商品利润最大问题

1、2.4二次函数的应用第2课时商品利润最大问题1 应用二次函数解决实际问题中的最 值问题；(重点)2应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值.(难点)一、情境导入kJ某商店经营T恤衫，已知成批购进时单 价是25元根据市场调查，销售量与销售 单价满足如下关系： 在一段时间内，单价是 135元时，销售量是 500件，而单价每降低 10元，就可以多售出200件请你帮忙分析， 销售单价是多少时，可以获利最多？二、合作探究探究点一：商品利润最大问题【类型一】 利用二次函数求实际问题 中的最大利润函数关系式；(2)直接用销售单价乘以销售 量等于14000,列

2、方程求得销售单价；(3)设一个月内获得的利润为w元，根据题意得w = (x- 40)( 4x+ 480),然后利用配方法求 最值.解：(1)销售单价为x元，则销售量减少x60X 20,故销售量为 y= 24060X 2055=4x+ 480(x> 60)；(2) 根据题意可得x( 4x + 480)= 14000,解得X1 = 70, x2= 50(不合题意，舍 去)，故当销售价为 70元时，月销售额为 14000 元；(3) 设一个月内获得的利润为 w元，根 据题意得 w = (x 40)( 4x+ 480) = 4/ + 640x 19200= 4(x 80)某体育用品店购进一批单价

3、为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套，根据销售经验，提高 销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少 20套设销 售单价为x(x>60)元时，销售量为y套. 求出y与x的函数关系式； 当销售单件为多少元时，月销售额为 14000 元？ 当销售单价为多少元时，才能在一个 月内获得最大利润？最大利润是多少？解析：(1)由销售单价为x元得到销售减 少量，用240减去销售减少量得到 y与x的+ 6400.当 x= 80 时，w有最大值，最大值为 6400.所以，当销售单价为80元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是6400元.方法总结：先得

4、到二次函数的顶点式 y =a(x h)2+ k，当 a v 0，x= h 时，y 有最大 值k;当a>0，x= h时，y有最小值k.变式训练：见学练优本课时练习“课 堂达标训练”第7题涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到 盈利的过程右面的二次函数图象(部分)刻 画了该公司年初以来累积利润w(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润 总和w和销售时间t之间的关系).根据图 象提供的信息，解答下列问题：(1) 由图象上已知的信息，求累积利润 W (万元)与销售时间t(月)之间的函数关系式;（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；（3）求第8个月公司所获利润是多少万 元.

5、解析：（1）本题是通过构建函数模型解答 销售利润的问题，应根据图象以及题目中所 给的信息来列出 w与t之间的函数关系式；1 2（2）把w = 30代入累计利润 w = Tt 2t的函 数关系式里，求得月份；（3）分别将t = 7, t =8代入函数解析 w= 2|82 2X 8 = 16.16 10.5= 5.5（万兀）.所以，第8个月公司所获利润是5.5万元.方法总结：此题主要考查了二次函数的 性质在实际生活中的应用，首先要吃透题 意，确定变量，建立函数模型，尤其是对本 题图象中所给信息的理解是解决问题的关 键. 2t，再把总利润 相减就可得出.解：（1）由图象可知其顶点坐标为（2, 2），

6、故可设其函数关系式为w = a（t 2）2 2.v所求函数关系式的图象过 （0, 0），于是 得a（0 2）2 2= 0,解得a = 函数关系式1 2 1 2为 w = 2（t 2）2 2, 即 w = 2一2t.所以，累积利润w与销售时间t之间的 函数关系式为 w = |t2 2t;1 21 2（2）把w = 30代入w =尹2t, 得尹 2t = 30.解得t1= 10, t2 = 6（不合题意，舍 去）.所以，截止到10月末公司累积利润可 达30万元；1 2（3）把t = 7代入关系式，得w =寸7 12X 7 = 10.5,把t= 8代入关系式，得w =【类型二】 综合运用一次函数和二

7、次 函数求最大利润020 40 60宿松超市以每件20元的价格进购一批商品，试销一阶段后发现，该商品每天 的销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关 系如图（20W xw 60）.（1）求每天销售量 y（件）与售价x（元/件） 之间的函数关系式；若该商品每天的利润为 w（元），试确 定w（元）与售价x（元/件 ）之间的函数关系式， 并求售价x为多少时，每天的利润 w最大， 最大利润是多少？解析：（1）当 20w x< 40 时，设 y= ax+ b, 当40vxw 60时，设y= mx+ n,利用待定 系数法求一次函数解析式即可；（2）利用（1）中所求进而得出 w （元）与售价x（元

