数值分析试题及答案

1、数值分析试题一、填空题（ 2 0 ×2）1.322A1, X23设 x=0.231 是精确值 x*=0.229 的近似值，则 x 有2位有效数字。2. 若 f ( x)= x7 x3 1 ， 则f 20,2 1,22,2 3 ,2 4,2 5,2 6,2 7= 1，f 2 0,2 1,2 2,2 3 ,2 4,2 5,2 6,2 7,2 8=0。3. 设， A_5 _ ， X_ 3_ ， AX _15_ _ 。4.非线性方程 f ( x)=0 的迭代函数 x= ( x) 在有解区间满足 | ( x)| <1，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。5.区间 a, b 上的三

2、次样条插值函数S( x) 在 a, b 上具有直到 2阶的连续导数。6.当插值节点为等距分布时， 若所求节点靠近首节点， 应该选用等距节点下牛顿差商公式的前插公式，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的后插公式；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的拉格朗日插值公式。n7.拉格朗日插值公式中 f ( xi ) 的系数 ai ( x) 的特点是： ai ( x )1；所以当系数 ai ( x)i 0满足ai ( x)>1，计算时不会放大 f ( xi ) 的误差。8.要使20 的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取 4位有效数字。9. 对任意初始向量 X(0) 及

3、任意向量 g，线性方程组的迭代公式 x( k +1)=Bx( k) +g( k=0,1, ) 收敛于方程组的精确解 x* 的充分必要条件是(B)<1。10.由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是5。x00.511.522.5y fx)-2-1.75-10.2524.25= (11.牛顿下山法的下山条件为|f(xn+1)|<|f(xn)|。12.线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i(i=0,1,n来实现的，其中的残差r i ,)(b-ax-ax -a x)/aii(=0,1, , )ii11i22in n， in 。13.在非线性方程 f ( x)=0使用各种切线法迭代求

4、解时，若在迭代区间存在唯一解，且f ( x) 的二阶导数不变号，则初始点x0的选取依据为 f(x0)f”(x0)>0。14.使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、选取初值、迭代计算。二、判断题（ 10× 1）、 若 A 是 n 阶非奇异矩阵，则线性方程组AX b 一定可以使用高斯消元法求解。(×)12、 解非线性方程 f ( x)=0 的牛顿迭代法在单根 x* 附近是平方收敛的。()3、 若 A 为 n 阶方阵，且其元素满足不等式则解线性方程组 AXb 的高斯塞德尔迭代法一定收敛。(× )4、 样条插值一种分段插值。()5、 如果插值结点相同，在满足相同插值条件

5、下所有的插值多项式是等价的。()6、 从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差。()7、 解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AXb。(× )8、 迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计, 直到最后一步迭代计算的舍入误差。(× )9、 数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截断误差舍入误差。()10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。(× )三、计算题（ 5×10）1、用列主元高斯消元法解线性方程组。解答：（1，5，2）最大元 5 在第二行，交

6、换第一与第二行：2131方程化为：L =1/5=0.2,l=2/5=0.4（-0.2,2.6 ）最大元在第三行，交换第二与第三行：L32=-0.2/2.6=-0.076923,方程化为：回代得：x13.00005x25.99999x31.000102、用牛顿埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式P4( x) ，并写出其截断误差的表达式 ( 设 f ( x) 在插值区间上具有直到五阶连续导数) 。xi012f ( xi )1-13f ( xi )15解答：做差商表xiF(xiFxi,xi+Fxi.xi+1.xiFxi,xi+1,xi+2,xFxi,xi+1,xi+2,xi+3,)1

7、+2i+3xi+4011-1-21-113234302351-2-1P4(x)=1-2x-3x(x-1)-x(x-1)(x-1)(x-2)R4(x)=f(5)()/5!x(x-1)(x-1)(x-2)(x-2)3、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组，使之应用雅克比迭代法和高斯赛德尔迭代法均收敛，写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯赛德尔迭代法的迭代 公式，并简单说明收敛的理由。解答：交换第二和第四个方程，使系数矩阵为严格对角占优：2 x1x 2x41雅克比迭代公式：x13 x2x33计算机数学基础(2) 数值分析试题xx24x 3x 48x35 x 46分，共 15分 )1 一、单

8、项选择题(每小题 31.已知准确值 x*与其有 t 位有效数字的近似值x 0.0 a a a ×10 ( a0) 的绝对误差1 2ns1x* x()(A) 0.5× 10 s 1 t(B) 0.5×10 s t(C) 0.5×10s 1 t(D) 0.5× 10 s t2.以下矩阵是严格对角占优矩阵的为()21005210(A)1210，(B)1410012111410012001252104211(C)1421(D)141021412141001213153. 过 (0 ， 1) ， (2 ， 4) ， (3 ， 1) 点的分段线性插值函数P

