心理统计学（7）：单样本t检验ppt课件

1、关于总体平均数的推断统计关于总体平均数的推断统计样本平均数的抽样分布样本平均数的抽样分布 需思索的问题：需思索的问题： 总体方差总体方差2能否知；能否知； 总体能否正态分布；总体能否正态分布； 样本为大样本还是小样本。样本为大样本还是小样本。样本平均数的抽样分布样本平均数的抽样分布2知知 总体方差总体方差2知时知时 假设假设X1，X2，Xn是抽自总是抽自总体体X的一个容量为的一个容量为n的简单随机样本，那的简单随机样本，那么根据样本的一切能够察看值计算出的么根据样本的一切能够察看值计算出的样本均值的分布，称为样本均值的抽样样本均值的分布，称为样本均值的抽样分布。分布。样本均值的抽样分布样本均值

2、的抽样分布2知知 正态总体、正态总体、 2知时知时 设设X1，X2，Xn是抽自正态是抽自正态分布总体分布总体XN(, 2)的一个容量为的一个容量为n的简的简单随机样本，那么其样本均值也是一个单随机样本，那么其样本均值也是一个正态分布随机变量，且有正态分布随机变量，且有样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布正态总体、正态总体、 2知时知时XXE)(nXDX22)(),(2nNX)1 , 0(/2NnXZ样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布2知知 非正态总体、非正态总体、知时知时 设总体设总体X的均值的均值和和2，当样本容量，当样本容量趋向无穷大时，样本均值的抽样分布趋趋向无穷大时，样本均值的抽样分

3、布趋于正态分布，且样本均值的数学期望和于正态分布，且样本均值的数学期望和方差分别为方差分别为XXE)(nXDX22)(样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布2未知未知 正态总体、总体方差正态总体、总体方差未知时未知时 设设X1，X2，Xn是抽自正态是抽自正态分布总体分布总体XN(,2)的一个容量为的一个容量为n的简的简单随机样本，那么有单随机样本，那么有 其中其中1/ntnSXt1)(12nXXSniit 分布分布 t分布分布(t-distribution)是一延续型分布，其密度是一延续型分布，其密度函数为：函数为： t分布的数学期望和方差分别为：分布的数学期望和方差分别为： E(t)=0 和和

4、 D(t)=n/(n-2) 2122121)(nntnnntft 分布的特征分布的特征 t 分布与正态分布的类似之处：分布与正态分布的类似之处： t 分布基线上的分布基线上的t值从值从；从平均数等于从平均数等于0处，左侧处，左侧 t 值为负，右侧值为负，右侧 t 值为值为正；正；曲线以平均数处为最高点向两侧逐渐下降，尾曲线以平均数处为最高点向两侧逐渐下降，尾部无限延伸，永不与基线相接，呈单峰对称形。部无限延伸，永不与基线相接，呈单峰对称形。区别之处在于：区别之处在于： t 分布的形状随自在度分布的形状随自在度df=n-1的变化呈一的变化呈一簇分布形状即自在度不同的簇分布形状即自在度不同的 t

5、分布形状也不分布形状也不同。同。自在度逐渐增大时，自在度逐渐增大时，t 分布逐渐接近正态分布。分布逐渐接近正态分布。自在度自在度 自在度自在度(degree of freedom)是指总体参数是指总体参数估计量中变量值独立自在变化的个数。估计量中变量值独立自在变化的个数。例题例题 从一零售商店全年的帐目中随机抽取从一零售商店全年的帐目中随机抽取25天的帐目，计算出这天的帐目，计算出这25天的平均零售额天的平均零售额为为780元，元，S为为100元。假设知该店的日零元。假设知该店的日零售额服从正态分布，全年的平均日零售售额服从正态分布，全年的平均日零售额为额为825元，问：随机抽取元，问：随机抽

6、取25天帐目，其天帐目，其平均零售额不到平均零售额不到780元的概率是多少？元的概率是多少？样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布2未知未知 非正态总体、总体方差非正态总体、总体方差2未知时未知时 当总体为非正态分布时，假设总体当总体为非正态分布时，假设总体方差未知，样本为大样本，可以利用方差未知，样本为大样本，可以利用 t 分布或正态分布近似求解；样本为小样分布或正态分布近似求解；样本为小样本时无解。本时无解。例题例题 某总体总体均值为某总体总体均值为80，总体分布方式及，总体分布方式及方差未知。从该总体中抽取一容量为方差未知。从该总体中抽取一容量为64的样本，得出的样本，得出 S = 2。问