8、/件）的函 数表达式，进而求出函数最值.解：（1）分两种情况：当 20w xw 40时，20a+ b= 40,设y = ax+ b,根据题意，得*解40a+ b= 60,得 F= 1， 故 y= x+ 20；当 40v xw 60 时,b= 20,设y= mx+ n,根据题意,40m+ n= 60,60m + n= 20 ,m = 2, 解得彳故y= 2x+ 140.n= 140,故每天销售量y(件)与售价x(元/件)之间 的函数表达式是 y =x+ 20 ( 20w xw 40),、一2x+ 140 (40V xw 60)；(2)w=错误！当 20 W xW 40 时，w = x2 400,

9、由于1 >0，因而抛物线开口向上，且x> 0时w随x的增大而增大，又 20W xW 40,因此当x= 40时，w 有最大值，w最大值=40 400 =1200 ;当 40v xW 60 时，w = 2x2+ 180x2800 = 2(x 45)2 + 1250，由于2< 0, 抛物线开口向下，又40< xW 60,所以当x=45时，w有最大值，w最大值=1250.综上所述，当 x= 45时，w最大值=1250. 所以，售价为45元/件时，每天的利润 最大，最大利润是 1250元.方法总结：一次函数与二次函数的综合 应用问题主要解决的是图象与性质的问题 或生活中的实际应用

10、问题.变式训练：见学练优本课时练习“课 后巩固提升”第2题【类型三】 利用表格信息求最大利润 当 x= 45 时，y 最大=2X 452+ 180X 45 + 2000= 6050 ;当 50W xW 90 时，y= 120x+ 12000, y随x的增大而减小，当x= 50时， y 最大=6000.综上所述，销售该商品第 45天时，当 天销售利润最大，最大利润是6050元.方法总结：本题考查了二次函数的应 用，读懂表格信息、理解利润的计算方法， 即利润=每件的利润 X销售的件数，是解决 问题的关键.三、板书设计商品利润最大问题1禾U用二次函数求实际问题中的最大 利润2 综合运用一次函数和二次

11、函数求最 大利润3利用表格信息求最大利润114某商店经过市场调查，整理出某种商品在第 x(1 W xW 90)天的售价与销量的相关信息如下表:时间x(天)1 W x< 5050W xW 90售价(元/件)x+ 4090每天销量(件)200 2x已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天的利润为 y元.(1) 求出y与x的函数关系式；(2) 问销售该商品第几天时，当天销售利 润最大，最大利润是多少？解析：分1W x< 50和50W xW 90两 种情况进行讨论，利用利润=每件的利润 X销售的件数，即可求得函数的解析式；(2)利用(1)得到的两个解析式，结合二次函数与 一次函数的性

12、质分别求得最值，然后两种情 况下取最大的即可.解：(1)当 1W x< 50 时，y= (200 2x)(x + 40 30) = 2x2 + 180x + 2000 ;当 50W xW 90 时，y = (200 2x)(90 30)= 120x+12000.综 上 所 述， y =2x2+ 180x+ 2000 (1 W x< 50),、120x+ 12000 (50W xW 90);2(2)当 1W x< 50 时，y= 2x + 180x+ 2000 ,二次函数开口向下，对称轴为x= 45,本节课是在学习了二次函数的概 念、图象及性质后，应用二次函数的 最大值解决销售

13、问题的最大利润问 题.本节课的设计力求通过创设问题 情境，有计划、有步骤地安排好思维 序列，使学生的思维活动在“探索 发现”的过程中充分展开，力求 使学生经历运用逻辑思维和非逻辑思 维再创造的过程，整个教学过程突出 知识的形成与发展的过程，让学生既 获得了知识又发展了智力，同时提升 了能力.别想一下造出大海，必须先由 小河川开始。成功不是只有将来才有，而是从决定 做的那一刻起，持续积累而成！人若软弱就是自己最大的敌人，人若 勇敢就是自己最好的朋友。成功就是每天进步一点点！如果要挖井，就要挖到水出为止。即使爬到最高的山上，一次也只能脚 踏实地地迈一步。今天拼搏努力，他日谁与争锋。在你不害怕的时候

