数值分析 第二章 插值

1、一、引例一、引例已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下：已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下：深度（深度（M M） 466 741 950 1422 1634466 741 950 1422 1634水温（水温（o oC C）7.04 4.28 3.40 2.54 2.137.04 4.28 3.40 2.54 2.13根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如500500米，米，600600米，米，10001000米米）处的水温）处的水温. .这就是本章要讨论的这就是本章要讨论的“插值问题插值问题” 插值法是一种古老的数学方法。早在插值法是一种古老

2、的数学方法。早在10001000多年前，我国历法上已经记载了应用一次插值多年前，我国历法上已经记载了应用一次插值和二次插值的实例。和二次插值的实例。 伟大的数学家：拉格朗日（伟大的数学家：拉格朗日（Lagrange）、牛顿）、牛顿Newton）、埃尔米特（）、埃尔米特（Hermite）等人分别给出了）等人分别给出了不同的解决方法。不同的解决方法。 二、插值问题的定义二、插值问题的定义这个问题称为这个问题称为“插值问题插值问题” (2.1.1) 0,1,iig xyin这里这里g(x) 称为称为f(x) 的的插值函数插值函数; 节点节点 称为称为插值节点插值节点;条件条件(2.1.1)称为称为插

3、值条件插值条件; 区间区间 称为称为插值区间插值区间。如果如果利用利用g(x)来求来求f(x) 在在y点的近似值，则称点的近似值，则称y为为插值点。插值点。,a b01,nx xx ,由此构造一个简单易算的近似函数由此构造一个简单易算的近似函数 g(x) f(x)，满足条件，满足条件 上一系列节点上一系列节点 处测得函数值处测得函数值 当函数当函数 y = f(x) 非常复杂或未知时，设在区间非常复杂或未知时，设在区间, a b01,nx xx 00,nnyf xyf x定义定义2.1 插值函数的类型有很多种插值函数的类型有很多种,最常用的插值函数最常用的插值函数是是 代数多项式。代数多项式。

4、用代数多项式作插值函数的插值称为用代数多项式作插值函数的插值称为代数插值代数插值，即，即选取次选取次数不超过数不超过n的多项式的多项式 Pn(x) ，使得使得 代数插值代数插值v一、一、插值多项式的存在唯一性？插值多项式的存在唯一性？v二、二、插值多项式的常用构造方法？插值多项式的常用构造方法？v三、三、插值多项式插值多项式的误差如何估计？的误差如何估计？ (2.1.2) 0,1,niiPxyin一、插值多项式的存在唯一性一、插值多项式的存在唯一性设所要构造的插值多项式为：设所要构造的插值多项式为： 由插值条件由插值条件 得到如下线性代数方程组得到如下线性代数方程组： ()(0,1, )nii

5、P xy in nnnnnnnnnyaxaxayaxaxayaxaxa101111000100111nnnxaxaxaaxP 2210)( （2.2.1）此方程组的系数行列式为此方程组的系数行列式为 nnnnnnxxxxxxxxxD212110200111 nijjixx0)(当当 ()ijxxij 时时， D 0，因此，因此，Pn(x) 由由a0, a1, an唯一确定。唯一确定。范得蒙行列式的转置！范得蒙行列式的转置！定理定理2.1插值条件插值条件 的的 n 阶插值阶插值(),0,.,niiP xyin多项式多项式Pn(x)存在且唯一。存在且唯一。插值多项式的构造：插值多项式的构造：插值多

6、项式的存在唯一性说明，满足插值条件的插值多项式的存在唯一性说明，满足插值条件的多项式存在，并且插值多项式多项式存在，并且插值多项式与构造方法无关与构造方法无关。如何如何构造构造插值函数才能达到预期的效果呢？插值函数才能达到预期的效果呢？对于给定的互异对于给定的互异节点节点 x0 xn, 满足满足 ，简单函数元素集是指构成多项式的基函数集合，例如简单函数元素集是指构成多项式的基函数集合，例如自然形式（自然形式（2.2.1）的自然基底）的自然基底 ,21, ,nx xx、 、 ( (结构结构) )( (集合集合) )若求自然形式若求自然形式(2.2.1)的插值多项式问题，只要求的插值多项式问题，只

7、要求解线性方程组（解线性方程组（2.2.2）计算出多项式系数即可。）计算出多项式系数即可。一般插值多项式的构造方法一般插值多项式的构造方法通过解方程组通过解方程组(2.2.2)(2.2.2)求得插值多项式求得插值多项式 的方法的方法并不可取并不可取. .这是因为当这是因为当n n较大时解方程组的计算量较大时解方程组的计算量较大，而且方程组系数矩阵的条件数一般较大较大，而且方程组系数矩阵的条件数一般较大（可能（可能是是病态方程组病态方程组）, ,当阶数当阶数n n越越高时，高时， 病态越重病态越重。怎样可以不通过求解方程怎样可以不通过求解方程组而获得插值多项式呢组而获得插值多项式呢? nPx在在

