向量组的线性相关与线性无关分析

1、向量组的线性相关与线性无关1. 线性组合设a<i, a2,at匕R ,匕，k2,K匕R ,称匕耳十k a + kat为a a2,at的一 个线性组合。一k2【备注1】按分块矩阵的运算规则，匕印+k2a2 + ktat =(a“ a2,q)亠。这+占丿样的表示是有好处的。2. 线性表示设aa, g Rn， b Rn，如果存在匕山，K R，使得b = Ka k2a2 - ktat则称b可由q , a?, , a线性表示。k2b = ki&+k2a2+k(at，写成矩阵形式，即 b =(ai, ©) 。因此，b 可+<kt由a,a2,at线性表示即线性方程组(ai,a2

2、,aj « =b有解，而该方程组有解+当且仅当 r(q,a2, ,at),at,b)。3. 向量组等价设包，,ad, b2,bs Rn，如果总，,耳中每一个向量都可以由匕,鸟，,bs线性表示，则称向量组aa2,a可以由向量组gp,bs线性表示。如果向量组a,a2,at和向量组b|,b2,bs可以相互线性表示，则称这两个向量组是等价的。向量组等价的性质:(1) 自反性 任何一个向量组都与自身等价。 对称性 若向量组I与II等价，则向量组II也与I等价。 传递性 若向量组I与II等价，向量组II与III等价，则向量组I与III 等价。证明：自反性与对称性直接从定义得出。至于传递性，简单计

3、算即可得到。设向量组I为矽总，,ar ,向量组II为b,b,bs，向量组III为g,q,G。t向量组II可由III线性表示，假设bj八yqCk，j =12,s。向量组I可由向s量组II线性表示，假设av Xjibj，i =1,2,r。因此, j 二sstt sa = ' Xjjbj= ' Xjiykjck = '(.一 ykjXji)Ck，i = h2，,rj 1jk akm j T因此，向量组I可由向量组III线性表示。向量组II可由I线性表示，III可由II线性表示，按照上述办法再做一次, 同样可得出，向量组III可由I线性表示。因此，向量组I与III等价。结论成立

4、！4. 线性相关与线性无关设印心，,.Rn，如果存在不全为零的数 匕也，,R，使得则称aa2, ,a线性相关，否则，称aa2,at线性无关按照线性表示的矩阵记法，a,a2,越线性相关即齐次线性方程组k2佝旦，,aj ：=0+有非零解，当且仅当r(a1,a2 ,at) <t 0 a,a2, ,a线性无关，即k?(印旦，,aj +=0+<kt只有零解，当且仅当(印总，,越)=t。特别的，若t =n，则a，,aRn线性无关当且仅当r(ai,a2, ,an)二n ,当且仅当 ,a2, , a.)可逆，当且仅当 佝,&2, )式0。例1.单独一个向量aRn线性相关即a=0 ,线性无关

5、即a = 0。因为，若a线性 相关，则存在数k = 0，使得ka=0，于是a = 0。而若a=0，由于1a = a = 0，1-0 因此，a线性相关。例2.两个向量a,b Rn线性相关即它们平行，即其对应分量成比例。因为，若a,b 线性相关，则存在不全为零的数 k1,k2，使得k(a k2 0。k(,k2不全为零，不妨k假设匕=0，则a-b，故a,b平行，即对应分量成比例。如果a,b平行，不妨k1假设存在，使得a二 b，则a -%b二0，于是a,b线性相关。上1 "例3.0线性无关，且任意x = |x2 - R3都可以由其线性表示，且表示方法唯一。事实上,X1-X+ X21+ X3丿

6、b01丿5. 线性相关与无关的性质(1)若一向量组中含有零向量，则其必然线性相关。 证明：设q,a2,q，Rn，其中有一个为零，不妨假设q =0，则0 a10 a" 0 at . 10=0因此，a,a2, ,a线性相关。(2) 若一向量组线性相关，则增添任意多个向量所形成的新向量组仍然线性相 关；若一向量组线性无关，则其任意部分向量组仍然线性无关。证明：设ai,a2,和2，Rn，印总，a线性相关。存在不全为零的数k1, k2, ,kt，使得Ka k2a2 -kta0这样,kicik?a2Kat 0 i 0 -2 0 s = 0ki,k2, ,kt不全为零，因此，ca,a. , -2,

7、's线性相关。后一个结论是前一个结论的逆否命题，因此也正确。(3) 若一个向量组线性无关，在其中每个向量相同位置之间增添元素， 所得到的 新向量组仍然线性无关。证明:设ai,a2,Q Rn为一组线性无关的向量。不妨假设新的元素都增加在向量最后一个分量之后，成为Ci ,"，印，0,鸟，,bt是同维的列向量。令也丿电丿lbt丿aik2a2ktat匕耳+k2a2 + 峠隔' 出E +k?b2 + +kb 丿-0则k1a1 k2a2一隔=0。由向量组aa?, ,a线性相关，可以得到 & = k2 =K = 0。结论得证！(4) 向量组线性相关当且仅当其中有一个向量可以

