时序分析的一般概念与方法

1、第十二章时序分析的一般概念与方法询面各章介绍的是与回01有关的内容。所谓回归分析，主耍是寻找一个变磺与另外儿个 变呈之间的函数关系,是一种横向关系。本章开始介绍时间序列,就是按时间次序排列的随 机变最序列。所谓时序分析，主耍是寻找一个变彊的肖前值与其过去值Z间的关系，是一种 纵向关系。时间序列按'卜稳性展本匕可以分为两类，一类是平稳时序，一类是卄平稳时序，本章初 步介绍它们的一般槪念，后两章再继续深入学习。平和时序主耍是指宽'卜稳时序，它要求均 値函数为常数，自协方差怔数与起点无关。严平稳时序则耍求联合分布两数与起点无关。木 章先从随机过程的概念引入时间序列的概念，主要需要学握

2、均值换数、自协方差函数、自相 关函数、自相关系数的概念。在平稳时序的类型方而，我们主要需娈节握门噪声、移动平均、 门回归三人类熨，也耍了解随机相位波、泊松过程、布朗运动、正态过程等概念，以及它们 之间的关系。在平稳时序分析的方法方而，主耍-个是时序的分解，一个是滤波，一个是谱分析，当 然也耍利用我们已经熟悉的回川。体会- I、它们Z间的联系和区别，我们发现回川和滤波的 思想主耍是去掉随机项，保留趋势关系的主部；时序的分解是设法玄掉趋势主部，保留随机 项：谱分析则是将时序的随机项转化为谱函数，再识别其?$种特征。在获紂时序数据的随机 项之庙时序分析捉出了各种模型假设，也就是耍分析这些随机项的当前

3、值与过去值之间的 结构关系。炖j:非平稳时序，其主婆思路是将其转化为平穏时序。转化的办法无外乎是将它与一个 普通曲数相减（时序分解）、自己与自己前后项相减（滤波）、自己与另外一些时序相减 （Co-Iiitegiation. 一般翻译成协整，也右翻译成同积，本书翻译成协思）。非平稳时序的随 机项结构更加复杂，提出了许姜模型，是时序理论研究的前沿领域.在时序分析的应用方面，一个是参数估计，一个是预测，这和回归分析差不多。在章节 的划分上我们坚持一条主线，按模型划分，这样既有利全书的系统性，也有利读者査找 相关章节。书屮所有时序模型，从发生随机数，到参数估计、假设检验、图像显示，都有作者自编 的程序

4、，集成在DASC的时序菜单屏幕卜<>第一节时间序列的基本概念一、随机过程与时间序列的统计描述我们知道，随机试验（记为E）的结果称为随机M件（记为w）：随机M件包括基本随 机M件与复合随机M件，随机书件的全体称为样本空何（记为G）；能够将样本空间里的随 机“件与实数逐一刈网起来的变横称为随机变看（记为X，或X（e）：带有参数的随机 变量称为随机过程（记为匕,或X（t）.或Xt（e）,或X（t,e） ）o注意是说随机变险；iMj参数，而不是说随机变彊的分布隨数帯有参数，分布曲数-般总 是帶有参数的。随机变磺帯有了参数，如果参数变动起來，就形成了一族随机变最，所以随 机过程就是一族随机变

5、磺，也町以理解为多维随机变駅的延伸。对J：固定的参数仁是定义在样本空间匕的普通随机变杲，也称作随机过程在门甘 刻的状态，全体状态的集介称为状态空间。对J固定的随机事件w, Xr（e） 对应J：e的样 本函数，简记为匕，或X（t）.町以理解为随机过程的一次实现。如果随机过程兀 的参数 /明确是时间，则称为时间序列.更为简捷地进入时间序列定义,可以就将按时间次序排列的随机变量序列X、Xq、X3,（12.1.1）称为时间序列X/,用Xi，X2，.Xn<12.1.2）分别衷示随机变届，Xn的观测（fi,或称为时间序列的N个观测样本，在图像 上就是一条轨线。注意如果将（12.1.1）理解为从一个总

6、体X抽取的样本.则许多教科书称（12.1.1）为一个样本而称（12.1.2）为这个样本的一次观测。实际问题中时间指标不仅是0.8-0.7-0.60.5- 0.4 0.3- 0.2- 0.1-0* -0.1- -0.2- -0.3-0.5- -0.6- -0.7-JU5.95 10* 915.，8520. 825.，7530>. 735.'6540*. 645.，5550，. 555.，456014 65.，3570，.375.，2580，. 285* 1590.195：05 1(图 12.1.1.2图12.1.1.1是用本书自带的软件DASC发牛的随机过程（时间序列）100个数据

