同余定理解法的其他情况

1、同余定理分三类 :口诀套用，化余为一，其他“差同减差，和同加和，余同取余，最小公倍加”这是同余问题的口诀。所谓同余问题， 就是给出“一个数除以几个不同的数”的余数，作同余问题。反求这个数， 称首先要对这几个不同的数的最小公倍数心中有数，下面以 4、5、6 为例，请记住它们的最小公倍数是 60。1、差同减差 :用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的差相同，此时反求的这个数， 可以选除数的最小公倍数， 减去这个相同的差数， 称为 :“差同减差”。例 :“一个数除以 4 余 1，除以 5 余 2，除以 6 余 3”，因为 4-1=5-2=6-3=3 ，所以取 -3 ，表示为 60n-3 。【

2、 60 后面的“ n”请见 4、，下同】2、和同加和 :用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的和相同，此时反求的这个数， 可以选除数的最小公倍数， 加上这个相同的和数， 称为 :“和同加和”。例 :“一个数除以 4 余 3，除以 5 余 2，除以 6 余 1”，因为 4+3=5+2=6+1=7，所以取 +7，表示为 60n+7。3、余同取余 :用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同，此时反求的这个数， 可以选除数的最小公倍数， 加上这个相同的余数， 称为 :“余同取余”。例 :“一个数除以 4 余 1，除以 5 余 1，除以 6 余 1”，因为余数都是 1，所以取+1，表示为 60n

3、+1。4、最小公倍加 :所选取的数加上除数的最小公倍数的任意整数倍 (即上面 1、2、3中的 60n)都满足条件，称为 :“最小公倍加”，也称为:“公倍数作周期”。余数问题中的一个重要问题就是同余问题，在同余问题解决过程中， 推荐代入法和口诀法两大类。其中口诀法是公倍数做周期，余同取余，和同加和，差同减差的应用，但是有时候会出现余不同，和不同并且差也不同的现象，这就需要我们采用剩余定理进行解决。剩余定理的原理比较繁琐，不如直接套用解题方法进行快速解题更能解决行测中的类似问题。下面给出一些例题，对剩余定理的解题方法加以熟练:【例 1】一个数被 3 除余 1，被 4 除余 2，被 5 除余 4，这

4、个数最小是多少题中 3、4、 5 三个数两两互质。则 4， 5 =20 3，5=15 3， 4 =12 3，4，5=60。? 为了使 20 被 3 除余 1，用 20×2=40? 使 15 被 4 除余 1，用 15×3=45? 使 12 被 5 除余 1，用 12×3=36。? 然后，分别乘以他们的余数 :40 ×1+45×2+36×4=274，? 因为， 274>60，所以， 274- 60×4=34，就是所求的数。【例 2】一个数被 3 除余 2，被 7 除余 4，被 8 除余 5，这个数最小是多少在 1000

5、内符合这样条件的数有几个题中 3、7、 8 三个数两两互质。? 则 7，8=56 3，8=24 3， 7=21 3，7，8=168。? 为了使 56 被 3 除余 1，用 56×2=112? 使 24 被 7 除余 1，用 24×5=120? 使 21 被 8 除余 1，用 21×5=105? 然后， 112×2+120×4+105×5=1229。? 因为， 1229>168，所以， 1229- 168×7=53，就是所求的数。? 再用 (1000-53)/168 得 5, 所以在 1000 内符合条件的数有 5 个。

6、【例 3】一个数除以 5 余 4，除以 8 余 3，除以 11 余 2，求满足条件的最小的自然数。题中 5、8、 11 三个数两两互质。? 则 8，11=88 5，11 =55 5，8=40 5， 8， 11=440。? 为了使 88 被 5 除余 1，用 88×2=176? 使 55 被 8 除余 1，用 55×7=385? 使 40 被 11 除余 1，用 40×8=320。? 然后， 176×4+385×3+320×2=2499，? 因为， 2499>440，所以， 2499- 440×5=299，就是所求的数。

7、【例 4】有一个年级的同学，每 9 人一排多 5 人，每 7 人一排多 1 人，每 5 人一排多 2 人，问这个年级至少有多少人题中 9、7、 5 三个数两两互质。? 则 7，5 =35 9，5=45 9，7=63 9，7，5=315。? 为了使 35 被 9 除余 1，用 35×8=280? 使 45 被 7 除余 1，用 45×5=225? 使 63 被 5 除余 1，用 63×2=126。? 然后， 280×5+225×1+126×2=1877，? 因为， 1877>315，所以， 1877- 315×5=302

8、，就是所求的数。对剩余定理问题进行直接套用的方式是解决此类题目最快的方法， 华图公务员考试研究中心希望考生记住解题步骤，进行相关问题的解决。来源 : 华图教育剩余定理的一般情况 :一个数，除以 7 余 3，除以 8 余 6，除以 5 余 2，求满足这些条件的所有三位数。卡卡西解析 :-一个数除以 7 余 3，可以把这个数字表示为7a+3，同理有 5b+2? ? 8d+67a+3=5b+2? ?7a+1=5b? ?a=2?b=3?最小公倍数 3535c+17=8d+632c+8+3c+3=8d(因为 32C+8 肯定是 8 的倍数，所以不予再考虑)3c+3=8d? ?C=735*7+17=262

9、? ?262+280N一个整数除 300、262、 205，得到相同的余数，问这个整数是几分析 :根据同余的性质 :此三数种任何两数的差都应是除数的倍数，即除数应是此三数中任两数的差的公约数。-解 :300-262=38 262-205=57 ? ? (28，57)=1912 +22 + 32 +20012+20022 除以 7 的余数是 _。-方法一 :12+22+n2=n(n+1)(2n+1)/6:÷7=0 1 ÷7=0 4 ÷7=1 2 ÷7=2 2 ÷7=3 4 ÷7=5 1 ÷7=7( 0) ÷7 ÷7 ÷7 ÷7 . 7 7 1+4+2+2+4+1 7 (1+4+2+2+4+1)÷7=2( 0) 2002÷7=286 7 7 019981986-1998 的 1986 次 =(265*7+3 )1986 次? ? ? ? ?=3的 1986 次30?整除 7 的余数是 ?1