9、( x)=( )310x230 x2(A)x(B)x 1223x102x33x2102x 3(C)3 x 10 x 2(D)3 x 10 x 2223x102x3x4 2x34.等距二点的求导公式是()f ( xk )(A)f ( xk 1 )f ( xk )(C)f ( xk 1 )1 ( ykyk 1 )f ( xk )1 ( ykyk 1 )h(B)h1 ( yk1 ( ykyk 1 )f ( xk 1 )yk 1 )hh1 ( ykyk 1 )(D)h1 ( yk 1 yk )h5. 解常微分方程初值问题的平均形式的改进欧拉法公式是那么 yp, yc 分别为 () y pykhf (

10、xk , yk )(A)ycykhf (xk 1, yk )y pykf (xk , yk )(C)ykf ( xk , y p )ycy pykhf ( xk 1 , yk )(B)ykhf (xk , y p )ycy pykhf ( xk , yk )(D)ykhf (xk 1 , y p )yc二、填空题 ( 每小题 3 分，共 15分 )6.设近似值 x , x满足 ( x )=0.05， ( x)=0.005 ，那么 ( xx)=1212127.三次样条函数() 满足：()在区间 , 内二阶连续可导，(k)=k( 已知 ) ，S xS xa bS xyk=0,1,2, , n，且满

11、足 S( x) 在每个子区间 xk, xk+1 上是8.bnn.Ak f (xk ) ，则Ak 牛顿科茨求积公式f (x)dxak0k09.解方程 f ( x)=0 的简单迭代法的迭代函数( x) 满足在有根区间内，则在有根区间内任意取一点作为初始值，迭代解都收敛10. 解常微分方程初值问题的改进欧拉法预报校正公式是预报值： y k 1ykhf ( xk , yk ) ，校正值： yk+1=三、计算题 ( 每小题 15 分，共 60 分 )11. 用简单迭代法求线性方程组的 X(3) 取初始值 (0,0,0) T，计算过程保留 4 位小数12.已知函数值 f (0)=6 ，f (1)=10 ，

12、 f (3)=46 ，f (4)=82 ， f (6)=212 ，求函数的四阶均差f (0,1,3,4,6) 和二阶均差 f (4 ， 1， 3) 13. 将积分区间8 等分，用梯形求积公式计算定积分31 x2 dx，计算过程保留 4 位小1数14.用牛顿法求115 的近似值，取 x=10 或 11 为初始值，计算过程保留 4 位小数四、证明题 ( 本题 10 分 )15. 证明求常微分方程初值问题在等距节点 a=x0<x1 <<xn=b 处的数值解近似值的梯形公式为hy( xk+1)yk+1=yk+ f ( xk, yk)+ f ( xk+1, yk+1)其中 h=xk+1

13、 xk( k=0,1,2,n 1)计算机数学基础 (2) 数值分析试题答案一、单项选择题 ( 每小题 3 分，共 15 分 )1.A2.B3.A4.B5.D二、填空题 ( 每小题 3 分，共 15 分 )6. 0.05 x2+0.005 x17. 3次多项式8.b a9.( x)r <110.yk+ h f (xk , yk ) f ( xk 1 , y k 1 ) hf ( xk 1,2y k 1 )三、计算题 ( 每小题 15分，共 60 分)11. 写出迭代格式X(0) =(0,0,0)T.得到 X(1)(2.5 ，3，3)T得到 X(2)=(2.875 ，2.363 7，1.00

14、0 0) T得到 X(3)=(3.136 4，2.0456 ，0.971 6) T.12. 计算均差列给出f ( xk一 阶 均二 阶 均三 阶 均四 阶 均)差差差差061140341814/36483661/2362126529/311/11/155f (0,1,3,4,6)=115f (4, 1, 3)=613. f ( x)=1 x2, =2分点x=1.0 ，x =1.25，x =1.5 ，x =1.75 ，x =2.0 ，x =2.25 ，0.25h1234508x6=2.50 ， x7=2.75 ， x8=3.0.函数值： f (1.0)=1.414 2， f (1.25)=1.6

