数列求和及极限

1、数列求和及极限【知识及方法归纳】1、 数列求和主要有以下几种常见方法：( 1 ) 公式法； ( 2) 通项转移法； ( 3) 倒序相加法；( 4) 裂项相消法； ( 5)错项消法； ( 6)猜想、证明 ( 数学归纳法 ) 。2、 能运用数列极限的四则运算法则求数列的极限；求无穷等比数列各项的和。【学法指导】1、在公式法求和中，除等差、等比的求和公式外，还应掌握自然数方幕数列的求和公式，如：12 +22+ 3 2 + +n2= n(n 1 )62n 1) ； 2、对于形式比较复杂而又不能直接用公式求和的数列，可通过对数列通项结构特点的分析研究，将2 其分解为若干个易求和的新数列的和、差； 3、将

2、一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项易求和，这样的数列常用倒序相加，如课本中等差数列的求和公式就是用这种办法得到；4、利用裂项变换改写数列的通项公式，通过消去中间项达到求和的目的；5、若通项是由一个等差数列与一个等比数列相乘而得的数列，其求和的方法类似于推导等比数列前n 项和公式的方法，通过乘于等比数列的公比，在错位相减，转化为等比数列的求和问题；6、通过对 Si、S2、 S3 进行归纳，分析，寻求规律，猜想出Sn，然后再用数学归纳法给予证明。【典型例题】例 1 求和： 12 + 3 2 + 5 2+ +(2 n-1)2【分析】这是一个通项为( 2n -1) 2

3、 的数列求前 n 项和，对通项公式展开可得：an = 4n 2 ? 4n ? 1 ,所以对原数列求和分解为3 个新数列求和，可用方法2 求和。【简解】 + 3 2+ 5 2 + (2n 1 )2=( 4*1 2 -4*11 ) + (4? 22 4? 21)+ (4n 2 4n1) =4( 1 +2 +3 + n ) T ?( 1+2+3+ + n)+n=4 。n(n 1)(2 n 1) n(n 1)n(2n 1)(2 n 1)- A ?-十 n -小求和：1 7 - - 10+ 3n _25 25 1255n°【分析】 这是一个通项为 这是一个通项为豎 2 的数列求前 n 项和，观

4、察通项，不难发现它是一个等差数列5与一个等比数列的积，可用方法5 求和。命- 等=1+ 3 （1 寺和 说）1n J.32=1+ 33n 2卜詈，所以 =35 12n75n51-516? 5n， 的前 n 项和2 2 212 22 32【分析】先写出此数列的通项an 二一一 -2n 1 6（丄'nnT ，它属n(n -1)(2n1) n(n 1)12 +22n2于用方法 4, 即裂项求和。【简解】（因为 "1严 7= 册罟矿盘 ）=61 冷，所以鋅 61-2）+( 丄-1) +?+( 丄一丄 ) =Jn 。2 3n n 1n 1例 4 若 an = (-1) n(5n -3)

5、 ，求 Sn【分析】由于所求的和Sn 与 n 的奇偶有关，所以按n 的奇偶分两类分别求和。【简解】 Sn = - +7 -12+17T22+27 -+(1)n(5n3) , 当 n 为奇数时， S n = (n 咗七 n+3= 5n “当 n 为偶数时 , = = 5n。例 5在等比数列 an中，lim = （ a1 a2 ? a3 亠亠 an ）=丄，则 a1 的取值范围是多少 ?4【分析】无穷等比数列的各项和是指前n 项和的极限 lim。当 |q| v 1 时， lim = 空；当 |q|1 q>1 时，这一极限不存在。即在无穷等比数列中,|q| v 1 ( qz 0) 是 lim

6、存在的充要n 条件。所以特别要注意公式S= lim =的含义及适用范围。因此由虫冷可得 :n： ：1iqq=1-4 a ., 因为 Ov |q| v 1 ,-q【简解】得 a1 的取值范围是（ 0 ,1 ）U（， 1）。41【复习练习】一、选择题1、等差数列 an、 bn的前 n 项和分别为与所以Ov |1-4a 1 V 1, 即： 0v a1 v g.62、等差数列 an的前 m 项和为 30, 前 2m项和为 100 , 则它的前 3m 项和为A、130B、 170C、210D、 2603、等比数列 an中 ,a1> 1, 且前 n 项和 Sn 满足 lim = 丄，则 a1 的取值

7、范围是（）A、（ 1、+ a）B、（ 1、4）C、( 1、 2)4、根据时常调查结果，预测某种家用商品从年初开始的几个月内累积的需求量Sn ( 万件 )近似地满足 =卫（21 n _n2 _5） （ n=1 ,2， ， 12 ）。按此预测，在本年度内，需求量超过901.5 万件的月份是A、5 月、6 月B、6 月、7 月C、7 月、8 月D、8 月、9 月5、若一个等差数列的前3 项的和为 34, 最后 3 项的和为 146 ，且所有项的和为390 , 则这 （ ）个数列有A、13 项B、12 项C、 11 项D、 10 项二、填空题n 11、设 a > 1, 贝 U lim-ann?1

8、n1 a2、已知等差数列> 0, 盼三品匕, 则 lim =an的公差 d >0，首项 a1n JPC3、已知等比数列 a n ( an ?R),a1+a2=9,( n=1 、a1 *a2 *a 3 =27 ，且 Sn = a 1 a 2 a3亠 亠 an4、设 ov a< b, 则 nm4b nan-bn5、若数列 a n的通项1(n? N),nim： （ a1 an ） =为n(n 1)2 ），则n m三、解答题1、已知数列寻每 ,8n22 ,Sn 为其前 n 项的和，计算得 S1 = - ,1 ? 33 ?5(2n-1 ) 2(2 n 1) 29S2 = 24，S3=

9、49，S4= 81。观察上述结果，推测计算Sn 的公式，并用数学归纳法证明。2、设数列 a.的前 n 项和为 Sn，若对所有的正自然数n, 都有 Sn= n(ai an ) 。证明： a .是等差数列。3、 an是正数组成的数列，前 n 项和为 Sn，且对所有 n ?N“，an 与 2 的等差中项等于 Sn 与 2的等比中项。 ( 1) 写出数列 an的前 3 项； ( 2) 求数列 an 的通项公式 ( 写出推 证过程 ) ；( 3)令 bn = 1 (+) ( n ? N ), 求 Iim(b i + b 2+ + b n - n) 。2 a n an4ilg Sn +lg S n io4、 设 an是正数组成的等比数列，前 n 项和为 Sn。 ( 1)证明：一 2 一 < lg S n 1 ； ( 2)是否存在常数 c> 0, 使得Ig(SnQ ；g(S22 = Ig(Sn 1_c) 成立？并证明你的结论。5、 设 a为等比数列， T= na(1)a2an_( ? a , 已知