勾股定理典型例题归类总结

1、9已知RtA ABC的周长为二+ -"，其中斜边1 ' - ,求这个三角形的面积。10. 如果把勾股定理的边的平方理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理可以推广（1）如图，以RtA ABC的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边三角形的面积Si、S2、S3之间有何关系？并说明理由。（2）如图，以RtA ABC的三边长为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积S1、S2、S3之间有何关系?（3）如果将上图中的斜边上的半圆沿斜边翻折180°,请探讨两个阴影部分的面积之和与直角三角形的面积之间的关系，并说明理由。（此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”）例1.

2、如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米?跟踪练习：1. 如图（8），水池中离岸边 D点1.5米的C处，到岸边，它的顶端 B恰好落到D点，并求水池的深度 AC.u部分-J-G -1CN/D/1、ra 22. 座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端长为13米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（）A、12 米 B、13 米C、14 米 D、15 米3. 如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（）A、8 米B、10 米C、12 米D、14米题型三：勾股定理和逆定理并用一

3、一1例3.如图3，正方形ABCD中，E是BC边上的中点，F是AB上一点，且FB - AB那么 DEF是直角4三角形吗？为什么？注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。跟踪练习：1. 如图，正方形 ABCD中，E为BC边的中点，F点CD边上一点，且 DF=3CF，求证：/ AEF=90°例1.如图4,已知长方形 ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E,将厶ADE折叠使点 D恰好落 在BC边上的点F,求CE的长.跟踪练习：1如图，将一个有 45度角的三角板顶点 C放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点B在纸带的另边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所

4、在的直线成30。角，求三角板的最大边 AB的长.2如图，在 ABC 中，AB=BC，/ ABC=90 °, D 为 AC 的中点，DE 丄 DF，交 AB 于 E,交 BC 于 F, (1) 求证：BE=CF; (2)若 AE=3 , CF=1，求 EF 的长.3如图，CA=CB,CD=CE, / ACB= / ECD=90° ,D 为 AB 边上的一点 若 AD=1 , BD=3，求 CD 的长.题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直一一例1.有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多

5、远的地方灯刚好打开？跟踪练习：ABC的形1. 如图，每个小正方形的边长都是， ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，试判断厶的值2. 下列各组数中，以它们边的三角形不是直角三角形的是（）1 1 1A、9, 12, 15 B、7,24,25C、一 - D、：，.，3在厶ABC中，下列说法/ B= / C-Z A :卅二色十虑塗仝;/ a： / b：/ c=3 : 4: 5;a:b:c=5:4:3;.：沪：=1:2:3，其中能判断 ABC为直角三角形的条件有（）A、2个B、3个C、4个 D、5个4在厶ABC中，Z A、Z B、/ C的对边分别是a、b、c.判断下列三角形是否为直角三角形？并判断

6、哪一个 是直角？（1）a=26, b=10, c=24; （2） a=5, b=7, c=9; （3） a=2, $ =，门，A、2个 B、3个 C、4个 D、5个5.已知 ABC的三边长为a、b、c,且满足' I'' : L. ，则此时三角形一定是（）A、等腰三角形B、直角三角形C、等腰直角三角形 D、锐角三角形6在厶 ABC 中，若 a= n2 1 , b=2n , c= n2 1，则 ABC 是（ ）A、锐角三角形B、钝角三角形 C、等腰三角形D、直角三角形7. 如图，正方形网格中的 ABC是（）A、直角三角形B、锐角三角形 C、钝角三角形D、锐角三角形或钝角三角

7、形8. 已知在厶ABC中，Z A、/ B、/ C的对边分别是 a、b、c,下列说法中，错误的是（）A、如果Z C-Z B= Z A,那么Z C=90 ° B、如果Z C=90 °，那么U* 献C、如果（a+b） （a-b）=云，那么 Z A=90 ° D、如果Z A=30 °，那么 AC=2BC9. 已知 ABC的三边分别为a, b, c,且a+b=3 , ab=1",求芒罟产的值，试判断厶ABC的形状, 并说明理由10. 观察下列各式:洋0，护十用亿，工» 一. 2 =，根据其中规律，写出下一个式子为 11. 已知，m>n,

8、m、n为正整数，以沖卫一卅，2mn,+ 沪为边的三角形是_三角形.12. 个直角三角形的三边分别为n+1 , n-1, 8,其中n+1是最大边，当n为多少时，三角形为直角三角形？ 题型六：旋转问题：例题6.如图，P是等边三角形 ABC内一点，PA=2,PB= 23,PC=4,求厶ABC的边长.跟踪练习1. 如图， ABC为等腰直角三角形，/BAC=90 ° , E、F是BC上的点，且/ EAF=45 °，试探究BE2、CF2、EF2间的关系，并说明理由.题型七：关于翻折问题例题7如图，矩形纸片 ABCD的边AB=10cm, BC=6cm，E为BC上一点，将矩形纸片沿 AE折

