北航应用数理统计考试题及参考解答

1、北航2010应用数理统计考试题及参考解答09B一、填空题(每小题3分，共15分)y2 + 1/2b设总体X服从正态分布N(O, 4),而(XPX2.,X15)是来自X的样本，则U = 一牛 2( X + + Xj) 服从的分布是.解：F(1O,5).2, 玄是总体未知参数o的相合估汁量的一个充分条件是.解：limE(a)= 0 limVar(&) = 0.“f oc/r»3, 分布拟合检验方法有_与解：才检验、柯尔莫哥洛夫检验.4, 方差分析的目的是解：推断齐因素对试验结果影响是否显著.5, 多元线性回归模型Y=XB + £中，B的最小二乘估计B的协方差矩阵Cov(

2、/9) =_解：C0V(b) = b2(X%)=二、单项选择题(每小题3分，共15分)1,设总体XN(1, 9), (X,X2，X9)是X的样本，则N(0, 1):(B)y_iN(0, 1)：(C)(D)X-1 N(0、1)2, 若总体XNg R),其中/已知，当样本容量"保持不变时，如果置信度1 a减小，则“的 宜信区间B_.(A) 长度变大：(B)长度变小：(C)长度不变：(D)前述都有可能.3, 在假设检验中，就检验结果而言，以下说法正确的是(A) 拒绝和接受原假设的理由都是充分的：(B) 拒绝原假设的理由是充分的，接受原假设的理由是不充分的：(C) 拒绝原假设的理由是不充分的

3、，接受原假设的理由是充分的：(D) 拒绝和接受原假设的理由都是不充分的.4, 对于单因素试验方差分析的数学模型，设»为总离差平方和，»为误差平方和，Sa为效应平方和，则总有<D） S.、与»相互独立.5, 在多元线性回归分析中，设B是B的最小二乘估计. XB是残差向量，则 卫(A) E(s) = 0K:(B)cov()= o-2/n -x(xxylxf:八，八(D) (A)、(B). (C)都对.（C） 毗是b，的无偏估计;n _ p _ 1三.（本题10分）设总体XN（“，/）、丫Na®/）, （X“X2,X®）和（乙必，比）分别是来自

4、X和Y的样本，且两个样本相互独立，乂、7和S；、S；分别是它们的样本均值和样本方差，证明/（77| + 心一2）,其中 s?=（耳+（"2 _i）sn + n2 _ 2证明：易知X-rTV-A，+ ),” =（%_力一（“厂乂）MO D由定理可知由独立性和z2分布的可加性可得V =（"厂竽+才（耳+冬_ 2）.由U与V得独立性和t分布的左义可得C宾心=卩/（卄-2）-" m四.（本题10分）设总体X的概率密度为fxO） = 120'12(1-&)0,0<x<V 其中参数&(Ov&vl)其他,未知，(X” X"，

5、X是来自总体的一个样本，乂是样本均值，(I)求参数e的矩估计量6：(2)证 明40不是少的无偏估计量.解：(1)/ +x6 X dx = + 8 2（1 。）42e（x）=l 55心匚-4.令X=E(X)>代入上式得到&的矩估计量为0 = 2X-.2E（4X2） = 4EX2 =4DX+（EX）2 = 4= ?DX+丄+ 8 + 0, n 4因为D(X)>0, &>0,所以E(4X2)>2.故4乂$不是少的无偏估计量五、(本题10分)设总体X服从0, 0 (0 > 0)上的均匀分布，X“)是来自总体X的一个 样本，试求参数&的极大似然估计.

6、解；X的密度函数为I， 0<x<6>0, 其他，似然函数为L(e)=*, 0 v 壬 v &,? = 1,2,y0,其它显然&>0时，厶(&)是单调减函数，而&nmaxHK，兀卜所以& = maxX£2，X讣是&的 极大似然估汁.六、(本题10分)设总体X服从B(l, p)分布,(X”X2,X”)为总体的样本,证明乂是参数”的一 个 UMVUE.证明：X的分布律为/（x； p） = p"（l - p）= x = 0,1.容易验证f(x; p)满足正则条件，于是KM = E ln/（x;p）P(l-P)另

7、一方而即X得方差达到C-R下界的无偏估il M,故产是"的一个UMVUE.七、（本题10分）某异常区的磁场强度服从正态分布Ngb、由以前的观测可知“0=56 现有一台新仪器，用它对该区进行磁测，抽测了 16个点,得元= 61, £=400,问此仪器测出的结果与以往相比是否有明显的差异（a =0. 05）附表如下:t分布表nn =0. 1a =0. 05a =0. 025141. 34501. 76132. 1448151. 34061. 75312. 1315161. 33681. 74592. 1199na 二0 1a 二0 05a 二0. 0251421. 06423.

8、 68526. 1191522. 30724. 99627. 4881623. 34224.29628. 845x"分布表解：设弘：“ = “u=56构造检验统计量确上拒绝威的形式?由a = OO5,左出临界值Q/2 =/（）,025 =2.1315 ,从而求出拒绝域站>21315而” = 16,无= 60,从而1/1= ¥7長60 5620皿=0.8<2.1315,接受假设即认为此仪器测出的结果与以往相比无明显的差异.A> （本题io分）已知两个总体x与丫独立，“2, si b；未知,XQ和人出）分别是来自X和丫的样本，求尘的宜信度为1a的宜信区间.解：设S；, S；分别表示总体X, 丫的样本方差，由抽样分布定理知Pa/2（"1 1丿2 1）V F < 0|_a/2（"l 一 1） = 1 &，一心<企<.W< 匚a/2（&