高点的坐标为 (一,2)，与之相邻的一个最低点的坐标为 12 = 所以T=g于是:=2 . 4分 2 12 12 2 T 71 可知 f (x) =2sin(2x ) . 5 分 7 12 厂2). 2 2 . 2 (2)T a c -b ac , 2 2 2 r a +c -b c

20、osB = 2ac 256 -可编辑修改- (1 ) 在 ABC 中, a2 b2 =c2 ab, c2 =a2 b2 -ab =a2 b2 -2abcos60 兀 a cosB a sin A cosB -ZC 又 即 ，sin AcosA 二 sin B cosB，即 3 b cos A b sin B cos A . _ JI sin 2A = sin 2B,. A = B或A B 而C 故厶 ABC 是等边三角形。 2 3 2 2 2 (2) (m-2n)二 m 4n -4m n= 54(sin AcosBcosAsinB)=5-4sin(A- 2兀 2兀 r 2 - A B ,A B

21、, (m 2n)2=5 4sin(A B)=5 4sin( 2B) 3 3 3 n =5 -4sin( 2B) 2兀 兀 兀 5兀 兀 r 2 0 B , 2B ,. 1zsin( 2B)空 1,仁(m 2n) 9, 3 3 3 3 3 故丨m-2n丨的取值范围1,3 1。 【解析】略 a 亠 c b - a 14.(1)由 整理得(a c)c = (b - a)(a b), a +b c / 0 B ：， B M2 3 13 B) 10 分 12 分 D a2 +c2 _b2 二 cosB = 2ac ac 2ac 2 : （n最长边为 sinC 二 2sin A，二 c = 2a , 10

22、 分 256 -可编辑修改- a为最小边，由余弦定理得 7 =a2 4a2 _2a 2a (_*)，解得 a2 = 1， a =1，即最小边长为 1 【解析】 略 8 15-（1）引必齐；（2）S最大二17 【解析】（1 ）利用余弦定理及三角形的面积公式列出关于 si nA的方程进一步求解；（2） 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考 26 当 b=c=8 时，S最大罟. 17 16.用正弦定理找出边 b 与 c 的关系，再利用一元二次函数知识求出面积的最大值。 2 2 2 解：(1) S=a -b - c 2bc = 2bc - 2bccosA = 2bc(1 - cosA).

23、 1 又 S bcsin A .2bc(1 - cos A) 二-bcsin A 二 sin A 二 4(1 - cos A) 联立得: r 2 2 sin A + cos A = 1 sin A = 4(1 - cosA) 2 2 得：16(1 -cosA) cos A =1 . 3 分 2 二(17 cos A-15) ( c o念 - 1) = 0 0 A :二 cosA -1 = 1 15 8 .cosA 从而得:si nA 17 17 (2 ) S =bcsinA 二么be 17 4 sin B si nC - 3 b c 4 - + - = 2R 2R 3 R =6 b c =16

24、 . 10 分 s 上 be 丄 b(16 - b) 17 17 4 17 (b2 -16b) 上(b-8)2 仃 256 + - 17 13 分, -可编辑修改- 姑(I) A + H + C/r 徘 sinC = &in(A + /nRAei 条件那 rin A sin /J = J5 门旳 7n H */ sin # 0,由此轲 Uin A = J5.人=彳 . & 挣 T* 序 。由|,可加：n-c = ,AC = 3 3 由正強定理軸： Afi AC = Ifiin H 4- sin C) = 2 sin H + Mn(y - H) 即对：AU Af = 2v3(-M

25、n 11 + 竿 gh/H = ftsinfH + （）/# 衍丄童 him a + 莖 i 3 2 A 二 A4ACJAIK 的取血范国为（6.9 【解析】略 17. (1) . 2COSB -1 二 0,即.B . 3 (2) a+c 的最大值为 6。 2 2 2 2 4sin Bcos B 2sin BcosB2sin B = 0, 即 2sin2 B(2COSB-1)(cosB 1)=0. 又 ABC为锐角三角形，.2cosB-1=0,即.B . 3 （2 ）由（1）知.B , 3 o o _ （a c） 4b -36,可知a c的最大值为 6。 2兀 18.（ 1） A 二 3 （2

26、）最大值 3 2 ; B =C - 6 【解析】本试题主要是考察了余弦定理和三角恒等变换，以及三角函数的性质的综合运用。 （1 ）利用向量的数量积得到 2bccosA =a2 -b2 -c2 -2bc ,结合余弦定理得到角 ADE ZHIcos 3 c2 -b2 2ac ，即b2 2 2 3 2 =(a c) _3ac _ (a c) (a c) 4 =号) 【解 析】 解： （1 ） 2 sin 2B sin 2B sin B COS2B = 1, 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考 28 由 于 A=2 , B C , 0：C , 将 3 3 3 2 3C -c L_B= s + 1i C iC 0B 化简为=J3?+2si