8、n n次多项式空间次多项式空间P Pn n中找一组合适的基函数中找一组合适的基函数 , ,使使 01,nxxx 0011nnnPxaxaxax不同的基函数的选取导致不同的不同的基函数的选取导致不同的插值方法插值方法. .Lagrange插插值值Newton插插值值Hermite插值插值1n次次拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式 设连续函数设连续函数 在在 上对给定的上对给定的 个不同个不同节点节点 上分别取函数值上分别取函数值 试构造一个次数不超过试构造一个次数不超过n的插值多项式的插值多项式使之满足插值条件使之满足插值条件: 01( ),nnnL xaaxa x( )(0,1, )niiL

9、 xy in01, ,( ),niiy yyyf x( )yf x , a b1n01naxxxb二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)插值插值定义定义2.2 若若n次多项式次多项式 在在 个节点个节点 上满足条件上满足条件1,()0,( ,0,1, )jkkjlxkjj kn1( )( )nnk kkLxy lx 由定理由定理2.12.1得：得： 01nxxx( )(0,1, )jl xjn1n则称这则称这 个个 次多项式次多项式 为节点为节点 上的上的 次插值基函数。次插值基函数。01( ), ( ),( )nlx l xlxn1n01,nxxxn因此，令因此，令01110( )()

10、()()()()()nkkknjjj klxxxxxxxxxxxxx)()()(11110nkkkkkkkxxxxxxxxxx 的表达式推导：的表达式推导： klx根据根据 的定义的定义， 以外所有的结点都是以外所有的结点都是 的根的根， klx klxkx又由又由 ，得得： 1kklx011100111()()()()()( )()()()()()njkknkjkkkkkkknkjj kxxxxxxxxxxxxlxxxxxxxxxxxxx2线性插值线性插值 (n=1) xkxk+1(xk ,yk)(xk+1 ,yk+1)f(x)P1(x)1011111( )(),()kkkkL xaa xL

11、 xy L xy求,使得11kkkkkkyyyxxxx1111kkkkkkkkxxxxxxyxyx11( )( )kkkkyylxlx11(),()kkkkyf xyf x已知，11111( ):()1,()0( ):()1,()0kkkkkkkkkkl xl xl xlxlxlx3抛物插值抛物插值(n=2)p2(x) f(x)xk-1xkxk+1f(x)因过三点的二次曲线为抛物线，故称为因过三点的二次曲线为抛物线，故称为抛物插值抛物插值。 1111(),(),()kkkkkkyf xyf xyf x已知，22( )()(1, ,1)jjL xL xyjkk k求,使得21111( )(,),

12、(,),(,)kkkkkkL xxyx yxy易知是通过三点的二次曲线211( )( ),( ),( ),kkkL xlxlxlx用基函数方法求步骤如下： 设基函数为21111( )( )( )( )kkk kkkL xy lxy l xy lx则11111()()()()kkkkkkkxxxxyxxxx1111()()()()kkkkkkkxxxxyxxxx211+111()()+=()()kkkkkkkxxxxyaxbxcxxxx11111111111111( ):()1,()()=0( ):()1,()()=0( ):()1,()()0kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkklxlxl

13、xlxl xl xl xl xlxlxlxlx11111()()( )()()kkkkkkkxxxxlxxxxx1111()()( )()()kkkkkkkxxxxlxxxxx11+111()()( )()()kkkkkkkxxxxlxxxxx注注：（1 1） 次数次数 。( )nL xn（2 2）记）记 ， 则则 ， 所以所以 10( )()()()nknxxxxxxx1011()()()()()nkkkkkkknxxxxxxxxx11011( )( )( ),( )()()()()nnnknkkknkknkxxlxL xyxxxxxx4 、插值余项、插值余项定理定理2.2 (1)1( )(

14、 )( )( )( )(1)!nnnnfR xf xL xxn设设 在在a , b上连续，上连续， 在（在（a , b）内存在内存在, 则在则在a , b上的上的n+1个互异的节点个互异的节点 ，对，对 所作的所作的n次次Lagrange插值多项式插值多项式 有误差估计有误差估计 (1)( )nfx nLx( )f x01naxxxb( )( )nfxRolles Theorem的推论的推论: 若若 充分光滑，且充分光滑，且0)()(0 nxx 存在存在),(ba 使得使得0)()( n)(x nnfxPxRx01, :;0nniinixxxxPxfxRx因为时即 1( )nnRxKxx构造构

15、造(固定固定 ) 1( )nnQ tf tP tK xtnixxxxt,0 0tQ由由Roll定理定理, 知存在知存在 1(1)( )1 !0nnQfK xn证明证明:x当当 f(x) 为任一个次数为任一个次数 n 的多项式的多项式 时，时， ，可知，可知 ，即插值多项式对于次数，即插值多项式对于次数 n 的的多项式是多项式是精确精确的。的。0)( xRn0)()1( xfn插值多项式一般仅用来估计插值区间内点的函数值（即内插值多项式一般仅用来估计插值区间内点的函数值（即内插），用它来计算插值区间外点的函数值（即外插）时，插），用它来计算插值区间外点的函数值（即外插）时，误差可能很大。误差可能