7、。可以 理解为2 1,2,100 ,数据是羽如，畑 的一次观测.对j每一个固定的f （例如/ = 50）,是一个随机变磺，它的取值是随机的，此次观测/50=0.147。我们还是用 DASC同一程序发生随机数据，只是伪随机数的种子不同。如图12丄1.2,它是 Xi，X2，Xioo的乂一次观测，此次观测“50 =0.373。通过这两个图像，我们可以形彖建芷随机过程(时间序列)、随机变昴族、样木观测的 概念。同时我们也明白了，仅仅根据一条轨线耍作出时间序列的统计推断是不人可靠的，这 点勺回川分析仃很人不同。耍么我们对数据模型仃很强的假设，耍么我们仃多条轨线数据， 才能対时序数据作出较好的统计推断。随

8、机过程在任-时刻的状态是随机变瓦因此可以利用随机变届的统il描述來刻划随机 过程的统计特性。对J：固泄的时刻/，随机过程仃一维分布函数为：F(x,t) = PX(t) <x(12.13)当f变动起来，就形成一维分布换数族。对于任意刃个不同的时刻如切，如，冇维随机变届< X(ti),X(t2y >X(tn),它 仃畀维分布函数为：F(Xi，X2，X/i；fl，'2，f“)= PX(fi)<可，/2)V 兀2， *(妇)VX” (12.1.4) 称为随机过程X0)的“维分布函数族。対J：固定的时刻/,随机变WJr(r)应该仃它的数字特征。当/变动起來，就形成随机过

9、程的数字特征函数。如x(/)的均值函数为：px(t) = EX(t)(12.1.5)X(f)的方差函数为：<4 (/) = D(X(t) = E(X(t) - "X (0)2(12.1.6)X(/)的自协方差函数(或简称协方差函数)为：Yxx (f 1，f 2)= Cov(X© ), X (t2 ) = E(XVJ 一 “x (S )(X (" ) - “X «2)(12.1.7)也可以记为X(/)的自相关函数(或简称相关函数)为：人 AX('1，'2)= E(X(/)X(/2)< 12.1.8)也可以记为Ky(GG)。例如(

10、12.1.9)式表达的随机相位正弦波是一个随机过程(乂称调和平稳时间序列):X（t） = acos（cot + &） , t G （-CO,+ 00）（12.1.9）其中仏e是常数，G）是在区间（0,2兀）上服从均匀分布的随机变気 图12.1.1.3是5条轨线, 用DASC程序发生。其均值函数是Hx (0 =耳。cos(0 / + 0) =" a cos(c / + 0) d8 = QJt广I相关丙数是Rxx(h2)= cos(ty/ +O)cos(e/2 +©)=°茁 cosag + &)cos(Q： +0)d0=_COS-ZJ对丁同一个样木空间

11、Q和同一个参数集T上的两个随机过程x（t） . Y（t）,称（JT（/）,F（O）为二维随机过程。它们的互协方差函数力：Ny（W2）=c“（x（G，y（f2）=£（x（G-必）（他2）-“曲2）（12.1.10）或者Yxy （f，k） = E（X（f） 一収（/）（刃 + 切 _ “y （/ + 灯）它们的互相关函数为：人 AT（f 2）= E（X（/i）y（/2）（ 12.1.11）或者Rxyk） = E（X（t）Y（t + k）互协方差函数与口协方差函数的关系、互相关函数与口相关两数的关系，都是显向易 见的。抛开时序的物理意义、经济意义不管，一个时序只是一列数据，两个时序本來是两

12、列 数据，町是连接起来还是一列数据。如果Xr的长度为N, Xt与£连接起来的序列 称为ZJ,则互相关函数对连接起來的庁列就是|'|相关函数：Rxy a，k） = £（Z（/）Z（N + / + 灯）二（人 N + k）如果对J；任意的都仃7丫（“2）= ° （12.1.12） 则称随机过程x（r）与:r（r）是不相关的。类似（12.1.4）式和一般一维随机变吊的联介分 布函数农达，我们可以定义二维随机过程的联介分布。如果対J：任意的时刻划分，二维随机 过程（X（f）,F（/）的联介分布都等其两个边缘分布的乘积，则称它们是独立的。独立性的 条件是两个函数式相

13、等，需耍无穷筋个点对应相等，何不相关的条件是一个数与0相等，显 然容易理解，如果两个随机过程是独必的，则它们必然不相关，而反Z则未必。按照随机过程的统计性质，我们可以建工以卜一兆随机过程基本类型的概念。如果对每一固定的r,随机过程x（/）的一.阶矩E（xt）fflJ存在，那么它称为二阶矩 过程，根据许瓦兹（Schwaiz）不等式耳/匕）,X（t2）2 ElXXtX2）（12.1.13）二阶矩过程的h相关因数总是存在的。如果随机过程x(r)的每一个勺限维分布都是E态分布，那么它称为正态过程，例如梵中丄3是随机变起.相互独龙，且都服从正态N(Oq'). 0是实常数，则X(F)是正态过程。图

