第五节对坐标的曲面积分PPT课件

1、第五节第五节 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分第五节第五节 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分一一.对坐标的曲面积分的概念与性质对坐标的曲面积分的概念与性质曲面的方向双侧曲面有两个侧面，任意规定一个侧面为正侧，另一个侧面便是负侧- 为非封闭曲面:由曲面上法向量的方向来确定正负侧.为封闭曲面: 一般外侧为正侧,内侧为负侧.这种取定了法向量也就确定了侧的曲面叫有向曲面例如:曲面x=x(y,z),如果法向量指向前,则确定前侧为正侧,后侧为负侧例: 流体的流量设不可压缩流体(设=1)稳定流动,其流速为 v v(x,y,z)=P(x,y,z)i i+Q(x,y,z)j j+R(x,y,z)k k,其中P(

2、x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在有向曲面上连续,求单位时间内流过曲面正侧的流量.如果是平面,面积为S,流速v v=Pi i+Qj j+Rk k为常向量kjincoscoscos0分别在yoz,zox,xoy面上的投影则SS)cos(|)(00nv,vnv为的单位法向量其坐标表示式SRkQjPi)coscos(cos)(kjiSRSQSPcoscoscosxyzxyzSRSQSP一般情况, 是曲面,v的大小和方向都变化.将任意分成n个子曲面,iSxyiS,zxiS,yziSiS在yoz,zox,xoy面上的投影分别为iS上任取一点),(iiiiM在该点的单位法向量为0iniii

3、iiiS0),(nviiiiiiiiiiiiiSRQPcos),(cos),(cos),(xyiiiSS,cos,cos,zxiiiSS,cos,yziiiSS设R(x,y,z)是定义在有向曲面上的有界函数,定义xyiiiniiSR,1),(作和式 nixyiiiizxiiiiyziiiiSRSQSP1,),(),(),(nixyiiiizxiiiiyziiiidSRSQSP1,0),(),(),(lim其中d为n个子曲面的最大直径的单位法向量为,0n将任意分成n个子曲面,iSiS在xoy面上的投影为,xyiS上任取一点iS),(iiixyiiiniidSR,10),(limdxdyzyxR)

4、,(R(x,y,z)在有向曲面上对坐标x,y的曲面积分(第二类)同理P(x,y,z), Q(x,y,z)在有向曲面上对坐标y,z和z,x的曲面积分为zxiiiniidSQ,10),(limdzdxzyxQ),(yziiiniidSP,10),(limdydzzyxP),(2)如果f(x,y,z)在曲面上连续，则曲面积分存在(1)若是封闭曲面，则上述积分记为dxdyzyxR),(注:(3) 常见组合积分RdxdyQdzdxPdydz(例如流量)(4) 基本性质与第一类曲面积分类似,两类积分的最主要 的区别为dxdyzyxR),(dxdyzyxR),(对第二类曲面积分,必须注意曲面所取的侧二、对坐

5、标的曲面积分的计算法二、对坐标的曲面积分的计算法化成的投影区域上的二重积分(1) 设的方程为: z=z(x,y) ,在xoy面上的投影为xyDz(x,y) 在 上有一阶连续偏导数,xyD可以证明:(2). 设的方程为: x=x(y,z)注意： 取上侧时为正号; 取下侧时为负号.注意： 取前侧时为正号; 取后侧时为负号.dxdyzyxR),(xyDdxdyyxzyxR),(,dzdxzyxQ),(dydzzyxP),(yzDdydzzyzyxP,),(3). 设的方程为: y=y(z,x)zxDdzdxzxzyxQ),(,注意： 取右侧时为正号; 取左侧时为负号. 例1 计算xyzdxdy解其中

6、为1222zyx外侧在0, 0yx的部分212221:yxz上侧2211:yxz下侧21两者的投影域相同,为)0, 0( 1:22yxyxDxy2xyzdxdy1xyzdxdyxyzdxdyxyxyDDdxdyyxxydxdyyxxy)1(12222xyDdxdyyxxy22121023012sin2drrrd152例2 计算流速为 v = v = x,2y,3z的不可压缩流体在单位时间内穿过 表面外侧的流量)0(222azzyx设=1解则流量zdxdyydzdxxdydz32zdxdyydzdxxdydz32132(1) 求xdydz1321221:yzx后侧222:yzx前侧上侧az :3

7、在yoz面上的投影为零两者的在yoz面上投影域同为azzyzDyz0 ,:xdydz13xdydz2xdydz1xdydz2xdydz1xdydzyzyzDDdydzyzdydzyz)222232322adydzyzyzD(2).同理32322aydzdx(3).433333zdxdyzdxdyzdxdy:3z=a 上侧224:yxz下侧投影域都是222:ayxDxyxyxyDDdxdyyxadxdy2233330220333adrrdaa由(1),(2),(3)得33212 a在第四卦限部分的上侧为平面为连续函数其中，例1,dd ),(dd ),(2dd ),(. 3zyxfyxzzyxfx

8、zyzyxfzyxzyxfyxzzyxfxzyzyxfzyxzyxfdd ),(dd ),(2dd ),(dScos)(cos)2(cos)(zfyfxfDzfyfxfd)()2()(31Dzyxd)(3121三三 高斯公式高斯公式空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系定理 (高斯定理) 设函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在空间闭区域上具有一阶连续偏导数,则:RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(其中是的边界曲面外侧高斯公式证 设闭区域在 xoy 面上的投影域为xyD边界曲面与平行于 z 轴的直线相交不多于两点,则分成上下两曲面),(:22

9、yxzz 上侧),(:11yxzz 下侧21xyD xyDyxzyxzdxdydzzRdvzR),(),(21xyDdxdyyxzyxRyxzyxR),(,),(,1212),(),(dxdyzyxRdxdyzyxR由曲面积分计算法dxdyzyxR),(PdydzdvxPQdzdxdvyQ同理RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(三式相加如果曲面与平行于 z 轴的直线相交多于两点,则将分成小块,利用区域的可加性易证.注意:对于闭曲面上的第二类曲面积分,利用高斯公式化成三重积分计算简便.例1.(上节例题2)zdxdyydzdxxdydz32高斯公式dv)321 (326aV例2 dxdyxyzdzdxyzxdydzzxy)()()(222222为)0(222azyxz下侧解非封闭曲面,不能直接用高斯公式,可以加辅助曲面:1)()()(222222dxdyxyzdzdxyzxdydzzxydvyx) 122(dv24a21:az 上侧1)()()(222222dxdyxyzdzdxyzxdydzzxy1)(22dxdyxyzxyDdxdyxya)(222423adxdyxyzdzdxyzxdydzzxy)()()(22222244423211aaa).(:. 1)(lim), 0()(0ddedd)(dd)(,0. 302xfxfxfyxzxzx