16、很大。注：注： 通常不能确定通常不能确定 , 而是估计而是估计 ， x (a,b)，将将 作为误差估计上限。通常取作为误差估计上限。通常取 。1)1()( nnMxf11( )(1)!nnMxn(1)1max|( )|nna x bMfx ( )nRx也称为也称为Lagrange插值多项式的插值余项插值多项式的插值余项。 当当n = 1时，时，10101( )( )()(), (,)2fR xxxxxxx当当n = 2时，时，201202( )( )()()(), (,)6fR xxxxxxxxx例：例：已知已知233sin,214sin,216sin 分别利用分别利用 1次、次、2次次 La

17、grange 插值计算插值计算 sin 50 ，并估计误差。并估计误差。 解：解：n = 1分别利用分别利用x0, x1 以及以及 x1, x2 计算计算4,610 xx利用利用216/4/6/214/6/4/)(1 xxxL015sin50()0.7761418L(2)1( )13( )()(),sin,2!64 22xxfR xxx150.01319()0.0076218R利用利用 3,421 xx计算得：计算得：sin 50 0.76008, 150.005380.0066018R利用利用x0, x1 作为插值节点的实际误差作为插值节点的实际误差 0.010010.01001 利用利用x

18、1, x2作为插值节点的实际误差作为插值节点的实际误差 0.005960.00596sin 50 = 0.7660444n = 24363264634643643634()()()()11( )()()2()()2()()3()()2xxxxL xxx025sin50()0.7654318L23cos21; )3)(4)(6(!3cos)(2 xxxxxxR 250.000440.0007718R2次插值的实际误差次插值的实际误差 0.00061三、牛顿插值三、牛顿插值（NewtonNewtons Interpolations Interpolation）Lagrange Lagrange 插

19、值虽然易算，但若要增加一个节点时，插值虽然易算，但若要增加一个节点时，全部全部基函数基函数li(x) 都需要重新计算。都需要重新计算。希望每加一个节点时，希望每加一个节点时，只附加一项只附加一项上去即可上去即可。能否重新在能否重新在 中寻找新的中寻找新的基函数基函数 ？ 1, ,nnPxspanxx回顾：回顾：Lagrange 插值的优缺点：插值的优缺点： 优点：优点：具有严格的规律性具有严格的规律性,便于记忆。便于记忆。 缺点：缺点：计算量大、不具有承袭性。计算量大、不具有承袭性。01020101( )()()()()()nnnN xAA x xA x xx xA x xx x利用插值条件利

20、用插值条件 代入上式，得关于代入上式，得关于 的线性代数方程组的线性代数方程组: :()()(0,1,)njjN xf xjn0,1,kA kn设设0010111000100()10()1()()nninniAfxxxAfxxxxxAfx当当 互异时，系数矩阵非奇异，且容易求解互异时，系数矩阵非奇异，且容易求解jx00(),Afx10110()()fxfxAxx20102212010()()()()() /(),fxfxfxfxAxxxxxx1差商及其性质差商及其性质(1) 差商的定义差商的定义(亦称均差亦称均差) 定义定义2.3 设已知函数设已知函数f (x)在互不相等的节点在互不相等的节点

21、 上的函数值为上的函数值为 ， 称称 为为f (x)在点在点xi , xj处的处的一阶差商一阶差商，记记作作f xi , xj； ()( )()jijif xf xijxx01, ,nx xx称称 为为f (x)在点在点xi, xj, xk处的处的二阶差商二阶差商，记作，记作f xi , xj , xk；,()ikijijkkjf xxf xxf xxxjkxx称称 为为f (x)在点在点x0, x1, xk处的处的k阶差商阶差商，记作，记作f x0, x1, xk。 012011011,kkkkkkf x xxxf x xxf x xxxx由差商定义知由差商定义知高阶差商是两个低一阶差商的差

22、商高阶差商是两个低一阶差商的差商( )(0,1, )if x in(2) 差商的性质差商的性质 性质性质1( (差商与函数值的关系差商与函数值的关系) ): : 记记 , ,则则 01nxxxxxxx 010,niniif xf x xxx00, , ,ijnjinf xxxxf xxxx性质性质2 （对称性）（对称性）：差商的值与结点排列顺序无关，即：差商的值与结点排列顺序无关，即性质性质3 3 ( (差商与导数的关系差商与导数的关系) ): : 设设 在在 上有上有 阶导数阶导数, 且且 则存在则存在 使得使得 f x, a bn01,nx xxa b( , )a b 01,!nnff x