9、叠，点B 恰好落在CD边上的点G处，求BE的长跟踪练习1如图，AD是厶ABC的中线，/ ADC=45。，把 ADC沿直线AD翻折，点C落在点C'的位置，BC=4, 求BC '的长（一）折叠直角三角形1如图，在厶ABC中，/ A = 90。，点D为AB上一点，沿CD折叠 ABC，点A恰好落在 BC边上的A处,AB=4 , AC=3，求 BD 的长。/ B=90,AB=3 , AC=5 .将厶ABC折叠使C与A重合，折痕为DE ,求BE的长.（二）折叠长方形1如图，长方形 ABCD中，AB=4 , BC=5 , F为CD上一点，将长方形沿折痕 AF折叠, 上的点E处，求CF的长。D

10、恰好落在BC2. 如图，长方形 ABCD中，AD=8cm，AB=4cm，沿EF折叠，使点 D与点B重合，点 求DE的长；（2）求折痕EF的长C与C'重合.（1）CE,且D点落在3. （ 2013?常德）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边CD落在对角线AC上，折痕为 对角线D'处.若 AB=3，AD=4，则ED的长为（）4. 如图，长方形ABCD中，AB=6 , AD=8 ,沿BD折叠使A到A'处DA'交 BC于F点.(1)求证：FB=FE(2) 求证：CA'/BD(3) 求厶DBF的面积7.如图，正方形 ABCD中，点E在边CD上，将 ADE沿AE对折

11、至 AFE，延长EF交边BC于点G,GDE为BC的中点，连结 AG、CF. (1)求证：AG / CF; (2)求 二的值.题型八：关于勾股定理在实际中的应用：例1、如图，公路 MN和公路PQ在P点处交汇，点 A处有一所中学，AP=160米，点A到公路MN的距 离为80米，假使拖拉机行驶时， 周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？例2辆装满货物高为1.8米，宽1.5米的卡车要通过一个直径为5米的半圆形双向行驶隧道，它能顺利通过吗？跟踪练习:1.某市气

12、象台测得一热带风暴中心从A城正西方向300km处，以每小时26km的速度向北偏东60°方向移动，距风暴中心 200km的范围内为受影响区域。试问A城是否受这次风暴的影响？如果受影响，请求出遭受风暴影响的时间；如果没有受影响，请说明理由。A北2. 辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如下图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？3. 有一个边长为 50dm的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少多长？（结果保留整 数）4. 如图，铁路上 A,B两点相距25km,C,D为两村庄，DA丄AB于A,CB丄AB于B，已知DA=15km,CB=10km

13、, 现在要在铁路 AB上建一个土特产品收购站 E，使得C, D两村到E站的距离相等，则 E站应建在离A站 多少km处？题型九：关于最短性问题例1、如右图1 19,壁虎在一座底面半径为 2米，高为4米的油罐的下底边沿 A处，它发现在自己的正 上方油罐上边缘的 B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而 是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美 餐请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫？（n取3.14，结果保留1位小数，可以用计算器计算）例2.跟踪练习：1如图为一棱长为 3cm的正方体，把所有面都分为9个小正方形，

14、其边长都是1cm,假设一只蚂蚁每秒爬行2cm,则它从下地面 A点沿表面爬行至右侧面的B点，最少要花几秒钟？2如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm, 3cm和1cm, A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到 B点去吃可口的食物请你想一想，这只蚂蚁从 A点出发，沿着 台阶面爬到B点，最短线路是多少？3. 个长方体盒子的长、宽、高分别为8cm, 6cm, 12cm,一只蚂蚁想从盒底的 A点爬到盒顶的B点,你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？4如图将一根13.5厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为4厘米、3厘米和12厘米的长方体无盖盒子中,

15、能全部放进去吗？题型十：勾股定理与特殊角（一）直接运用30°或45°的直角三角形1如图，在 ABC中，/ C = 90 ° , B = 30 °, AD是厶ABC的角平分线，若 AC= 2 '3，求AD的长。2如图，在 ABC 中，/ ACB = 90,AD是厶ABC的角平分线， CD丄AB于D，/ A= 30 °, CD=2，求3如图，在 ABC 中，AD 丄 BC 于 D，/ B= 60，/ ,C= 45°, AC=2，求 BD 的长。（二）作垂线构造30°或45°的直角三角形(1) 将105°

16、;转化为45°和60°,AC=2，求BC的长。1如图，在 ABC 中，/ B= 45 °，/ A=1052如图，在四边形 ABCD 中，/ A= / C= 45°,/ ADB= / ABC=105 °，若 AD=2,求 AB的长；若AB+CD= 23+2，求 AB 的长。(2) 将75°转化为30°和453.如图，在 ABC 中，/ B= 45 °，/ BAC=75，AB=、6，求 BC 的长。(一)直接用勾股定理列方程题型十一：运用勾股定理列方程 ,AD 平分/ CAB 交 CB 于 D , CD=3,BD=5，