14、12.1.1.4是用DASC软件按照上式发生的5条轨线,可以看到,对J诲个固定的， 仃5个点，它们分别是服从正态分布的。JL均值函数是“¥() = £(/cos0/ + Psui0/) = E(A) cos cot + E(B) sin cot = 0自相关函数是Rxx (耳 J?)= £( cos cot + B sin cot)(/ cos cot2 + B sin a)t2)2 z.o=cr (cos cot cos cot2 + sin (叭 sin cot2 ) = <r cos 頌？ 一 ")由J：此例的均值两数为0,所以其自协方差两数

15、也就是自相关函数.给定二阶矩过程> 0,我们称随机变g X(0 - X(S),0 <s<t为随机过程在区间$,/)上的增磺。如果对任给的正整数"和任给的O</o<4 <<”，个 增帛“)-口0)，口2)-口1),相互独立,则称随机过程> 0为独立增量过程。如果对任给的实数力，X(t + /)-X(s + /)和X(/) 有相同的分布，则称增量具有平稳性，如杲随机过程的统计性质不随时间的推移而变化，即对任意的时刻划分",/“ w T和 任意的实数方,当h+h,tn + h“ 时，"维随机变量 W X©),x(

16、f”)和 X(t + h,X(t2 +力)，,X(r” + h)具有相同的分布函数,则称随机过程X(tt w T具 有严平稳性，是严平稳过程实际问题屮，严半稳过程很难验证也很难满足，我们转而从数字特征上考虑。给定二 阶矩过程X(tyt g T,如果对于任意的t,t+h g T ,EX(t) =(12.1.15)EX(t)X(t + h) = Rx (h)(12.1.16)其中的“X , Rx(h)都与r无关,则称随机过程X(tteT具有宽半稳性,足宽平稳过程显然严平稳过程一定是宽平稳过程，但是反Z未必。如果随机过程是正态过程而又是宽半稳过程，由止态分布由其一阶矩和二阶矩完全确定，则该随机过程一

17、定是严'卜忌过程。前面(12.1.9)描述的随机相位正眩波已经计隽出均值函数“*=0,自相关函数2Rxt,t + h) = coseoh =Rx(h)； (12.1.14)描述的正态过程已经计算出均值函数 “x = 0,自相关函数Rx(ta + h) = a2coscoh =Rx(h),所以都是宽平稳过程。由J：时间序列就是参数为时间/的随机过程，所以上述关随机过程的槪念都可以方便 地移植到时间序列。二. 几种常见的平稳时序平稳序列的波动和独立的时间序列的波动有所不同。対于独立时间序列Xt , Xn+i 与(七，*2,，xn)独立，从而不公含冇关丁 (X, *2,，X”)的信息。而平稳

18、时间序列 的X申往往含仃历史(疋，头，X”)的信息。这就使得利用历史样本(疋，关，X”) 预测将來X申成为可能。F面讨论的平稳时序都是宽平稳时序。前面(12.1.13)与(12.1.14)已经叙述了平稳时 序的某本定义。EXt) = “x称为时序X的均值函数，对卜稳时序，它应该是与时间无 关的常数。EXtXr+h = Rx(h)称为时序X的口相关函数，E(Xt-x)(Xt+h-px) =力称为时序X的自协方差函数，对J：'卜稳时序，它应该是与计算起点/无关，而只与时 间差有关的函数:对任何整数t、s, gXs)和平移k步后的(S，Xs+J有相同的协方差：CovXjy X5) = Cov

19、Xt,) = ys_t(12.1.17)协方差结构的平移不变性泉平稳序列的垒本特性，同时我们还盂要対协方廷的性质进彳J：更深 入的探讨。口协方差函数满足以卜三条垄本性质：(1)对称性：yk =卩士对所有整数Ar成立; 非负定性：对任何正林数，"阶门协方差矩阵/o rn-2rn-2 /o >是非负定矩阵：(3)有界性：|*|"o对所有整数A成立。任何满足上述性质、(2)、(3)的实数列都被称为非负定序列，所以 '卜稳用列的口协方 差函数是非负泄序列。可以证明，每个非负定序列都可以是一个平稳序列的口协方差函数。対称性(1)町以由定义肖接得到，卜面证明非负性(2)。

20、任取一个畀维实向©« =n nn n/厂/ =工工恥必t =工工恥护【(K 一“)(旳-“)/-I J-11-1 J-1n n=E工工叽（兀!=1 >1- ")(Xj - “) n2-=E工山（不-“）上1=VarX af（兀- ）1-1>0如果等号成立，则称随机变杲疋*-*”是线性相关的。要证明有界性（3）,可以取耳=血_“,Xk = Wt - “X）（畑-Z） = E（昭+Q = E（站M）再利用Schwarz不等式|£（XT） |W J&X?疋（严）,即得.I * 冃 £（XX+J Is Je（叶疋（XL） = （吋）