23、 xxn性质性质4 4 ( (特征定理特征定理) ): :101010,nnnnf xxf xxf x xxxx差商可列表计算：差商可列表计算： f (x0)f (x1)f (x2)f (xn 1)f (xn)f x0, x1f x1, x2 f xn 1, xnf x0, x1 , x2 f xn 2, xn 1, xnf x0, , xnxi yi 一阶差商一阶差商 二阶差商二阶差商 n 阶差商阶差商 x0 x1x2xn-1xn xn+1 f (xn+1) f xn, xn+1 f xn 1, xn, xn+1 f x1, , xn+1 f x0, , xn+1(3) 差商的计算差商的计算

24、 利用差商的定义利用差商的定义, ,可得可得 的的系数系数 : : nNxjA00010101(),nnAf xf xAf xxAf xxx从而从而0010012010011( )( ) , () , ,()() ,()()()nnnN xf xf x x x xf x x xx xx xf xxx xx xx x00100100010001000110101( )( )( )( ) , ()( ) , ()( )( ) , () ,()()( )( ) ,()()()kkkkkkkN xf xN xf xf x x x xN xf x x x xN xf xf x x x xf xxx xx

25、 xNxN xf xxx xx xx x因此每增加一个结点，因此每增加一个结点，NewtonNewton插值多项式只增加一项，克服插值多项式只增加一项，克服了了LagrangeLagrange插值的缺点。插值的缺点。 2.2.牛顿插值公式牛顿插值公式3.3.牛顿插值余项牛顿插值余项由插值多项式的由插值多项式的唯一性可知唯一性可知 ， 故其余项也相同，即故其余项也相同，即 nnNxLx(1)011( ), .,( )( )(1)!nnnnff xxxxxn，(1)01( ),.,(1)!nnf x xxxnf，命题命题 Newton插值多项式的余项为插值多项式的余项为 011,nnnRxf x

26、xxxx 101nnxxxxxxx其中其中从而，从而，例例: : 给定给定 的数据表的数据表 2.20 2.40 2.60 2.80 3.002.20 2.40 2.60 2.80 3.00 0.78846 0.87547 0.95551 1.02962 1.09861 0.78846 0.87547 0.95551 1.02962 1.09861 1. 1.构造差商表构造差商表 2. 2.分别写出二次、四次分别写出二次、四次NewtonNewton插值多项式插值多项式 lnf xxjx( )jf x解解: :构造差商表构造差商表ix( )if x一阶差商一阶差商 二阶差商二阶差商 三阶差商三

27、阶差商 四阶差商四阶差商2.202.402.602.803.000.435050.788460.875470.955511.029621.098610.400100.0873750.370550.0738750.344950.064000.022500.016460.00755 20.788460.435052.200.0873752.202.40Nxxxx 40.78846 0.435052.200.0873752.202.40Nxxxx0.02252.202.402.60 xxx0.007552.202.402.602.80 xxxx 2( )2.202.402.603!fRxxxx312

28、.202.402.603xxx (5)4( )2.202.402.602.803.005!fRxxxxxx余项余项四、等距节点插值四、等距节点插值 引入引入( (微商的离散化微商的离散化) )： 0limiiihf xhf xfxh 0limiihf xf xhh022limiihhhfxfxh1差分的定义差分的定义设函数设函数 在等距节点在等距节点 上的上的值值 已知已知,这里这里 为常数为常数, 称为称为步长步长，分别称，分别称 yf x0(0,1, )kxxkh knkkff xh1,kkkfff1,kkkfff112222kkkkkhhffxfxff为为 在在 处以处以 为步长的为步长

29、的一阶向前差分一阶向前差分, , 一阶一阶向后向后差分差分, ,以及以及一阶一阶中心差分。中心差分。 f xkxh高阶差分：高阶差分：1111(),mmmmkkkkffff 11(),()mmmmkkkkffff 定义定义2.4 引进不变算子引进不变算子 ，移位算子，移位算子 ，即，即IE11111221122,kkkkkkkkkkIffEffEffEffEff则有则有 111111111112222221122()()()kkkkkkkkkkkkkkkkkkfffEfIfEI fEIfffIfEfIEfIEfffE fEfEEfEE 2、差分表（差分计算）、差分表（差分计算）计算各阶向前差分

30、可按如下差分表进行：计算各阶向前差分可按如下差分表进行：23423400000023111112222233344iixfxfffffxffffxfffxffxf计算各阶向后差分可按如下差分表进行：计算各阶向后差分可按如下差分表进行：23400111222222333333234444444iixfxfxffxfffxffffxfffff3 3、差分的性质、差分的性质性质性质1 (差分与函数值的关系差分与函数值的关系): 各阶差分均可表示为函数值各阶差分均可表示为函数值 的线性组合的线性组合:00( 1),( 1)!()!kkkjjkkjjikij kikij kjjjkfC ffC fkCj