15、00 8， f(1.5)=1.802 8 ， f (1.75)=2.015 6，f (2.0)=2.236 1 ， f (2.25)=2.462 2， f (2.50)=2.692 6，f (2.75)=2.926 2， f (3.0)=3.16232( f ( x1 )f ( x 2 )f ( x3 )f ( x4 )f ( x5 ) f ( x6 ) f ( x7 ) (9分 )= 0.25 × 1.414 2+3.162 3+2 × (1.600 8+1.802 8+2.015 62+2.2361+2.462 2+2.692 6+2.926 2)=0.125 

16、5; (4.576 5+2× 15.736 3)=4.506 114. 设 x 为所求，即求 x2 115=0 的正根 f ( x)= x2 115因为 f ( x)=2 x，f ( x)=2 ， f (10) f (10)=(100 115) ×2<0，f (11) f (11)=(121 115) ×2>0取 x0=11有迭代公式xk+1=xkf ( xk )= xkxk2115xk115( k=0,1,2,)f( xk )2xk22xk11115x1 = 10.727 3x2 =10.727 32115210.727 3x3 =10.723 82

17、115210.723 8x* 10.723 8 10.723 8 10.723 8四、证明题 ( 本题 10 分 )15. 在子区间 xk+1, xk 上，对微分方程两边关于x 积分，得xk 1y( xk+1) y( xk)=f ( x, y(x)dxxk用求积梯形公式，有hy( xk+1) y( xk)= f ( xk , y( xk )f ( xk 1 , y(xk 1 )将 y( xk), y( xk+1) 用 yk, yk+1 替代，得到hy( xk+1)yk+1=yk+ f ( xk, yk)+ f ( xk+1, yk+1)( k=0,1,2, n1)数值分析期末试题一、填空题（2

18、1020分）152（1)设 A210，则 A_13_。382（ 2) 对于方程组2 x15 x 21， Jacobi迭代法的迭代矩阵是BJ02.5。10x14 x2 32.50（3) 3x * 的相对误差约是 x * 的相对误差的1 倍。3（ 4）求方程 xf ( x ) 根的牛顿迭代公式是x n1x nx nf ( x n ) 。1f ' ( x n )（ 5）设 f ( x )x 3x1 ，则差商 f 0,1,2,31。（ 6）设 n n 矩阵 G的特征值是1 ,2 ,n ，则矩阵 G 的谱半径(G ) maxi。1in（ 7）已知 A12 ，则条件数 Cond( A)901（ 8

19、 ） 为 了 提 高 数 值 计 算 精 度 ， 当 正 数 x充 分 大 时 , 应 将 ln( xx 21)改写为ln( xx 21) 。（ 9） n 个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为n1 次。（ 10）拟合三点 ( x1, f ( x 1 ) ， ( x2, f ( x 2 ) ， ( x3, f ( x 3 ) 的水平直线是13f ( x i ) 。y3 i12 x 1x2x 31二、（ 10 分）证明：方程组x1x 2x31 使用 Jacobi迭代法求解不收敛性。x1x 22 x 31证明： Jacobi 迭代法的迭代矩阵为BJ 的特征多项式为BJ 的特征值为10 ， 2

20、1.25i ， 31.25i ，故 (B J )1.25 1，因而迭代法不收敛性。三、（ 10 分）定义内积试在 H1Span 1, x 中寻求对于 f ( x )x 的最佳平方逼近元素p( x ) 。解： 0 ( x ) 1， 1 ( x )x ，(0,0)11, 0)11，(1,1 )12 dx1 ， ( 0 , f )12 ，dx1， (xdxxx dx0020303( 1 , f )12 。xx dx05法方程解得 c04 ， c112 。所求的最佳平方逼近元素为1515p( x )412 x ， 0 x 11515四、（ 10 分）给定数据表x-2-1012y-0.10.10.40.

21、91.6试用三次多项式以最小二乘法拟合所给数据。解 : y( x ) c0 c1 x c2 x 2c3 x 312 48501001111010034A1 00 0，ATA111110034003401301248法方程的解为 c00.4086 ， c10.39167 ， c20.0857 ， c30.00833得到三次多项式误差平方和为30.000194五. (10分)依据如下函数值表012419233建立不超过三次的 Lagrange 插值多项式，用它计算f (2.2)，并在假设 f ( 4) ( x )1 下，估计计算误差。解: 先计算插值基函数所求 Lagrange 插值多项式为311 x 345 x 21L 3 ( x )f ( x i )l i ( x ) l 0 ( x )9l 1 ( x )23l 2 ( x )3l 3 ( x )x 1从而i 0442f (2.2)L 3 (2.2)25.0683 。据误差公式 R3 ( x )f (4) ( ) ( xx0 )( xx1 )( xx 2 )( xx3 ) 及假