21、£（匚洛+Q =际=/0wt是平稳序列，a, b是當数,Yt=aXrb，则対任何整数sj,E（Yt） = E（aXt + b） = aE（XJ + b = Wx + = “y耳 -“y）（5 -“y）=耳/（匕 -“Q（兀-“x） = a2Yt-s = Yt-S（Y） 可见平稳序列经过线性变换厉仍然是平稳序列。特别取Xt - PX(12.1.19)552#就得到标准化的平稳序列Yf.这时疋厲）=0僅（耳2）= 1对每个/成立，而且冇yk(Y) = E(Yk) = EX k+1 _ Px7r7冲4 = 5V/o#心=齐/齐（12.1.20）称为半稳序列Xf的自相关系数 因此自相关系数“

22、是标准化序列的自协方差闻数，或 者说足满足4 = 1的门协方差函数，也是卑负定序列。注意（12.1.7）式表达的称为门协方 差函数，（12.1.8）式表达的称为自相关函数，三个槪念既佇联系乂有区别。图12.1.1.3显示的随机相位正弦波是调和'卜稳序列，显然这样的正弦波满足丫稳序列的 两个基本条件：均值为常数，自相关性与起点无关。白噪声是一个常见的简单平稳序列.设弓是-个时间序列，如果对任何整数S,/,(12.1.21)E&) =从 C0g®) =则称馅是一个H噪声，记做炉(“,；)，显然它符介平和序列的定义。设£是炉("y?),当©是独

23、立序列时，称佛是独立白噪声；当“ =0时，称称右为标准白噪声；对独立白噪声当励为零均值白噪声；当“ = o, b'= 1时，%服从正态分布时，称勺是正态白噪声。lj I 入 Kionecker 函数To,r = o心0(12.1.22)553可以将(12.1.21)写成更简单的形式：£(刍)=“，Cov(£t>£s) = cr(1) N(0) = 0,且对任何 f >20 和非负整数 R, P(N(/)_N(s) = k)=( exp-2(/ - s),其中兄是正数;(2) AT(O有独立増杲性：对任何“1和0 <r0 <t, &l

24、t;t2 <</,随机变起 N0j)_NS),丿= 1,2,，相互独立，则称N(t)是一个强度为久的泊松(Poisson) 过程。容易计算泊松过程冇数学期里耳N(° = /U和方差VaiN(t) = At.定义 £n = N(n +1)-N()-A. = 1, 2,可以计算出£(為)=0,几。是£是一个独立白噪声,称为泊松白噪声。图12.1.2.2是用DASC软件发生的Poisson白噪声的3条轨线,参数久=1.5。如果连续时的随机过程3(f) :te0.8)满足Sr_s(12.1.23)图12.1.2.1是三条独立标准正态白噪声轨线的图像，

25、均值为0,方差为1,是用DASC程序 发生的。对比图12.1.1.4 nf以看出.如果没有对模空的正确假设，没仃科学的统计方法，单.#k'(12.1.24)(1) 3(0) = 0, H 对任何/ >sno. B(t) - B(s)服从正态分布 N(0j s)；(2) B(t)冇独増缺除与泊松门噪声的第2个条件相同)，则称5(0是一个标准布 朗运动。5 =£(" + 1)-3("), fl = L 2, -(12.1.25)则$是-个标准正态口噪卢。而B(ll + 1) = £()+£” = 1、2,(12.1.26)由3(0)

26、= 0,我们可以发生布朗运动的时序数据，如图12.1.2.3显示3条布朗运动轨线。9-7-6-5-1-2-4-6-7- -8-陸|；迂：”二士二匕二匕二二士二二二土二士二匕V二士二 1 二1二士二:二士:二二1 3.45 5：9 8. 35 M 8 13：2515： 7 18： 1520： 623： 0525：527：9E30：4 32： 8535：3 37：7540：242：6545： 147： 55 50图 12.1.2.3110.95 20.9 30.85 40.8 60. 76 60.7 70.65 80.6 90.65 100.5 I1D. 45 (20.4 130.35 )40.3

27、 160.25 160.2 170. 15 180. 190.06 200图 12.1.2.4对F均匀分布,可以产牛如(12.1.9)式的随机和位正弦波,如图12.1.1.3o也可以产牛普通的均匀白嗓声,如图12.1.2.4显示的1条轨线。它们都是平稳序列,都是白噪声。注意随机相位止弦波K =acos(0f + >)看样子似乎有周期性，但是由J湘位>的随机性，所 以实际上并没冇周期性。対普通的随机变昴X与y,如果EXY) = 0 ,可以称X和F是正交时序：如呆 Cov(X, y)= 0,可以称X和Y是不相关时序。对于零均值的随机变量,正交性和不相关 性是等价的。对于平稳序列X*和!

