反常积分的敛散性判定方法

1、反常积分的敛散性判定方法The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020内蒙古财经大学本科学年论文反常积分敛散性的判定方法作者陈志强学院统计与数学学院专业一数学与应用数学年级2012级学号/指导教师魏运导师职称教授最终成绩75分扌商 关键词引言2、预备知识21. 无穷限反常积分22. 瑕积分33. 反常积分的性质3二、反常积分的收敛判别法41无穷积分的收敛判别4(1) .定义判别法4(2) .比较判别法4(3) .柯西判别法5(4) 阿贝尔判别法6(5) .狄利克雷判别法72瑕积分的收敛判别

2、8(1).定义判别法8定理判别法9(3).比较判别法9(4).柯西判别法(5).阿贝尔判别法1010(6) 狄利克雷判别法参考文献摘要在很多实际问题中，要突破积分区间的有穷性和被积函数的有界性，由此得 到了定积分的两种形式的推广：无穷限反常积分和瑕积分。我们将这两种积分 统称为反常积分。因为反常积分涉及到一个收敛问题，所以反常积分的敛散性 判定就显得非常重要了。本文将对反常积分的敛散性判定进行归纳总结，并给 出了相关定理的证明，举例说明其应用，这样将有助于我们灵活的运用各种等 价定理判断反常积分的敛散性。关键词:反常积分瑕积分极限敛散性引言近些年以来，一些数学工作者对反常积分敛散性的判别方法做

3、了研究并取 得了许多重要的进展。如华东师范大学数学系编，数学分析（上册），对反常 积分积分的定义，性质的运用及讲义其判别收敛性的方法。华中科技大学出版 的数学分析理论方法与技巧，也对反常积分敛散性判别做了详细的讲解，还用 图形的方法说明其意义。引申出反常积分敛散性的等价定义，并通过例题说明 其应用。众多学者研究的内容全而广，实用性很高，尤其是在研究敛散性的判别很 明显，这对我现所研究的论文题目提供了大量的理论依据和参考文献，对我完 成此次论文有很大的帮助，但绝大多数文献只是对其一种方法进行研究，而本 文将对其进行归纳总结，举例说明其应用。、预备知识1.无穷限反常积分定义设函数/（X）在a, +

4、8）有定义 若于（X）在a, A±可积（A>a）且 当A-+8时，lim P/CxX/x存在，称反常积分 r fdx收敛，否则AJdJ d称反常积分与匸/«厶发散。对反常积分匸f Zx与匸fZx可类似的给出敛散性定义。注意：只有当匸/(小力和匸/(xXv都收敛时，才认为匚/(羽心是收敛 的。2 .瑕积分定义1 ：设f(x)在a的任何邻域内均无界，贝IJ称&为f (x)的瑕点. r b_6定义2：设f(x)在内有定义，且b为唯一瑕点，若!需“ fMdxfb存在，称瑕积分a f (xx收敛定义3 ：设C丘(。,巧且为f(X)的个瑕点，若£/Mdx和丄/(

5、x)dx均收敛，则称瑕积分f(x)dx3反常积分的性质(1) Cauchy收敛原理：f(兀)兀收敛O 对0£>0, 3A0>a,当A>A2>A°时，有 J/A1 f gdx <£pocr oc线性性质：若fZx与g(x)dx都收敛，则对任意常数00匕込，忆丿(x)+ y(x)Hx也收敛，且有/(%) + k2g(x)Jx = kY J" f(x)dx +k2 g(x)dx(3)积分区间可加性，若ZE收敛，贝IJ/ b 丘d, -KO), J： f (x)dx = j， f(x)dx + f(x)dx .若£x|/w

6、收敛，则/(劝厶二、反常积分的敛散性判别法1.无穷积分的敛散性判别(1)定义判别法设函数/定义在无穷区间",+8)上 且在任何有限区间“上上可积如果存在极限lim 上 fx)dx = J ,贝IJ称收敛，否则发散，即相应定积分的极限存在广义积分收敛，定积分的极限不存在广义积分发散例计算无穷积分-pxdx (是常数，且P>O)解：J带xe-pxdx = -epx 訂 + 丄厅epxdx = _丄严|带二丄PPP 1 PX1式中 lim 忌-宀=lim 二 lim= 0丁 XTXf 尹 AX pePX比较判别法的普通形式：/O),g(x)在)有定义 且0<f(x)<g(

7、x)(x>a)f(x)dx <+co(b)pooJ ag (兀皿二+00a sinx例讨论Jo亍匚于的收敛性xe0,+oo)因为8 dx 7t严 sin x .0 T72=为收敛，所以根据比较判别法Jo为绝丄 + X ZJL I 对收敛。(3).比较判别法的极限形式:f(X), g(X)在d,/(%)日 lim= I m|i -且代g(x) 则.)有定义，且非负,0C(a)当/ = 0时，<H-co=> f /(x)dx+ooJ a(b)800/ = +oo时，二f gdx =JuJ a00+ 00(c)0 </+oo 时,r g(x)dxJu>00“ f(

8、x)dx具有相同点敛散性。证：若理2弓斗=人+8,由极限的性质，存在常数A (A>a) 人十g(x)使得当x> A时成立即Z(x)<(/ + l)g(%)于是由比较判别法，当gMdx收敛时f (x)dx也收敛若 lim )= / > 0 ()有 2+oog(x)由极限的性质，存在常数A(A>),使得当A时成立其中 Q<1 <1 /(X)> lg(X)° QQ< 30于是由比较判别法，当g(x0v发散时f (x)dx也发散/cLxVx4+3x3+5x2+2x-1的敛散性收解叫畅“而辭 一。0 #兀4+3兀3+5乂2+2兀一1'