14、去斗牛，这不算什么；在你害怕的时候不去斗牛，这没 什么了不起；只有在你害怕的时候还 去斗牛才是真正的了不起。行动不一定带来快乐，但无行动决无快乐。只有一条路不能选择 - 那就是放弃之 路；只有一条路不能拒绝 - 那就是成长 之路。坚韧是成功的一大要素，只要在门上 敲得够久够大声，终会把人唤醒的。只要我努力过，尽力过，哪怕我失败 了，我也能拍着胸膛说： "我问心无愧。用今天的泪播种，收获明天的微笑。人生重要的不是所站的位置，而是所 朝的方向。弱者只有千难万难，而勇者则能披荆 斩棘；愚者只有声声哀叹，智者却有 千路万路。坚持不懈，直到成功！最淡的墨水也胜过最强的记忆。凑合凑合，自己负责。

15、有志者自有千计万计，无志者只感千 难万难。我中考，我自信！我尽力我无悔！听从命运安排的是凡人；主宰自己命运的才是强者；没有主见的是盲从， 三思而行的是智者。相信自己能突破重围。努力造就实力，态度决定高度。把自己当傻瓜，不懂就问，你会学的 更多。人的活动如果没有理想的鼓舞，就会 变得空虚而渺小。安乐给人予舒适，却又给人予早逝；劳作给人予磨砺，却能给人予长久。眉毛上的汗水和眉毛下的泪水，你必须选择一样！若不给自己设限，则人生中就没有限制你发挥的藩篱。相信自己我能行！任何业绩的质变都来自于量变的积累。明天的希望，让我们忘了今天的痛苦。世界上最重要的事情，不在于我们身 在何处，而在于我们朝着什么方向走

16、。爱拼才会赢努力拼搏，青春无悔！脚踏实地地学习。失去金钱的人损失甚少，失去健康的 人损失极多，失去勇气的人损失一切。在真实的生命里，每桩伟业都由信心 开始，并由信心跨出第一步。旁观者的姓名永远爬不到比赛的计分板上。觉得自己做的到和不做的到，其实只 在一念之间。人的才华就如海绵的水，没有外力的 挤压，它是绝对流不出来的。流出来 后，海绵才能吸收新的源泉。没有等出来的辉煌；只有走出来的美 丽。我成功，因为我志在成功！记住！只有一个时间是最重要的，那 就是现在。回避现实的人，未来将更不理想。昆仑纵有千丈雪，我亦誓把昆仑截。如果我们想要更多的玫瑰花，就必须 种植更多的玫瑰树。没有热忱，世间将不会进步。

17、彩虹总在风雨后，阳光总在乌云后， 成功总在失败后。如果我们都去做我们能力做得到的 事，我们真会叫自己大吃一惊。外在压力增强时，就要增强内在的动 力。如果有山的话，就有条越过它的路。临中考，有何惧，看我今朝奋力拼搏 志！让雄心与智慧在六月闪光！成功绝不喜欢会见懒汉，而是唤醒懒 汉。成功的人是跟别人学习经验，失败的 人是跟自己学习经验。抱最大的希望，为最大的努力，做最 坏的打算。欲望以提升热忱，毅力以磨平高山。向理想出发！别忘了那个约定！自信 努力坚持坚强！拼搏今朝，收获六月！成功就是屡遭挫折而热情不减！我相信我和我的学习能力！生活之灯因热情而点燃，生命之舟因 拼搏而前行。好好使用我们的大脑，相信

18、奇迹就会 来临！我们没有退缩的选择，只有前进的使 命。明天是世上增值最快的一块土地，因 它充满了希望。好好扮演自己的角色，做自己该做的 事。在世界的历史中，每一位伟大而高贵 的时刻都是某种热情的胜利。困难，激发前进的力量；挫折，磨练 奋斗的勇气；失败，指明成功的方向拥有梦想只是一种智力，实现梦想才 是一种能力。什么都可以丢，但不能丢脸；什么都 可以再来，唯独生命不能再来；什么 都可以抛去，唯有信仰不能抛去；什 么都可以接受，唯独屈辱不能接受。今朝勤学苦，明朝跃龙门。成功是别人失败时还在坚持。踏平坎坷成大道，推倒障碍成浮桥， 熬过黑暗是黎明。每天早上醒来后，你荷包里的最大资 产是 24 个小时。 -你生命宇宙中尚未 制造的材料。我奋斗了，我无悔了。此时不搏何时搏？全力以赴，铸我辉 煌！别想一下造出大海，必须先由小河川 开始。成功不是只有将来才有，而是从决定 做的那一刻起，持续积累而成！人若软弱就是自己最大的敌人，人若 勇敢就是自己最好的朋友。成功就是每天进步一点点！如果要挖井，就要挖到水出为止。即使爬到最高的山上，一次也只能脚 踏实地地迈一步。今天拼搏努力，他日谁与争锋。在你不害怕的时候