17、求 AD 的长。2.如图，在 ABC 中，AD 丄 BC 于 D，且/ CAD=2 / BAD,若 BD=3 , CD=8，求 AB 的长。（二）巧用“连环勾”列方程1.如图，在 ABC 中，AB=5 , BC=7, AC= 4. 2，求 S ABC2.如图，在 ABC 中，/ ACB= 90,CD 丄 AB 于 D , AC=3 , BC=4，求 AD 的长。,CD 丄 AB 于 D , AD=1 , BD=4，求 AC 的长4如图， ABC 中，/ ACB=90° , CD 丄 AB 于 D , CD=3 , BD=4，求 AD 的长题型十二：勾股定理与分类讨论（一） 锐角与钝角

18、不明时需分类讨论1.在厶 ABC 中，AB=AC=5，生ggu - 7,求 BC 的长2.在厶ABC中，AB=15 , AC=13 , AD为厶ABC的高，且 AD=12，求 ABC的面积。（二）腰和底不明时需分类讨论3如图， ABC中，/ ACB=90 ° , AC=6 , BC=8，点D为射线 AC上一点，且 ABD是等腰三角形，求 ABD的周长（三）直角边和斜边不明时需分类讨论1已知直角三角形两边分别为 2和3,则第三边的长为2在厶ABC中，/ ACB=90 °, AC=4 , BC=2，以AB为边向外作等腰直角三角形 ABD，求CD的长3如图，D(2,1)，以0D为

19、一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在x轴上，这样的等腰三角形能画多少个?写出落在x轴上的顶点坐标.题型十三：一 -7或迸?辺问题的证明且DM丄1.如图， ABC 中，CA=CB，/ ACB=90°, D 为 AB 的中点，M、N 分别为 AC、BC 上一点,DN. (1)求证：CM+CN= .BDCM、CN、BD之间的数量关系式。2.已知/ BCD=a,ZBAD=3,CB=CD.(1)如图 1,若 a =3 =90 °，求证 AB+AD=AC;若 a =3 =90 °，求证:AB-AD=AC; (3)如图 3,若 a =120,3=60 °，求证：=AD

20、=-?)如图2,AC ; (4)(2)如图2,若M、N分别在AC、CB的延长线上，探究如图 3,若 a = 3 =120 °，求证AB-AD=AC ;D£ 2题型十四:祀一 #3问题的证明ON.求证:1如图，OA=OB , OC=OD，/ AOB= / COD=90° M、N 分别为 AC、BD 的中点，连 MN、MN= . ON.1,若 E、F(1)中的结2已知 ABC 中，AB=AC，/ BAC=90°, D 为 BC 的中点，AE=CF，连 DE、EF. (1)如图分别在 AB、AC上，求证：EF= ' DE ；(2)如图2,若E、F分别在

21、 BA、AC的延长线上，则 论是否仍成立？请说明理由.3如图， ABD中，0为AB的中点，C为DO延长线上一点，/ACO=135。，/ ODB=45°探究OD、0C、AC之间相等的数量关系.4如图， ABD 是等腰直角，/BAD=90°,BC/ AD , BC=2AB , CE 平分/ BCD，交 AB 于 E,交 BD于H .求证：B K 对C(1) DC= 一 DA ; (2) BE= DH题型十五：勾股定理（逆定理）与网格画图1如图，每个小正方形的边长为1, A、B、C是小正方形的顶点，则/ ABC的度数为.J2如图，每个小正方形的边长都是1,在图中画一个三角形，使它

22、的三边长分别是3,2，且三角形的三个顶点都在格点上.1,在图中画一个边长为的正方形，且正方形的四个顶点在格点上.，使其内部已标注的格点只有3 个.5如图，在4个均匀由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这与众不同的是中的三角形，图4中最长边上的高为 4个三角形中,1每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下6如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为 列要求画图： iH111111H11；111«l>1>1A1Hf ：1*iivf|igifjILJ-:；=jr " 1 |rBl1a：；J ： L -1-tilt111" 1 _1

23、11(1 (2)(1) 画一条线段 MN，使MN= ' ；( 2)画厶ABC，三边长分别为 3，小,2 -。7如图，在5X5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,线段AB的端点在格点上.(1) 图1中以AB为腰的等腰三角形有 个，画出其中的一个，并直接写出其底边长.(2) 图2中，以AB为底边的等腰三角形有 个，画出其中的一个，并直接写出其底边上的高.题型十六：利用勾股定理逆定理证垂直1如图，在 ABC中，点D为BC边上一点，且 AB=10，BD=6，AD=8，AC=7，其求 CD的长2如图，在四边形 ABCD 中,B=90CD=5， AD=4，求qA3如图，在 ABC中，AD为BC边上的中线， AB=5,AC=13,AD=6，求BC的长.4已知 ABC中，CA=CB, / ACB=a，点P为厶ABC内一点，将CP绕点C顺时针旋转 a得到CD，连AD .(1)如图 1,当 a =60 °,PA= 10, P