南京工业大学浦江学院线性代数试题卷

1、班级学号姓名题号-一-二二三四五六七八总分得分（符号说明：E表示单位矩阵，R（A）表示矩阵A的秩， 表示行列式，T表示矩阵的转置。）-、填空题（每题 3分，共15分）x y zxyz1.已知0231，则3x 3 y 4 3z 61 1 1x 2 y 2 z 22. 设 1=（3，3，3）, 2=（ 4, 4, - 12）,3=（4 , 2, 6），贝U1,2,3线性关。3. 设n阶方阵A满足A2 4A 2E 0,则A 1。2 2 24. 设A、B都是阶方阵，则（A B） （A 2AB B ）。3. 设A, B均为n阶可逆矩阵(A) (AB) 1 A 1B 1(C) (AB) AB,则下列式子正

2、确的是()(B) (A B) 1 A 1 B 1(D)(A B) A B5. 设n元线性方程组AX=b,且R（A）= r, R（A,b）=s,则AX=b有解的充要条件是 ，有唯一解的充要条件 ，有无穷多解的充要条件 。二、选择题（每题 3分，共15分）1.向量组 1,2,，s线性无关的充分必要条件是（)(A)1,2,，s均不为零向量，(B)1 ,2,，s中任意两个向量的分量不成比例，(C)1,2,，s中任意一个向量均不能由其余s 1个向量线性表示,(D )1 ,2,，s中有一部分向量线性无关。2.矩阵A有特征值为1,2,则A2 A E一定有特征值（)(A) 1, 2(B) 1, 3(C) 2,

3、 3(D) 1,2, 33211314 .设齐次方程组AX 0的-个基础解系为1 1 , 20 ,30，则010001( ).(A) R(A) 5(B) R(A)4(C)R(A)3(D) R(A) 25.若矩阵A的秩为r，则()。(A) A中至少存在一个r阶子式不为零(C)A中所有r 1阶子式均不为零(B) A中存在一个r+1阶子式不等于零(D) A中只有一个r阶子式不为零123Ln 1110L0、(12分)计算n阶行列式Dn022L0LLLLL000Ln 1n00L(n 1)四、(12分)设矩阵A和B满足关系式AB=A+2B，其中 A110。试求矩阵B。五、（ 12 分）求下列向量组的秩及其

4、一个极大线性无关组，并将其余向量用这个极大线性无关组线性表示(1,1,1, 1), 2 (1,1, 1, 1), 3(1, 1, 1,1), 41, 1, 1,1).六、（13分）求线性非齐次方程组的通解x15x2x3x4 1x12x2x33x4 33x18x2x3x4 1x19x23x37x4 7七、(16 分)已知二次型 f(x1,x2,x3) 2x12 4x22 5x32 4 x1x3 ，试回答下列问题1) 写出此二次型的矩阵 A ；2) 利用正交变换 X QY 该二次型化为标准型，并给出所使用的正交变换和标准型；3) 判断该二次型是否具有正定性。八、( 5 分) )证明：相似矩阵具有相

5、同的特征多项式。南京工业大学浦江学院线性代数 试题 （B）卷试题标准答案2009-2010学年第一学期一、填空题（每题3分，共15分）1.4,2.相，A3.2E , 4.BA-AB,2二、选择题（每题3分，共15分）1.C,2.B,3.D.4.D5. A（12分）解：第2,3 ,n行加到第1行:使用班级浦江学院各专业5.2E， 4,6.r=s, r=s=n, r=s<n.3 0 2 o2 12 o(1)ni(n 1)!212分四（12分）解：由AB=A+2B，可见(A 2E)B=A，因此B=(A 2E) 1A223143又(A 2E)110其逆矩阵(A2E)1153 8 分121164因

6、此143423386B(A 2E) 1 A153110296 -12分1641232129五（12分）解：1111100011110101(1 ,2,3,4 )6分1111001011110000故秩为3; 8分其一个极大线性无关组为1, 2, 3且 4212分2六、（13分）解：对方程组的增广矩阵进行初等行变换10571212114057121214(A,b)8分0724400000014488 00000r(A)r(代b)=24，方程组有无穷多解。10解为X-1k1k2 。13分71 72 7010001202七( 16分)解：二次型的矩阵为 A0404刀2053I A E| (4)(1)(对于入=1,得单位特征向量：对于入=4,得单位特征向量：6)，得特征值1, 4, 6。2 (0,1,0)对于入=6,得单位特征向量:1<5,0,5,)10分2 需01：5y1取正交变换X PY010y2。则 fy12 4y22 6y3