31、 kj 其中其中kkii kff 性质性质2 (向前差分与向后差分的关系向前差分与向后差分的关系):性质性质3 3 ( (差分与差商的关系差分与差商的关系) ): : 在等距节点的前提下，在等距节点的前提下，1,!kiiiikkff xxxk h1,!kiiiikkff xxxk h性质性质4 (差分与导数的关系）差分与导数的关系）：在等距节点的前提下，在等距节点的前提下，( )1! ,( )()kkkkiiii kii kfk h f x xxh fxx性质性质5：常数的差分等于零常数的差分等于零.性质性质6 6：差分算子为线性算子，即差分算子为线性算子，即( )( )( )( )a f x

32、b g xaf xbg x性质性质7：()kkkkkkf gfggf这个性质类比于这个性质类比于 gdffdggfd )(0()(),kkff xf xkh0( )()kkgg xg xkh 4、等距节点的牛顿插值公式、等距节点的牛顿插值公式牛顿公式牛顿公式:0010001( )( ) , () , () ()nnnN xf xf x x x xf xxx xx x 牛顿前插公式牛顿前插公式（用于计算最小节点附近的函数值（用于计算最小节点附近的函数值）利用差分的性质利用差分的性质, 可将可将Newton公式简化为公式简化为020000( )()(01)(1)(1)(1)1!2!nnnN xN

33、xthttt tt ttnffffn (1)称公式称公式(1)(1)为为NewtonNewton向前差分插值公式向前差分插值公式, ,其余项为其余项为0(0,1, )kxxkh kn1(1)00(1)()( )()( ),(,)(1)!nnnnnt ttnR xR xthhfx xn(2) 牛顿后插公式牛顿后插公式（用于计算最大节点附近的函数值）（用于计算最大节点附近的函数值）如果将如果将Newton插值公式插值公式改为按节点改为按节点 的的次序排次序排列的列的Newton插值公式插值公式,即即10,nnxxx11110( )()() ,()()() ,nnnnnnnnnNxf xxxf xx

34、xxxxxxf xxx(3)令令x=xn-th, 则当则当xn-1xxn时时,0t1. 利用差商与向后差分的关利用差商与向后差分的关系系, , 式式(3)(3)可简化为可简化为22(1)( )()(1)2!(1)(1)(1)!nnnnnnnnnt tNxNxthftfft ttnfn (4)称式称式(4)(4)为为NewtonNewton向后差分插值公式向后差分插值公式。其余项为其余项为(1)110( )( )()( 1)(1)()(1)!nnnnnnnfRxRxthht ttnnxx注：注：一般当一般当 x 靠近靠近 x0 时用前插，靠近时用前插，靠近 xn 时用后插，时用后插，故两种公式亦

35、称为故两种公式亦称为表初公式表初公式和和表末公式表末公式。例例 给定给定f f( (x x) )在等距节点上的函数值表如下在等距节点上的函数值表如下: : xi 0.4 0.6 0.8 1.0 f(xi) 1.5 1.8 2.2 2.8 分别用分别用NewtonNewton向前和向后公式求向前和向后公式求f f(0.5)(0.5)及及f f(0.9)(0.9) 的近似值的近似值. . 解解 先构造向前差分表如下先构造向前差分表如下: : xi fi fi 2 2fi 3 3fi 0.4 1.5 0.3 0.1 0.1 0.6 1.8 0.4 0.2 0.8 2.2 0.6 1.0 2.8 x0

36、=0.4, h=0.2, x3=1.0. 分别用差分表中第一行上的值分别用差分表中第一行上的值和对角线的值和对角线的值, ,得得NewtonNewton向前和向后插值公式如下向前和向后插值公式如下: :33(1)(1)(2)(0.40.2 )1.50.30.10.123!(1)(1)(2)(1 0.2 )2.80.60.20.123!t tt ttNttt tt ttNtt (1) (2)当当 x=0.5时时, ,用公式用公式(1),(1),这时这时t=(x-x0)/h=0.5. 将将t=0.5代代入入(1),(1),得得 f (0.5)N3(0.5)=1.64375.当当x=0.9时时, ,

37、 用公式用公式(2), (2), 这时这时t=(x3-x)/h=0.5. 将将t=0.5代入代入(2), (2), 得得 f (0.9)N3(0.9)=2.46875.1 1引入引入 在实际问题中，对所构造的插值多项式，在实际问题中，对所构造的插值多项式，不仅不仅要求函数值重合，而且要求若干阶要求函数值重合，而且要求若干阶导数导数也重合。也重合。即要求插值函数即要求插值函数 P(x) 满足满足:（1）把此类插值问题称为把此类插值问题称为 ( )( )(0,1, ,0,1,)kkiiPxfxin km相应的插值多项式称为相应的插值多项式称为埃米尔特（埃米尔特（Hermite）插）插值多项式或称带