28、；,我们有类似描述。如果对任何整数S,r,有E(兀5) = 0, 则称乂 和Yt是正交平稳序列。如果对任何整数5, /Cov(Xr，乙)=0,则称Xt和 耳是不相关平稳序列。对r零均值的平稳序列，正交性和不相关性等价。我们考虑半稳序列和的平稳性。设有半忌序列xt和, “X和小分别是它们的 均值函数，yx(k)和/y伙)分别是它们的fl协方差函数，定义Zr =Xr+Yr(12.1.27)那么，如果*,和a；正交，则乙也足平稳序列，且门协方差函数为比(灯=冷(灯+冷(灯一2“疋纭(12.1.28)如果尤和£不相关,则乙也是平稳序列,且自协方差函数为Yz (k) = Yx (灯 + /Y

29、(k)(12.1.29)证明很简单.首先，由pz = EZt) = E(Xt) + E(Yt) = px+ /y可知“z和#无关。其次,利用公式Cov(X, Y) = E(XY)- E(X)E(Y),当序列正交时,E(XY) = 0 ,有Cov(Zt, Zs) = Cov(Xt +Yt. Xs + Ys)=Cov(Xt, Xs) + Cov(Yt，辱)+ Cov(Xt,耳)+ Cov(Yt,Xs)=(r - s) + Yy(f - s) - E(Xt)E(Ys) - E(Yt)E(XS)=N(/ - s) + Yy U - - 2"x"y当序列不相关时,就Cov(Zt,Zs

30、) = yx(t-s) + yv(t-s).线性平稳序列是由门噪声的线性组介构成的平稳序列，最简单的线性平稳序列是门噪声 有限移动平均。设冇是皿(0,/),对J：非负整数q和常数心，©,，©,作线性组合 则称Xt是门噪声佛的冇限移动平均，简称为MA(MovmgAverage),移动阶数为g。移 动平均又称为滑动平均。(12.1.30)为了验证移动平均的平穏性，需耍计算£(兀)与Cov(XryX:) o显然E(Xr) =QQ Q工。用(乩丿)=0。令k = t-s，当OKq时，EXtX3) =工ga店乜-尼一门=J=Of=O j=o异-kb 工心欣+ 当k>q

31、时，E(XrXs)=O.因此Cov(Xf,X:)与起点无关，Xr是平 /=0稳序列，其口协方差函数为：J j工恥E当0""" /=00当 k>q由J 当k>q时，/,=0>所以这样的序列又被称为是g阶相关的。557#|« 12.1.2.5是用DASC程序发生的移动平均时序数据,1条轨线,200个数据，移动阶数为3,系数组合为(1.2, 1.3, 1.4),正态白噪声方差为0.64o有限移动平均可以推广到无限移动平均。这只需将(12.1.30)表成和号形式,再将和号上下标改为无穷形式即得：Xt =(12.1.31) y=-oo计算无限移动

32、、1均序列的期望和H相关函数，由是无穷级数求和，所以存在是否收敛的问00 8题。如采实数列©绝対可和： 工，或音平方可和： 工为零 j=-ooy=x均值白噪声，那么对以根据单调收敛定理和控制收敛定理证明，该序列的期望为0.自协方 茅函数存在：00(12.132)Yk - F 工 a N j+k#当kTS时，还可以根据柯西不等式证明力TO。00我们还可以考股单边移动平均：(12.1.33)它表明现在的观测由f时刻及以前的所令白噪声楚成.不受时刻f以后的白噪声的影响。移动平均序列，不管是冇限的，还是无限的.还是单边的，因为都是门噪声的线性组合,所以都称为线性平稳序列。线性平稳序列描述了相

33、当广泛的一类平稳序列。三、严平稳时序及其遍历性在第一段叙述的严平稳随机过程的概念，很自然就是严'卜稳时间序列的概念。严半稳时 序耍求时序变帚的联介分布与所选择的时序起点无关，即対任何心，匚和任何正幣数 k,随机向屋和(x(fi+»,x(f2+r),，X(_+Q)'同分布,即 注意同分布是要求分布西数相等，即两个函数的每一点取值都相等，而宽平稳只要求两个数 字特征相等，显然严平稳的要求耍严得多。在第一段叙述的严平稳过程与宽平稳过程的关系 同样适用于严平稳时序与宽平稳时序的关系，如卜图所示。严平稳时序'=宽平稳时序?0 ?正态严平稳时序=正态宽平稳时序图 12.1

34、.3.1严平稳时序在实际观测中很难验证，但是它冇一个很好的性质在实际工作中十分冇用, 这就是遍历性，或称各态历经性。原來，我们在前面研究的时序的数？：特征，包括放族本的均值函数“x(t) = E(X(t). 方差两数= K77(JT(O)和门协方差两数代¥('1丿2)= Cov(X(t),X(t2),在实际抽 样过程中都是难以做到的。因为对j;每一个固定的时间f, X(f)是i个随机变彊，要对它 进行抽样来计算样本数字特征，就要对毎一个尚定的时间/,对X(/)进行多次抽样，这显 然难以做到。我们在实际T作中得到的样木，一般都是轨线的形式，即対每一时间f,我们 只有一个观测，而

35、不足多次观测。那么能不能利用这些纵向观测來推断那些横向统计性质呢？我们先给出比较准确的数 学定义。那些横向统计性质，如“*(/)，"艮(/),乙¥42)，我们称为集平均，它是对每一 固定的时间r,对随机变杲x(r)求数字特征，然厉再让时间变动起來，就获得了数字特征 函数。例如样本均值函数、样本方差函数与样本门协方差函数应为：1 Nx(f) =肓工尤(12.1.34)N /-I1 N族(0 = -S(K (0 - Px (0)212.1.35)N /=11 NX2)= X(尤S)一 PX)(尤(t2)-fix(t2)(12.1.36)N f=iKU)表示在固定的时间以寸随机变