7、当。问当 n = 64 时，样时，样本均值大于本均值大于80.5的概率是多少？的概率是多少？样本均值的抽样分布小结样本均值的抽样分布小结表示图总体均值的区间估计总体均值的区间估计待估待估参数参数知条件知条件 置信区间置信区间 备注备注 XN(,2)，或非，或非正态总体、大样本，正态总体、大样本，知知XN(,2)，或非，或非正态总体、大样本，正态总体、大样本，未知未知自在度自在度df=n-1nZX2nStX2例题例题 某种零件的长度服从正态分布。知总体某种零件的长度服从正态分布。知总体规范差规范差=1.5厘米。从总体中抽取厘米。从总体中抽取200个个零件组成样本，测得它们的平均长度为零件组成样本

8、，测得它们的平均长度为8.8厘米。试估计在厘米。试估计在95%置信程度下，全置信程度下，全部零件平均长度的置信区间。部零件平均长度的置信区间。例题例题 上例中，假设知该批零件共有上例中，假设知该批零件共有2000件，件，抽样方式采用不放回抽样，求该批零件抽样方式采用不放回抽样，求该批零件平均长度的置信程度为平均长度的置信程度为95%的置信区间。的置信区间。例题例题 为了制定高中生体锻规范，某区教育局为了制定高中生体锻规范，某区教育局在该区高中生中随机抽取在该区高中生中随机抽取36名男生检验名男生检验100米短跑成果。结果这些男生的平均成米短跑成果。结果这些男生的平均成果为果为13.0秒，秒，S

9、为为1.2秒。试估计在秒。试估计在95%置置信程度下，全区高中生信程度下，全区高中生100米跑的平均成米跑的平均成果。果。总体均值的假设检验总体均值的假设检验知条件知条件假设假设检验统计量检验统计量H0的回绝域的回绝域XN(,2)，或非，或非正态总体、正态总体、大样本，大样本，知知H0:0H1:0|Z|Z/2 H0:0H1:0 ZZ H0:0H1:0 ZZ XN(,2)，或非，或非正态总体、正态总体、大样本，大样本，未知未知 H0:0H1:0 自在度自在度df= n-1|t|t/2H0:0H1:0 ttH0:0H1:0 ttnXZ/0nSXt/0双侧检验与单侧检验双侧检验与单侧检验 双侧检验双

10、侧检验two-tailed test，two-sided test：零假设为无显著差别的情况；：零假设为无显著差别的情况； 左侧检验左侧检验left-tailed test：零假设为：零假设为大于等于的情况；大于等于的情况； 右侧检验右侧检验right-tailed test ：零假设：零假设为小于等于的情况。为小于等于的情况。例题例题某车间消费的铜丝的折断力服从正态某车间消费的铜丝的折断力服从正态分布，其平均折断力为分布，其平均折断力为570公斤，规范差公斤，规范差为为8公斤。公斤。现由于原料改换，虽然以为规范差不现由于原料改换，虽然以为规范差不会有什么变化，但不知道平均折断力能会有什么变化

11、，但不知道平均折断力能否与原先一样。否与原先一样。重新消费的铜丝中抽取重新消费的铜丝中抽取16个样品，测个样品，测得其平均折断力为得其平均折断力为574公斤。公斤。问：能否以为平均折断力无显著变化？问：能否以为平均折断力无显著变化？例题例题 某区初三英语检验平均分数为某区初三英语检验平均分数为65，该区，该区某校某校25份试卷的平均分数和规范差分别份试卷的平均分数和规范差分别为为70和和10。问该校初三英语平均分数与。问该校初三英语平均分数与全区能否一样？全区能否一样？例题例题 某市调查大学生在家期间平均每天用于某市调查大学生在家期间平均每天用于家务劳动的时间。某教授以为不超越家务劳动的时间。某教授以为不超越2小小时。随机抽取时。随机抽取100名学生进展调查的结果名学生进展调查的结果为：平均时间为：平均时间1.8小时，方差小时，方差1.69。问：。问：调查结果能否支持该教授的看法？调查结果能否支持该教授的看法？错误的概率错误的概率 假设真实的总体平均数假设真实的总体平均数00，回绝区，回绝区域在左侧时域