38、导数的插值多项式，值多项式或称带导数的插值多项式，记为记为H (x)。H (x) 存在且唯一。存在且唯一。埃米尔特（埃米尔特（Hermite）插值）插值Hermite 插值插值2.2.推导推导只讨论函数值与导数值个数相等，且一阶情况。只讨论函数值与导数值个数相等，且一阶情况。设在节点设在节点 上上, , 01naxxxb(),()(0,1, )jjjjyf xmfxjn要求插值多项式要求插值多项式 , ,满足条件满足条件 H x(),()0,1,jjjjH xyH xmjn(2)这里给出的这里给出的 个条件个条件, ,可唯一确定一个次数不超可唯一确定一个次数不超过过 的多项式的多项式 其形式为

39、其形式为22n21n21( )( ),nHxH x根据条件根据条件(2)(2)来确定来确定 个系数个系数 , ,显然非常复杂。显然非常复杂。22n0121,na aa21210121( )nnnHxaa xax(3)插值基函数插值基函数 及及 , , 共有共有 个个, ,每一个基函数都是每一个基函数都是 次多项式次多项式, ,且满足条件且满足条件( )jx( )0,1,jxjn22n21n(Lagrange(Lagrange型型HermiteHermite插值多项式插值多项式):):基函数方法基函数方法0,0,1,0,0,1,.jkjkjkjkjkjkj kxxj kxxj kn(3)于是满足

40、条件于是满足条件(2)(2)的插值多项式的插值多项式 可写成用插值可写成用插值基函数表示的形式基函数表示的形式, ,即即 21nHx 210.nnjjjjjHxyxmx显然有显然有2121(),()(0,1, ).nkknkkHxyHxmkn(4)下面利用下面利用LagrangeLagrange插值基函数插值基函数 求求 及及 。令令 ( )jx( )jx( )jlx2( )()( )jjjjxa xb lx其中其中 是是 ( )jlx011011()()()()( )()()()()jjnjjjjjjjnxxxxxxxxl xxxxxxxxx0,1,jn 0,0,1,0,0,1, , . (

41、3)jkjkjkjkjkjkj kxxj kxxj kn2()()()1,jjjjjjjxa xb lx()()()2()()0,jjjjj jjjjjjjxlxa lxa xb lx由条件式由条件式(3)有有整理整理, ,得得1,2 ()0.jjjjjja xbalx解得解得2 (),12().jjjjj jjalxbx lx 由于由于011011()()()()( )()()()()jjnjjjjjjjnxxxxxxxxlxxxxxxxxx两端取对数再求导两端取对数再求导, ,得得01,njjkjkkjlxxx于是于是 2011 2.njjjkjkkjxxxlxxx(5)同理可得同理可得2

42、( )() ( ).jjjxxx lx(6)（1）仿照）仿照Lagrange插值余项，插值余项， Hermite 插值余项可描述为：插值余项可描述为： (22)2211(22)!nnnfR xfxHxxn(7)注：注：设设 在在a , b上连续，上连续， 在（在（a , b）内存在）内存在, 则则 且依赖于且依赖于 ，有插值余项，有插值余项(22)( )nfx(21)( )nfx , ,( , )xa ba b x（2）作为带导数插值多项式作为带导数插值多项式(4)(4)的重要特例是的重要特例是n=1n=1的情形。的情形。这时可取节点为这时可取节点为 及及 , ,插值多项式为插值多项式为 ,

43、,满足条件：满足条件：kx1kx3( )Hx33113311(),(),(),().kkkkkkkkHxyHxyHxmHxm(8)相应的插值基函数为相应的插值基函数为 , ,它们满足：它们满足：11( ),( ),( ),( )kkkkxxxx111111()0,()1,()()0,kkkkkkkkxxxx11()()0,()1,()0,kkkkkkkkxxxx111111()()0,()0,()1.kkkkkkkkxxxx根据根据(5)(5)式及式及(6)(6)式的一般表达式式的一般表达式, ,可得可得211121111( )1 2,( )1 2,kkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxx

44、xxxxxxxxxx2112111( )(),( )().kkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxxx11()1,()0,()()0,kkkkkkkkxxxx于是满足条件于是满足条件(8)(8)的插值多项式是的插值多项式是 31111,kkkkkkkkHxyxyxmxmx其余项为其余项为 2243311.4!kkRxf xHxfxxxx（3） N个条件可以确定个条件可以确定N-1阶多项式，要求在阶多项式，要求在1个节点个节点 处直处直 到到 阶导数都重合的插值多项式即为阶导数都重合的插值多项式即为 在在 点处的点处的 Taylor多项式多项式:0 x0 x( )f xm()00000()(

45、 )()()()()!mmfxxf xfxxxxxm(1)(1)0( )( )( )( )()(1)!mmfR xf xxxxm其余项为其余项为 Newton型型Hermite插值插值（1）单节点的重节点差商）单节点的重节点差商( )0000(),!nfxf x xxn（2）多节点的重节点差商）多节点的重节点差商 411422433411422,.Hxy Hxy HxyHxm Hxm插值条件：插值条件： 01,!nnffxxxn 重节点差商可列表计算：重节点差商可列表计算： 重节点差商的计算重节点差商的计算1111222233()kkxf xxyxyxyxyxy一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商