36、彊X(/)令乡次抽样。现在我们定义时间平均，它是一种559纵向平均:1 CTjTX(t)X(t + /?)> = lim f X(t) X(t + h)dtTtoc IT它们的样本表示形式将积分号改成求和号:穴1 N左()=石工x(“)N 1=1W)X(t + 力)=£ 士 x)Xg + h)N i-l(12.137)(12.1.38)(12.1.39)(12.1.40)我们现在耍关注集平均与时间平均之.间的关系，先看一个例子。对J：随机相位&(12.1.9)2 2X(t) = acos(e/ + O),我们已经算出其集平均，“x = 0 , erf = 丁， = co

37、s(a)k)。 现在我们计算其时间'卜均：X(/)= lmi acos(a)t + )/= lim。Ttoo 2T一TTtoocoT1 rTX(t)X(t + =lun-_Ta2 cos(cot + 0)cos(<y(r + k) + )/ = cos6?可见对随机相位波.集平均等识时间半均。将这种特性引向一般概念，就是平稳时序的 遍历性。般地.设X(f)是一平稳时序，如果(12.1.41)以概率1成几 则称时丿子"(/)的均值具有遍历性：如果对任意实数爪X(t)X(t + /) = E(X(t)X(l + h) = Rx (/?)(12.1.42)以概率1成立，则称时

38、X(t)的自相关函数具有遍历性。如果-个时序的均値与11相关 函数都只令遍历性.则称该时序具有遍历性。并不超所冇的平稳时序都几冇遍历性。例如门噪声匂如果取其为一个与时间无关的随机变吊三，其集平均“x=°，但是其时间平均“(/)= mn皿=£就不一定等于0。平稳时序满足什么样的条件才是遍历的呢？ 一般这些条件都很难验证。不过在实际工作屮遇到的人部分半稳时间序列，都满足遍历性。容易理解和比较实用的结论是，如果吕是独立同分布的白噪声炉(0.(r2),实数列勺 /力町和，则线性严平稳用列8尢=工 ajet-J)=7(12.1.43)561是遍历的。时间序列有了遍历性的保证，我们就町

39、以方便地用时间平均代替集'卜均了。算例12.13随机相位正弦波、布朗运动DASC软件可以发生随机相位止弦波、随机振幅1E弦波，发生止态分布白噪声、均匀分 布白噪卅、泊松分布白噪声，模拟布朗运动的轨线。发生这些时序数据的参数町以由用戸指 定，轨线也町以从一条到筋条。这些已知模型及其参数的时序数据可以为时序分析研究提供 样本。第二节 时域上的时序分析方法前面显示的时间序列数据图像，横轴表示时间，纵轴表示旳数值。时间序列沿时间轴表 现出来的性质.是时域性质，对其分析称为时域分析。时间序列沿函数值轴表现出来的性质. 一般是概率意义上的随机值，是概率性质，对直分析.是统计分析。时序数据表现出來的

40、波 动性，如图12.2.1,既冇振幅，也有频率，分析K频率特性，称为频域分析，或频谱分析。 本节介绍时域分析的两种基木方法。一、时间序列的分解时间序列分析需耍対其观测样本建立尽町能合适的统讣模型，合理的模型会对所关心的 时河序列的预测、控制和诊断提供帮助。-般的时序观测样本都既仃随机项也仃罪随机项， 我们石耍将它们分离，尤其是耍将随机项分离出來，再作统计分析。非随机项町以认为包括 趙势项与周期项(季节项)。因此一般时间序列的观测样本町以认为包含趙势性、季节性和 随机性，或者只表现出三者屮的其二或其一。这样町以认为每个时间序列(也町能需要适当 的函数变换)都可以分解成三个部分的叠加：Xt =Tr

41、+St+Rr, r = l, 2,(12.2.1)其中7；是趋势项,SJ是季节项,&是随机项。时间序列血是这三项的叠加。如图12.2.1.1的时间序列是用DASC按照址=0.2f+5sm(0.2/) + £发生的，它包含一个趋势时序分解的途径无外乎两个。一个足先用冋川等方法计算出作随机项石与,再从XJ中减去它们，就得到随机项Rr. 一个是先用滤波等方法计算出随机项&,再 从兀中减去它,就得到IE随机项与».柑应J：时间序列Xr的分解，观测样本兀也令相应的分解。在不引起混淆的情况卜, 我们往往不对Xt和厲进行严格区分。在研究利关心数据的统计性质时常用人写的X-

