最新中考数学压轴题正方形问题精选解析(二名师精编资料汇编

1、2013 中考数学压轴题正方形问题精选解析( 二)例 3 如图，在边长为6 的正方形 ABCD的两侧作正方形BEFG和正方形DMNK，恰好使得 N、A、F三点在一直线上，连接交线段于点，连接，设正方形的边长为x，正方形MFADPNPBEFGDMNK的边长为 y（ 1）求 y 关于 x 的函数关 系式及自变量 x 的取值范围；（ 2）当 NPF的面积为 32 时，求 x 的值；（3）以 P 为圆心， AP为半径的圆能否与以G为圆心， GF为半径的圆相切？如果能，请求出 x 的值，如果不能， 请说明理由解析 ：（ 1）正方形 BEFG、正方形 DMNK、正方形 ABCD E F 90O ， AE

2、MC， MC NKAE NK， KNA EAFNKKAyy 6 KNA EAF， EA EF ，即x 6 xy x 6（ 0 x 6）（2）由（ 1）知 NK AE， AN AFFPAF正方形 DMNK， AP NM， PM AN 1NKABEGFPMDC ，MNP NPF 32FPPM SSS2S 64正方形 DMNK MNPy 8， x 2（3）连接 PG，延长 FG交 AD于点 H，则 GH ADyyy易知： AP 2， AH x， PH2 x， HG 6； PG AP GF 2 x当两圆外切时yy222222在 Rt GHP中， PH HG PG ，即 (2 x ) 6 (2 x )解

3、得： x 3 33（舍去）或 x 3 3 3当两圆内切时222y22y2在 Rt GHP中， PH HG PG ，即 (2 x ) 6 (2 x )方程无解所以，当 x 333 时，两圆相切例 4 已知：正方形 ABCD的边长为 1，射线 AE与射线 BC交于点 E，射线 AF与射线 CD交于点 F， EAF45°，连接 EF（1）如图 1，当点 E 在线段 BC上时，试猜想线段 EF、 BE、DF 有怎样的数量关系？并证明你 的猜想；（2）设 BEx， DF y，当点 E在线段 BC上运动时（不包括点 B、 C），求 y 关于 x 的函数解析式，并指出 x 的取值范围；（ 3）当点

4、 E 在射线 BC上运动时（不含端点 B），点 F 在射线 CD上运动试判断 以 E 为圆心，以 BE为半径的 E 和以 F 为圆心，以 FD为半径的 F 之间的位置关系；（ 4）如图 2，当点 E在 BC的延长线上时，设 AE与 CD交于点 G问： EGF与 EFA能否相FADAD似？若能相似，求出BE的长，若不可能相似，请说明理由解析：（1）猜想： EF BE DF证明：将 ADF绕点 A顺时针旋转90°，得 ABF，易知点 F 、B、E在同一直线上（如.图 1）AF AFFAE 1 3 2 390° 45° 45°EAF又 AE AE， AFE A

5、FEEF F E BE BF BE DF222（ 2）在 Rt EFC中， EC FC EFEC 1 x， FC 1 y， EFx y222( 1 x ) ( 1 y ) ( x y )F 1 x（ 0 x 1）y1 x（ 3）当点 E 在点 B、C之间时，由（ 1）知 EFBE DF，故此时 当点 E 在点 C时， DF 0， F 不存在 .当点 E 在 BC延长线上时，将ADF绕点 A顺时针旋转90°，得则 AF AF， 1 2， BF DF， FAF90° FAE EAF45°又 AE AE， AFE AFEEF EF BE BF BEDFAD21FBEC图

6、 1E 与 F外切；ABF（如图 2）此时 E与 F 内切综上所述，当点E 在线段 BC上时， E 与 F 外切；当点E 在 BC延长线上时，E 与 F内切（ 4） EGF与 EFA能够相似，只要当此时 CE CF设 BE x，DF y，由（ 3）知 EF x y222在 Rt CFE中， CE CF EF222 ( x 1 ) ( 1 y ) ( x y )x 1y x 1 （ x 1）EFG EAF45° 即可FA2D1Gx 1由 CE CF，得 x 1 1 y，即 x 11 x 1BFCE22（舍去）， x 1 12图 2化简得 x 2x1 0，解得 x12与能够相似，此时BE