46、11 , f x x,21xxf22 ,f x x23 ,f x x112 , ,f x x x122 ,f x x x223 ,f x x x1122 , ,f x x x x1223 ,f x x x x11223 , ,f x x x x x其中其中，1111 ,()f x xfxm2222,()f xxfxm12111221 ,() ,f x xfxf x x xxx122112112221,f x xxf x x xf x x xxxx122311221122331 , , ,f x x x xf x x x xf x x x x xxx41111211212112212221122

47、312( )( ) ,() ,() ,() () ,() ()Hxf xf x xxxf x x xxxf x x xxxxxxf x x xxxxxxx例例1：已知已知 求三次多项式求三次多项式 P(x) 满足满足 11, 10.2,ff 11 ,22 ,PfPf4. 举例举例 21.1486984, 20.1148698,ff 11 ,22 ,PfPf()11.000000011.000000021.148698421.1486984kkxf x一阶差商二阶差商三阶差商0.20000000.14869840.11486980.05130160.03382860.0174730解：解：22(

48、 ) 1 0.2(1) 0.0513016(1)0.0174730(1) (2)P xxxxx 例例2：已知已知 求三次多项式求三次多项式 P(x) 满足满足 11, 10.2, 1-0.16,fff 11 ,22 ,PfPf 21.1486984, f 11 ,11 ,PfPf注意注意:1,1,1(1)/ 2!0.08, ff ()11.000000011.000000011.000000021.1486984kkxf x一阶差商二阶差商三阶差商0.20000000.20000000.14869840.08000000.05130160.286984解：解：23( ) 1 0.2(1) 0.

49、08(1)0.0286984(1) .P xxxx 1. 多项式插值的龙格现象多项式插值的龙格现象例：例：在在 5, 5上考察上考察 的的Ln(x)。取。取211)(xxf105(0,1, )ixiinn -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Ln(x) f (x) n 越大，越大，端点附近抖动端点附近抖动越大，称为越大，称为Runge 现象现象分段低次插值分段低次插值2. 分段线性插值分段线性插值在每个子区间在每个子区间 上，用上，用1次多项式次多项式 (直线直线) 逼近逼近 f (x):,1 iixx11111)()( iiii

50、iiiiyxxxxyxxxxxPxf记记 ,易证：当易证：当 时，时，|max1iixxh 0h1( )( )P xf x一致一致, 1 iixxxyxo1x2x3x4x5x6xy=p(x)y= f(x)失去了原函数失去了原函数的光滑性。的光滑性。1,()0,.ijijijxij则则 是分段一次的连续函数且满足条件是分段一次的连续函数且满足条件( )jx分段线性插值多项式的构造：分段线性插值多项式的构造：111111,(1, 2,);( ),(0 1,1 ;0, elsejjjjjjjjjjjxxxxxjnxxxxxxxxjnxx，） 即为分段线性插值的基函数。即为分段线性插值的基函数。 (

51、),0,1,jxjn基函数基函数 只在只在 附近不为零附近不为零,在其它地方均为零。这种在其它地方均为零。这种性质称为性质称为局部非零性质局部非零性质。相应的分段线性插值函数为：。相应的分段线性插值函数为：( )jxjx 111110,iiiiiiiiiiniiixxxxp xyyxx xxxxxyxaxb分段线性插值的误差估计：分段线性插值的误差估计：如果如果 在在 上二阶连续可微上二阶连续可微, ,则分段线性则分段线性插值函数插值函数 的余项有以下估计的余项有以下估计 f x,a b( )p x2( )( )( )8hR xf xp xM101max (),max( )iii na x b

52、hxxMfx 其中其中,3. 分段三次分段三次Hermite插值插值 0niiiiiHxyxmx其中基函数为其中基函数为 给定节点给定节点 ， 在节点在节点 上的上的函数值及导数值分别为函数值及导数值分别为 , ,在每个子区间在每个子区间 上作两点三次上作两点三次Hermite插值，因此是分段三次，总插值，因此是分段三次，总体是直至一阶导数连续，插值函数为体是直至一阶导数连续，插值函数为01naxxxb f xix,iiy m1,iixx 2010100110112,0, nxxxxxxxxxxxxxxx 2111101,12,0, nnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxx 2111

53、1211111112,12,0, ,iiiiiiiiiiiiiiiiiiixxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 1,2,1in 210010011211101,0, , ,0, ,nnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx21112111,0 ,.iiiiiiiiiiiiixxxxxxxxxxxxxxxxxxxelse1, 2,1in分段分段Hermite插值余项插值余项: 由三次由三次Hermite插值的余项可以估计分段插值的余项可以估计分段Hermite插值的余项：设插值的余项：设 ( )H x 是给定节点是给定节点 012naxxxxb上的分段