42、 在用r数据的计算时常用小写的心。在模型(12.2.1)屮，如果季节项存在一个周期r,则S(t + r) = S(t), f = 1,2,J是，St在任何-个周期内的平均是常数1丄一工 S« + J)= c把模型(12.2.1)改写成Xt=(Tr+c) + (Sf -c) + Rt, r = l, 2, ,(12.2.2)就得到新的季节项St -c o它仍仃周期rll在任何一个周期内的和是零。丁是在模型 (12.2.1)屮町以耍求r工 S(r + 刀=0. r = l、2,(12.2.3)同理町以将随机项的均值移到趋势项而保持随机项的数学期型等j:冬，即E(Rt) = 0、7 = h

43、2,(12.2.4)算例12. 2. 1趋势分析与周期提取观察时序数据的图像图1221.2.发现右上升趙如 对例屮数据调用DASC的线性趙势 分析程序，采用一元线性回归模型：X 00 + Pt +/ = 1,2, 经计算得到Po=ll°95，A =01772 o趋势瓦线方程为/= 1.1095 +0.1772/其中年零常数项1.1095是由函数龙=02/+5sm(02/) + £中的正弦项产生的。从原始数据从图1221.3中看出已经没冇趋势项了.但是还冇明显的周期项。继续调用DASC的时序周期函数项提取程序，计算得=4.615*5111(0.197*x-0.085),拟介效

44、呆如图厶掉这个周期函数得到的就是纯粹的随机项，如图12.2.1.5c至少我们可以看ILMIT数二、时间序列的线性滤波前面的时序分解方法是从时序数据里去掉因数项(包括趋势项与周期项)，剩卜的就是 随机项。现在我们考虑相反的办法，先设法去掉随机项，剩卜的就是函数项了。滤波就是一 种去掉随机项的办法。时间序列数据町以看作一种数字信号，它往往有频率特征。函数项一般表现为低频，随 机项（白噪声及其组合）一般表现为高频,这从前面图12.2.1.1可以看出。怎样去掉高频信 号呢？随机数据（频率信号）总是尉绕平均值波动，所谓波动，就是与'卜均值的偏差令正令 负。我们可以考世将信号前后项'卜均或

45、加权半均，就能在一定程度上消除高频噪声。当然我 们可以就前后两项两项的半均，得到新的序列。不过一般还是适肖的多儿项平均，例如5 点平滑：w-2 1Yt = Y 邸兀-2 + 兀_1 + K + 兀+1 + 兀+2）（ 12.2.5）r=3就是将Xt前后和连的5点平均，得到新的序列；. WXt是白限项，那么的 项数将减少。类似的还冇7点平滑，9点平滑。更-般的，我们将（12.2.5）式推广，等分 的系数推广为一般的力丿，求和项数从5项推广到无穷：5OD(12.2.6)；=工 hjX-jJ-OC绝对町和的实数列H = hj彼称为一个保时线性滤波器它是-种线性低通滤波器,如果Xt是平稳序列,有数学期

46、望疋（也）=“和自协方差函数"，则”也是平 稳序列,有数学期里X8(12.2.7)Ay =毗)=工hjE(Xr)= p Yhj丿y-x和口协方差函数8n(D = co、a+k.耳)= X h>hj- py Kt-j - py)h丿(12.2.8)算例122. 2随机相位波信号的滤波随机相位波信号是一个随机相位波与一个白噪声的會加。随机相位波如（12丄9）式衣达.白噪声如（12.1.21）式所表达,不过均值为0。假设随机相位波的随机变最0和白噪声£独立.这时观测信号Xf = a cos(劲 + ) + 勺(12.2.9)前而已经计算出师机相位波acos（期+ ）的均值为

47、0,门协方差两数*二:cos(),令"。，得到信号的方差为孚可以用來表示信号的强弱。噪声的方差，可以用来表示噪声的强弱。信号与噪声二者方差之比则称为信噪比：(12.2.10)Var(signal)Var(iioise)2此例l|tp = o信噪比较人时，信兮容易被识别；信噪比过小时，信匕会被噪川淹没。 2<t sill (M + 0.5)sin(fy/2) sine(M + 0.5)2sm2(ty/2)sin(0/2)得到采用线性滤波器""5m)对(12.2.9)进行滤波得:(12.2.11)56656712M + 1其中久=2M + 1M是零均值平稳序列。

48、利用三角求和公式M工 cos(©)= 丿Mcos(血/) 一 cosq(M +1)1-COS(0)1 竺X = W 工“ cos 做-J) + 0) + J "么+丄丿mM工 b cos(©) cos(妙 + 0) + / j=M#Qsiucw(M + 0.5)(2M + l)sm(0/2)cos(cot + ) + ,#J是从滤波器(12.2.11)输出的信号序列耳和输入的信号序列乙仃和同的角频率Q和初始相位输出序列的随机干扰几的方差是2如(J =(jZ2M + 1是输出序列的信噪比变为b2 sin2/y(AZ + 0.5)2(2M + l)sin2(6?/2)