9、;敛所以匸沿+3宀5宀2-严收敛总结：使用比较判别法，需要一个敛散性判别结论明确，同时又形成简单的 函数作为比较对象，在上面的例子中我们都是取J为比较对象的，因为它们正好能满足这俩个条件(4).柯西判别法：设/(兀)在/乜)有定义 在任何有限区间 心 上可积，且 limL|/(x)| =久则有：xoc当 p > 1,0 < 2 < +8 时，J“ |/(*)幽收敛0C当P<1,时，L发散(5).阿贝尔判别法:J。/(X)g(X0Y满足：(a) /(兀)单调有界(b) f gZx 收敛v Cl则/(x)g(x)x 收敛J Cl证：由于存在M0,使x>U)再由 可知,

10、r A?对Vw >0, 3A0>6/,当 A2>A. > A。时，有 J心 fgCx < s二 /（州）匸&0炖 + /（企）卩$（兀炖 mm（£ + £）=2M £再次由柯西准则知Abel定理成立。J8 sin x» harctan xdx(o< >1 < 1)收敛Joo sin x利用阿贝尔判别法，因为i dx 收敛,又 arctan x 在1,+<R) xroo sin x.上单调有界故j; 丁心的皿是收敛的(6). Dirichlet 判别法:J z f满足(1) f(x)单调且趋于0

11、(XT0)r a(2) ?(X“X 有界(a>A)则 f(x)g(x)dx 收敛。证：由于存在M0, gOMx有界，所以有g(x)厶又由于f(x) TO(XT8)故对对 Ve>0, 3A0 >a，当 A2>Ai>A° 时，有|/(a2)-/(a)|<即|/(4)|<0, |/(£)| v 所以fx)clx Vq g(x)兀一 Jd ggdx< 2A/同理有f? g(x)厶 < 2M ,故当 A2M1 > A)时，有J： f(x)g(x)dx < 1/(742)! £ g(x)dx +|/(A)| f

12、? g(x)dx<47VZsr00 sin x .例证积分Ji收敛.但不绝对收敛sin皿 =|cosA-cosl|<2f而+单调且当兀申时趋于0,故由Dirichlet判别法知g sin xclx收敛；但sin x2 z 一 1 cos2x x小云F而sin xIfcos 2xdx = sin 2A sin 1| < 1.亍单调趋于 o,故cos 2x2x厶收敛，而7扌严发散，故sin xdx发散例积分Jo X，)dX的敛散性当>0时是可积的；当"V0时，它是不可积的因为这时被积函数在0,1上无界。但作为反常积分当P>-1时收敛；当p <-1时发散

13、；因为当P-l时有啊x"dx = Uml-dp+10 p + 1"+1) 若"Al8 .若pt而当卩=一1时有limxTxdx = lim(In 1 Inc5) = +s<5->0 v7例 积分Jo x，dx作为反常积分，当P<-1时它收敛；当P二-1时它-1/(卩+1),若/?<-1叫若PT发散。这是因为当P丰1时有lim f1 xpdx = lim 50 J 550 p + 而当 p二一 1 时有lim£ xxdx = lim(ln<5-lnl) = co 2.瑕积分的收敛判别(1)定义判别法设函数/定义在无穷区间（4&

14、#174;上，在点3的右邻域上无界，但在田可内闭区间 有限区间H,b u （匕6上有界且可积.如果存在极限f（x）dx = J ,贝IJ称反常积分产收敛.，否则发散例计算瑕积分几的值V1-X2X解：被积函数fM = = 在0,1）上连续，从而在任何0“u0）上可Jl -X2积，x = 0为其瑕点.依定义求得f* I 工，dx = lim J： z v dx = lim（l- VF-w7） = 1°>/r7“*037定理判别法（柯西收敛原理）瑕积分fb（瑕点为d）收敛的充要条件是：任给£>0,存在>0,只要UXU2 G(6f,Z + J)总有：/(兀川一 J

15、： /(%Kr| = f(x)dx=Q<£（3）.比较法则设f（x）定义于4b , a为其瑕点，且在任何u,bu（d#）上可OC税如果 lim(x-6?)/，|/(x)| = 2 x>0当P > 1,0 V 2 V +8时，j f (切密收敛当 p<lt O<<-HX)时，£ f发散（4）.柯西判别法设XF是f(x)的瑕点，如果|/U)|<-(X 町(c>O),p<l 那么ChcI /(Xk/x绝对收敛；如果|/U)|>- (c>o),p>l那么ax-a)ChJ f f(xlx 发散r dx例讨论J；的

16、敛散性ZRT解：x=0是其唯一奇点。x(!lim 0+ x"卩n x°,由柯西判别法知，类似的,当p>i时，取q =w(i，“)，则当 0 </?V 1 时，取 =则.八c dx鹦千+°°由柯西判别法知"帛发散当 p = 1时，可以直接用Newton-le让niz公式得到e = lim lnllnxJ。xp In x“to中丄dx因此，当°1时，反常积分J;收当敛;当P"时，反常积分r dxJo丙匚发散(5) 阿贝尔判别法设f (x)在x二a有奇点,1 f(x)clx收敛，g(x)单调有界，那么积J (1分/(x)g(x)x 收敛(6) 狄利克雷判别法设f(X)在X二&有奇点,fWx是的有界函数,g(X)单调且当XT 3时趋于零，那么积分/(X)g(X)X例sin x)才%(0心2)的收敛情形当0V厂1时,sin xxr4积分绝对收釵又sin dx < cos 1 cos 丄 < 21sin f T兀Jo xrJo2"r s