8、由其余向量线性表示。 证明：设a1,a2 ,a Rn为一组向量。必要性 若印厶，,a线性相关，则存在一组不全为零的数 人也，k，使得k1a1 k2a2g =0ki,k2, ,kt不全为零，设kj =0，则k-q *''+ kj 冋-*kj屮引印 +'+ ktatkj充分性 若即a2,at中某个向量可以表示成其余向量的线性组合，假设 aj可以表示成a1,ajaj “，,q的线性组合，则存在一组数 人，,kjkjkt，使得引二 k-a- 网 Rq也就是k-a- 'kj jaj 二- ajkj -aj -ktat 二 0但k1,kj二,-1,kj -，,kt不全为零，

9、因此，a,a2,at线性无关。【备注2】请准确理解其意思，是其中某一个向量可以由其余向量线性表示，而 不是全部向量都可以。(5) 若a-,a2，,aRn线性无关，b Rn，使得aa?,q,b线性相关，则b可由a1,a2,q线性表示，且表示方法唯一。证明：a1,a2, ,b线性相关，因此，存在不全为零的数 匕也，kt,kt1，使得Ka k2a2 一飞耳匕初=0kt厂0，否则匕1=0，则k-a 我4 飞4=0。由c,a2,a线性无关，我们 就得到匕=k2 =K = 0，这样，k1,k2 ,kt,kt d均为零，与其不全为零矛盾！ 这样，匕厲 +k2a2 + *+ktatb 二kt 1因此，b可由a

10、1, a2 , at线性表示。假设 b = x-i - x2a2 人印二 -y2a2 ytQ，贝U(Xi - y-)a- (X2 - 丫2归2气人 - yjq =0由 a1,a2,Q 线性无关，有 x, - y- =X2 - y2 二二 k -= 0，即xi = %,X2 二 %,人二 yt因此，表示法唯一。【备注3】刚才的证明过程告诉我们，如果向量b可由线性无关向量组ai,at线性表示，则表示法唯一。事实上，向量 b可由线性无关向量组 知,a线性表示,即线性方程组(,at)x=b有解。而q,，a线性无关，即r(a, ,at)二t。因此,若有解，当然解唯一，即表示法唯一。 右线性无关向量组a

11、a2,q可由向量组b|,b2,bs线性表示，则t_s。证明:假设结论不成立，于是t s。 ai, a2 , at可由0山2,bs线性表示。假设印=Xiib X2ib2x/s =(d,b2,bs)a2 =Xi2biX22b2 亠亠Xs2bs =(bi,b2,bs)任取ki,k2,kt，则XiiX21<Xs1 丿X12X22为tX2t印=冷0 +X2Q2 + + Xstbs = (b1,b2, ',bs):kiai k?a2Kat =(ai,a2, ,ajfki、*Xi2illxjk2-(b1,b2,bs)X2iX22川X2tk2+Ia4rfha+4t4<kt<XsiXs

12、2 HIXstlkt由于冷人2X21X22+III 川1I-x1tX2t4i为一个SXt阶矩阵，而tAS，因此，方程组凶Xs2川xst ；%X12IIIXit、X21X22IIIX2tx = 0+*i11I-r hF宀1Xs2IIIXst ；必有非零解，设为 k2 ，于是匕印+k2a2十宀KQ = 0。因此，存在一组不全为+lkt零的数也，,kt,使得k£i kza?-十耳=0。因此，向量组印耳，,越线性相关，这与向量组a,a2,越线性无关矛盾！因此，t乞s。 若两线性无关向量组&月2,越和bi,b2,bs可以相互线性表示，则t = s。 证明：由性质，t <s，sia

13、，因此，s二t。【备注4】等价的线性无关向量组所含向量个数一样。(8)设a,a2, ,at Rn， P为n阶可逆矩阵，则aa2, ，a线性无关当且仅当Pd,Pa2,Pat线性无关。b可由印总，,at线性表示，当且仅当Pb可由Pq, Pa2,Pq线性表示。若可以线性表示，表示的系数不变。 证明：由于P可逆，因此Ka k2a2爲 爲匕越=0二P(Ka k2a2心 圧匕越)=0=ki(Pa) k2(Pa2)飞(PaJ =0k1a1 k2a2 囂 囂ktat =b= P(k1a1 k2a2 - 囂ktq) =b二 k1(Pa1) k2(Pa2)kt(PQ)二 Pb如此，结论得证！6. 极大线性无关组定

14、义1设印忌,q亡Rn，如果存在部分向量组a»，a2,air，使得线性无关； ai,a2,at中每一个向量都可以由aai2,a.线性表示；则称ah,a2,a#为印，a?,a的极大线性无关组。【备注5】 设q,a2, ,at Rn，虫,雹，,虫为其极大线性无关组。按照定义，a1, a2, '',at可由a», ai2,air线性表示。但另一方面， aii, ai2 , air也显然可以由aa2,4线性表示。因此， ai,a2,耳与a»,ai2,air等价。也就是说，任何一 个向量组都与其极大线性无关组等价。向量组的极大线性无关组可能不止一个， 但都与原