49、(T2特别当e(M + 05) =兰，bpm = -0.5时,信嗓比为22cd2疋2 sm2(6y/2) ncoa2这里用到了不等式x > sinx, x > 0。和输入序列的信噪比相比较，输出序列的信噪比至少4増加了倍。Q越小.信噪比増加就越人。neo10：9& 20. 940. B 5 0. 76 60.7 70. 65 80： 6 90.55 100.5 U0.! 12C.M 130.35 )<30. 3 U0.25 60.2 17C. J5 ISO 】190.05 200图 12.2.2.2图12.2.2.1屮的Xt是來口模型(12.2.9)的200个观测，信

50、号振幅a = 2,角频率 6? = 0.1,噪声方差<72 = 0.25，信噪比是22/2.5 = 1.6。采用9点线性平滑滤波，输出过 程的信噪比大J-(2x22)/(3.14xO.1x2.5)1O,约是输入过程信噪比的6.37倍。注意平 滑后的仃效数据将减少，图12.2.2.2屮两端的几个数据足无效的。ll 性平滑的局部性和 原始数据随机性的影响，滤波后的图像与模型假设的余眩曲线还是仃一定差别。除了线性滤波外，还仃窗函数滤波、屮位数滤波、R尔曼滤波、门栏滤波、位相滤波、 递归滤波等，八体滤波思想和计算实例可以见DASC软件的时斥分析模块屮的数字滤波菜 单。小波滤波与样条滤波可见DAS

51、C软件的回"I分析模块屮的非参数回菜单。第三节 频域上的时序分析方法我们知道，傅立叶(Fourier)变换F(q)= X(t)ejat dtJ 00能够将关的函数转化成关的函数从而更好分析原来西数的频率结构。半稳时序 *(/)是时间f的两数，対它进行傅&叶变换，有可能发现它在频率方面的更深刻的性质。 我们还知道，随机变届的统计性质可以由它的分布两数或概率密度函数刻画，那么平稳序列的二阶统计性质能否由它的傅立叶变换函数刻画呢？为此我们将傅工叶变换与谱分析引入 时序分析。一、连续傅立叶变换的谱分析这一小段也我们将时间序列看作随机过程，首先定义随机过程/(/)的频谱：Fxco) =

52、 J二 X(t)eicot dt(12.3.1)其中,是单位虚数。在过程X(t) 频谱Fx(co) Z间存在巴窕伐(Pnisml)方程:f+00J-XX2(t) dt =r-woo茹dco(123.2)570#等式左边是惭数平方的枳分.借用物理能帚公式含义，表示在(Y,+ s)随机过程x(r)的总能量。右边的被枳函数I Fxco)| 2相应地称为随机过程X(0的能谱密度但是许多随机过程的总能昴是无限的，为此我们考虑能杲与能谱密度在时间匕的平均:11111 T>4-x 2Txt) dt丿m -Lfx(co.T) fM-X 21It中Fx(©t)是截断的频谱：Fx(CD.T) =

53、TXe-ic)t dt上述积分还是随机的.我们再取氏期望，相卅J是横向的平均： 吩理X剳；总)町 Sx3)= hm -f(| Fx(coyT) |2 )T>-HX ZlTt+oc(12.3.3)(12.3.4)(12.3.5)(12.3.6)(123.7)#称为平稳过程X(/)的平均功率：Sx(G)称为平稳过程X(t)的功率谱密度，简称为自谱密度、谱密度或功率谱，相、”门;巴塞伐等式的仃等式：吸=-j_Sx(a)da)(12.3.8)#称为平稳过程的平均功率的谱表示卜.面定义的谱密度Sx(C) 乂称为双边谱密度。还可以定义单边谱密度.考渥的是定义在0. + S)上的平稳过程X(t),以及

54、在0, T)上枳分的Fx(0T)：GX (e) = V2把祥却心如)|2)沁。(心.9)0,e v 0因Fx(co,T) 2=FxT)Fx(-T),是e的罪负实值偶函数，氏均值的极限即#谱密度Sx(CO)也必然是Q的非负实值偶函数。是单边谱密度与双边谱密度仔如卜关系:Gx(e) = 2Sx(co).0,eno<y <0(12.3.10)571#谱密度Sx(co)与自相关两数是一对互逆的傅&叶变换结果:(12.3.11)Sx(co)=rXRx(h)e-i6>hdh* X心=2匚归严de(12.3.12)#它们统称为维纳一辛钦(WicnceKhintchine)公式.在上式中令11 = 0.就得到等价的巴定 伐等式(12.3.8)。(123.13)由谱密度SX(CO)与口相关函数Rx(h)都是偶濒数，所以维纳一辛钦公式可以写成:Sx(Q) = 2 J ° Rx(h)cos(eh)dhSx(co)cos(a)h)dct)(12.3.14)#八、1 r +*(12.3.15)(12.3.16)(12.3.17)(12.3.18)我们还可以引入互谱密度的概念。设X(t)与0(0是两个平稳时序，定义Sx Y ( = lim - E( Fx (% T)FyT)T->-nx 2T为X(t)与F(/)的互谱密度.式中£r(e