54、三次上的分段三次Hermite插值函数，插值函数， ， 与与 的误差限为的误差限为4( ) , f xC a b( )H x( )f x44|( )| |( )( )|384hR xf xH xM其中，其中， (4)101max |, max|( )|iii na x bhxxMfx 要求：要求：插值曲线既要简单，又要在曲线的连接处比插值曲线既要简单，又要在曲线的连接处比较光滑。较光滑。 这样的分段插值函数在分段上要求多项式次数低，这样的分段插值函数在分段上要求多项式次数低，这种插值方法称为这种插值方法称为样条插值样条插值。它所对应的曲线称为它所对应的曲线称为样条曲线样条曲线，其节点称为，其节

55、点称为样点样点，把满足这样条件的插值函数，称为把满足这样条件的插值函数，称为样条插值函数样条插值函数，而在节点上不仅连续，还存在连续的低阶导数，而在节点上不仅连续，还存在连续的低阶导数，图图2.1 早期机翼下轮廓的放样早期机翼下轮廓的放样 如图如图2.1所示，在早期的板材曲线切割时，常把富所示，在早期的板材曲线切割时，常把富有弹性的细长木条（样条）固定在样点上，其它地有弹性的细长木条（样条）固定在样点上，其它地方让其自由弯曲，然后画出长条的曲线称为样条曲方让其自由弯曲，然后画出长条的曲线称为样条曲线，由此启发设计整体连续光滑的样条插值函数。线，由此启发设计整体连续光滑的样条插值函数。分段低次插

56、值虽然具有简单、收敛性、整分段低次插值虽然具有简单、收敛性、整体连续性及数值计算的稳定性等优点，但体连续性及数值计算的稳定性等优点，但在节点处常有在节点处常有“尖点尖点”出现，光滑性较差出现，光滑性较差。特别是需要给出节点处的导数值，这在。特别是需要给出节点处的导数值，这在多数问题中是不实际的。如何在没有节点多数问题中是不实际的。如何在没有节点导数数据时也能达到上述目的？为此引入导数数据时也能达到上述目的？为此引入样条插值函数样条插值函数。1. 引入引入三次样条插值三次样条插值定义定义2.5 2.5 设对设对y = f (x)在区间在区间a, b上给定一组节点上给定一组节点a = x0 x1

57、x2 xn = b和相应的函数值和相应的函数值y0, y1, yn，如果如果s(x)具有如下性质：具有如下性质：（1）在每个子区间在每个子区间xi-1, xi (i = 1, 2, n)上上s (x)是不高是不高 于三次的多项式于三次的多项式; ;（2）s (x)， ，s (x)在在 a, b上连续；则称上连续；则称s (x)为为 三次样条函数三次样条函数. .如再有如再有（3） s (xi ) = f (xi) (i = 0, 1, 2, n)， 则称则称s (x)为为y = f (x)的的三次样条三次样条插值函数插值函数。( )s x注：注：三次样条与分段三次样条与分段 Hermite 插

58、值的根本区别在于插值的根本区别在于S(x)自身光滑自身光滑，不需要知道不需要知道 f 的导数值（除了在的导数值（除了在2个个端点可能需要）；而端点可能需要）；而Hermite插值依赖于插值依赖于f 在所有在所有插值点的导数值。插值点的导数值。S(x)H(x)f(x)给定函数给定函数 在在 a, b上的一组节点：上的一组节点： 及节点上的函数值及节点上的函数值 ，( )f x函数函数 是满足下列条件的函数：是满足下列条件的函数：的三次样条插值的三次样条插值； 2. 三次样条插值函数的构造三次样条插值函数的构造(3) ( )S x在插值节点处连续，即在插值节点处连续，即 (0)(0), 1,2,1

59、iiS xS xin(4) 2( ) , S xC a b(0)(0), 1,2,1iiSxSxin即即012naxxxxb( ),0,1,iiyf xin ( )S x( )f x(1)( )( ),0,1,iiiS xf xy in(2) 在子区间在子区间 1 ,iix x上是三次多项式，记为上是三次多项式，记为( )iS x( )S x。 要保证要保证S(x)的存在唯一性，必须附加两个边界条件。例如，的存在唯一性，必须附加两个边界条件。例如，满足下列四种满足下列四种边界条件边界条件中的任意一个：中的任意一个：(1) 固支边界条件（固支边界条件（D1-样条）：样条）： 000()()()(

60、)nnnS xfxmS xfxm3. 边界条件边界条件(2) 弯矩边界条件（弯矩边界条件（D2-样条）：样条）： 000()()()()nnnSxfxMSxfxM0()0()0nSxSx(3) 自然边界条件（自然样条）：自然边界条件（自然样条）： (4) 周期边界条件周期边界条件（周期样条）（周期样条） ：000()()()()()()nnnS xS xS xS xSxSx上述几种边界条件都有它们的实际意义，从力学上述几种边界条件都有它们的实际意义，从力学角度看，附加边界条件相当于在细梁两端加上约角度看，附加边界条件相当于在细梁两端加上约束。工程中常用自然边界条件求样条插值函数，束。工程中常用