15、向量组等价，按照向量组 等价的传递性，它们彼此之间是等价的，即可以相互线性表示。它们又都是线性 无关的，因此，由之前的性质（7），向量组的任意两个极大线性无关组含有相同 的向量个数。 这是一个固定的参数，由向量组本身所决定，与其极大线性无关 组的选取无关，我们称其为向量组的 秩，即向量组的任何一个极大线性无关组所 含的向量个数。【备注6】按照定义，向量组印82,q线性无关，充分必要条件即其秩为t o定义2设q,a2,q Rn，如果其中有r个线性无关的向量aii,ai2",air，但没有 更多的线性无关向量，则称aj%,a为a1,a2 ,at的极大线性无关组，而r为 ai,a2,越的秩

16、。【备注7】 定义2生动地体现了极大线性无关组的意义。 一方面，有r个线性无 关的向量，体现了“无关性”，另一方面，没有更多的线性无关向量，又体现了“极大性”。【备注8】两个定义之间是等价的。一方面，如果 aa2,a.线性无关，且 ai,a2, ",at中每一个向量都可以由 乳，, , a-线性表示，那么， 印?,就没有更多的线性无关向量，否则，假设有，设为b,b,bs， s r。b,b,bs当然可以由a,线性表示，且还线性无关，按照性质（6） , s兰r，这与假设矛 盾！另一方面，假设aii ,ai2, ,air为ai,a2,at中r个线性无关向量，但没有更多 的线性无关向量，任取

17、c,a2,a中一个向量，记为b，则印, ,b线性相 关。按照性质 ，b可有aii, ai2, , air线性表示（且表示方法唯一）。【备注9】设向量组ai,a2,at的秩为r，则其极大线性无关向量组含有r个向量。反过来，其中任何r个线性无关向量所成的向量组也是 a,a2,at的一个极大线 性无关组。这从定义即可得到。6.向量组的秩的矩阵的秩的关系称矩阵A的列向量组的秩为A的列秩，行向量组转置后所得到的列向量组的 秩称为矩阵A的行秩。定理1任意矩阵的秩等于其行秩等于其列秩。证明：设A = （a） Rm n， r （A） = r。将其按列分块为A =,a2,an）。存在m阶可逆矩阵P，使得PA为行

18、最简形，不妨设为n0III0b1,r+1IIIb1,n、1III0¥b2,r 比iIIIb2,nI-PA=(Pai, Pa?,，Pa.)=4V1Rbr ,r 出IIII-br,n00HI00III0川IIIIIIIIIIIIHIHI30HI00III0丿线性无关，且PA中其余列向量都可以由其线性表示，因此,为PA的极大线性无关组，其个数为r，因此,ai,a2< ,ar线性无关，且A中其余列向量均可由其线性表示（且表示的系数不变）。因此，A的列秩 等于A的秩。bi将A按行分块，A=；，则N =山4,，因此，按照前面的结论，A 的行秩为A的秩，而A的秩等于A的秩。至此，结论证明完毕

19、!【备注10证明的过程其实也给出了求极大线性无关组的方法。7. 扩充定理定理2设a1, a2 , a Rn，秩为r， a,aik为其中的k个线性无关的向量,k < r，则能在其中加入ai,a2,a中的（r-k）个向量，使新向量组为aa?,a的 极大线性无关组。证明：如果k = r，则ail, a,2, ,aik已经是q,a?,耳的一个极大线性无关组，无须再 添加向量。如果k汀，则即,qk不是耳包，,q的一个极大线性无关组，于是， 印忌 ,a必有元素不能由其线性表示，设为aik+，由性质（5），向量组 aiai2,ak,aik+线性无关。如果k +1 =r，则aia2,8卄已经是印总，,a

20、的一个极大线性无关组， 无须再添加向量。如果k+Kr，则ail,a2, ；ak a“不是印忌 ,at的一个极大线性无关组，于 是，aa2,q必有元素不能由其线性表示，设为 ak2，由性质，向量组 a , ®k 1.,萤2线性无关。同样的过程一直进行下去，直到得到r个线性无关的向量为止。【备注11】证明的过程其实也给出了求极大线性无关组的方法。只是，这方法 并不好实现。8. 求极大线性无关组并将其余向量由极大线性无关组线性表示求向量组a,a2,Q Rn的极大线性无关组，可以按照下面的办法来实现。 将印总，a合在一起写成一个矩阵A=(a,a2, aj ；(2)将A通过初等行变换化成行阶梯

21、形或者行最简形，不妨设化得的行阶形为'01b12III九b1,r 卅111b!,n '0+b22III b2rk4b2,r + HI“ b2,niAt+0044IIIbrr1br,卄III4br ,n=B，I* M0,i =1,2，,r， r = r(A)0+0III0*0III* 0i+<001III 040 IIIi0 在上半部分找出r个线性无关的列向量，设为ji,j2,jr列，则jl,j2,jr为B列向量组的极大线性线性无关组， 也是A列向量组的极大线性线性无关组， 也 就是a1,a2 at的极大线性无关组。为了在上半部分寻找r个线性无关向量，必须且仅须在上半部分寻找 r阶的 非奇异子矩阵。r阶非奇异子矩阵的列向量组线性无关。显而易见，上面矩阵第1到第r列即