7、的长为 1 2EGFEFA例 5 已知：如图，在直角梯形 ABCD中， ADBC， B 90°， AD 2， BC 6， AB 3 E 为BC边上一点，以 BE为边作正方形 BEFG，使正方形 BEFG和梯形 ABCD在 BC的同侧（ 1）当正方形的顶点 F 恰好落在对角线 AC上时，求 BE的长；（ 2）将（ 1）问中的正方形 BEFG沿 BC向右平移， 记平移中的正方形 BEFG为正方形 BEFG，当点E与点C重合时停止平移设平移的距离为t，正方形的边EF与交于点，B EFGACMM，DM是否存在这样的DM是直角三角形？若存在，求出 t 的值；连接 BD，Bt ，使 B若不存在，

8、请说明理由；（3）在（ 2）问的平移过程中，设正方形 B EFG与 ADC重叠部分的面积为 S，请直接写出S与 t 之间的函数关系式以及自变量 t 的取值范围ADAD解析： （ 1）如图，设正方形BEFG的边长为 x则 BE FG BG xAB 3， BC 6， AG ABBG 3xGF BE， AGF ABCADAGGFB3 xxCBF，即GABBC36备用图解得 x 2，即 BE 2C（2）存在满足条件的t ，理由如下：如图，过D作 DH BC于点 H则 BH AD 2， DHAB 3由题意得： BB HE t ， HB | t 2| ， EC4 t 22221在 Rt B ME中， B

9、M B E ME2 ( 2 2EF AB， MEC ABCME ECME4 t1AB BC，即 3 6， ME 2 2t2 2在 Rt DHB 中， BD DH BH 3 ( t 2 )22过 M作 MN DH于点 N1则 MN HEt ， NH ME 2 2 t11DN DHNH 3 ( 2 2 t ) 2 t 1BE图212t ) 4t 2t 8ADG2 2 t 4t 13NBHB图CFMEC在 Rt中， 5 12222DMNDMDNMN4tt222（）若 DB M90°，则 DM BM BD5212220即 4 t t 1 (4t2t 8 ) (t4t 13 ) ，解得 t 7

10、（）若90°，则222BBDBMDMMD21t252 317， t 3 17即 t 4t 13(42t 8 ) (4t t 1 ) ，解得 t120 t 4， t 3 17222（）若 BDM90°，则 BM BD DM即 12t24 13 ) (5t2t 1 ) ，此方程无解2 8(4 ttt4综上所述，当t 20或 3DM是直角三角形AD717 时， B（3）当 0 t4时， S1t2GF34BBHE图C当 4t2时， 1t2 23S8t3当 2t 10时， 3t22t 53S8310 t 4 时， S15AD当2t 32提示：GF当点 F 落在 CD上时，如图FE 2

11、， EC 4 t ， DH 3， HC4FEDH由 FEC DHC，得 EC HC234即 4 t 4， t 3当点 G落在 AC上时，点 G也在 DH上（即 DH与 AC的交点）t 2当点 G落在 CD上时，如图C 6tGB2， B由 ，得GBDHGB CDHCHCB C2310即 6 t 4， t 3当点 E 与点 C重合时， t 4当 0 t 4时， 如图3MF t ， FN 21 tFMN1··112S S 2t2 t 4 t4t 2 时，如图当 3433PF t 3 ， FQ 4 PF 4 t 1BHBEC图ADGMFNBBEC图ADGP FQMNBBEC图1(4)(3322AD FPQt34 t1)tS28t3S SFMN S FPQ 1232 2) 1 t22GPFt (t tt 48383M10Q当 2 t 3 时，如图N111BEC( 6t ) 3 2tBB M2B C2图11GM 2 ( 3 2 t ) 2 t 1梯形 GMNF1(1 11) ×2 1S22 t2tt 梯形 GMNF FPQ (1)(3 2)