包含与排除一

1、包含与排除（一）包含与排除问题也叫容斥原理。“容”是容纳、包含的意思，“斥”是排斥、排除的意思，从题目名 称上看，比较抽象，下面我们结合具体实例来说明这种问题的思考方法。【典型例题】例 1 ：如下图，桌面上放着两个正方形，求盖住桌面的面积。（单位：厘米）分析与解：这是一个组合图形，是由两个正方形组成的，中间重合部分是一个长方形，要想求出盖住桌面的面积，可以有三种不同方法：方法一： 7 2 52 2 5 64（平方厘米）方法二： 7 2 2 5 52 64（平方厘米）方法三： 52 2 5 7 2 64（平方厘米）答：盖住桌面的面积是 64 平方厘米。例 2 ：四（ 1）班同学中有 37 人喜欢

2、打乒乓球， 26 人喜欢打羽毛球， 21 人既爱打乒乓球又爱打羽毛球。 问全班喜欢打乒乓球或羽毛球活动的有多少人？ 分析与解： 根据题意可画图如下此类问题画集合图比画线段图更直观，更形象一些。方法一： 37+2621=42 （人）方法二： 3721+26=42 （人）方法三： 37+（26 21）=42（人） 以上三种方法是紧密联系的，都是要从中减去重叠部分，可以从其中一部分中减去，再与另一部分合 并，也可以从两部分之和中减去重叠部分。三种方法比较，你喜欢哪一种解法呢？我们根据以上两个例题可以得出这样的数量关系：第一部分 +第二部分重叠部分 = 两部分之和例 3 ：四年级一班在期末考试中，语文

3、得“优”的有15 人，数学得“优”的有 17 人，老师请得“优”的同学都站起来，数了数有 24 人。两科都得“优”的有几人？分析与解：根据“第一部分 +第二部分重叠部分 =两部分之和”可以求出两科都得“优”的人数。15+17 24=8 （人）另外，从下图中我们还能得出两种不同方法方法二： 17（ 24 15） =8（人）15（ 2417） =8（人）答：两科都得优的有 8 人。例 4 ：图新小学四年级二班有 24 人参加了美术小组，有 18 人参加了音乐小组，其中11 人两个小组都参加，还有 5 人什么组都没参加。这个班共有学生多少人？分析与解：这个题与例 2 相比，多了一个已知条件，那就是“

4、有5 个人什么组都没参加”。如果按前面的画图方式，这 5 人无法在图上表示，根据题意，我们可以这样画图。要求全班有多少人，除了知道有 5 人什么组都没参加外，还要求出参加课外小组的有多少人。24+18 11=31 （人）31+5=36 （人）答：这个班共有学生 36 人。例 5 ：某班学生参加音乐组的有11 人，参加美术组的有 8 人，参加英语组的有 12 人，既参加音乐组又参加美术组的有 5人，既参加音乐组又参加英语组的有3 人，既参加美术组又参加英语组的有4 人，三个组都参加的只有 1 人，问：至少参加一个组的有多少人？ 分析与解： 根据题意画图如下： 如果我们把三个集合圈看成三张纸片，参

5、加两个组的部分是 2 层，参加三个组的部分是 3层，要求至 少参加一个组的人数，就是求三张纸片盖住桌面的大小，因此要从三组人数之和中减去重叠部分的人 数11+8+12 5 3 4+1=20 （人）答：至少参加一个组的有 20人。【模拟试题】（答题时间：30分钟）1. 四年级三班订阅少年文摘的有 19人，订阅学与玩的有 24人，两种都订的有 13人。问订阅 少年文摘或学与玩的有多少人？2. 幼儿园有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少 人？至100的自然数中：（1）是2的倍数又是3的倍数的数有多少个？（2）是2的倍数或是3的倍数的数有多少个？（3）

6、是2的倍数但不是 3的倍数的数有多少个？4. 某班数学、英语期中考试的成绩统计如下：英语得100分的有12人，数学得100分的有10人，两门 功课都得100分的有3人，两门功课都未得 100分的有26人。这个班共有学生多少人？5. 全班50人，会骑车的有32人，会滑旱冰的有21人，两样都会的有8人，求两样都不会的有多少人？6. 个班有学生 42人，参加体育队的有 30人，参加文艺队的有 25人，并且每人至少参加一个队。这 个班两队都参加的有多少人？请做完之后再看答案!【试题答案】1. 四年级三班订阅少年文摘的有19 人，订阅学与玩的有 24 人，两种都订的有 13 人。问订阅少年文摘或学与玩的

7、有多少人？19+24 13=30 （人） 答：订阅少年文摘或学与玩的有 30 人。2. 幼儿园有 58 人学钢琴， 43人学画画， 37 人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少 人？只学钢琴人数： 5837=21 （人）只学画画人数： 4337=6 （人）至 100 的自然数中：（1）是 2的倍数又是 3 的倍数的数有多少个？既是 3 的倍数又是 2的倍数，一定是 6 的倍数100 - 6=16 4所以，既是 2的倍数又是 3的倍数有 16个（2）是 2的倍数或是 3 的倍数的数有多少个？100 - 2=50, 100 - 3=33 150+3316=67（个）所以,是 2 的倍数或是 3 的倍数的数有 67 个。（ 3）是 2 的倍数但不是 3 的倍数的数有多少个？5016=34（个）答：是 2 的倍数但不是 3 的倍数的数有 34 个。4. 某班数学、英语期中考试的成绩统计如下：英语得100分的有 12人,数学得 100分的有 10人,两门功课都得 100 分的有 3 人,两门功课都未得 100 分的有 26 人。这个班共有学生多少人？ 12+103+26=45（人）答：这个班共有学生 45 人。5. 全班 50 人,会骑车的有 32 人,会滑旱冰的有 21 人, 两样都会的有 8 人, 求两样都不会的有多少人？ 50（ 3