普通高等学校招生全国统一考试仿真试卷

1、普通高等学校招生全国统一考试仿真试卷数学（八）本试卷分第卷（选择题共 60 分）和第卷（非选择题共 90 分），考试时间为 120 分钟，满分为150 分。第卷 （选择题共 60 分）注意事项：1. 答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂在答题卡上。2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。一、选择题 （本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知 yf (x 1)是偶函数， 则函数

2、yf ( x) 的图像的对称轴是（）A.x1B.x1C. x1D. x12212. 已知 p : x 1, q :则 p 是 q 的( )1,xA. 充分不必要条件B.必要充分不条件C. 充要条件D.既非充分又非必要条件3.( 理 ) 有一条信息 ,若 1 人得知后用1 小时将其传给2 人 ,这 2人又用 1小时分别传给未知此信息的另外2 人,如此继续下去 ,要传遍100 万人口的城市 , 所需的时间大约是( )A. 10天B. 2天C. 1天D.半天（注：一天24 小时）(文) 函数y lg (1x) (x0)的反函数为( )A y1 10 x ( x 0)B y 1 10x ( x 0)C

3、 y101 x ( x0)D y 101 x ( x0)4.( 理) P|（ 1，1） m (1, 2), mR,Q |(1, 2)n (2, 3), n R是两个向量集合 ,则 PQ()A.(1,-2)B. (-13,-23)C. (1,-2)D. (-23,-13)( 文 )已知 Ax | x1|3,Bx | x2x 6 , 则 A B( )22A.3,21,B.3,21,2C.3,21,2D.,31,25. 将函数 ysin 2 x 的图象按向量 a 平移后得到函数ysin(2 x) 的图象，则向量 a 可以是()4A. (,0)B.(8,0)C.(,0)D.(,0)4486下图代表未折

4、叠正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形是（）7函数 ylg | x |（）的图象大致是xyyyyOxOxOxOxABCD8在等差数列 an 中，a125， S3S8，则前 n 项和 sn 的最小值为()A 80B76C 75D749. 设（ 2x+ 3 ）4 = a0a1 xa2 x2a3 x3a4x4 则 a0a22a12a4a3的值为()A.2B. 2C.1D. 110. (理) 函数 f ( x ) = ax3 + ( a 1 )x2 + 48( b 3 )x + b的图象关于原点中心对称，则f ( x)( )A.在 43，4 3 上为增函数B.在 43 ， 43 上非单调C

5、.在43 ，+ 上为增函数 , 在 (, 4 3 ) 为减函数D.在( , 43 ) 为增函数，在 43 ， + 上也为增函数 ,( 文 ) 设 f ( x) 、 g( x) 在 a， b 上可导，且f( x) g ( x) ，则当 axb 时，有( )A f (x)g(x)BC f (x)g(b)g( x) f (b)D f ( x)g (x)f ( x)g(a)g (x)f (a)11. 甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为 0.6, 0.5, 现已知目标被击中，则它是甲射中的概率是( )A.0.45B. 0.6C.0.65D 0.75 .12. (理) 把 311 表示成

6、 k 项连续正整数的和，则项数k 的最大值为( )A. 595B. 486C. 374D. 243( 文 ) 定义运算 a*b=a ab, 例如， 1*2=1 ，则 1*2 x 的取值范围（）b abA. (0,1)B. (0,1C. (- ,1D.1,+ )请将选择题答案填入下表中123456789101112普通高等学校招生全国统一考试仿真试卷数学（八）第卷 （非选择题共90分）注意事项：1用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试题卷上。2 答卷前将密封线内的项目填写清楚。3本卷共10 小题，共90 分。题1718192021卷总二22号分得分得分评卷人二、填空题：本大题共 4 小题，每小题4分，共

7、 16 分.把答案填在题中横线上 .13（ 理）设 z (1i )21i , 则(1 z)7 展开式中的第4 项是.1i( 文) 函数 y3sinx6的单调递减区间是.14给出平面区域（包括边界）如图所示，若使目标函数z ax y( a0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为15 已 知 椭 圆 x2y 21与双曲线2516x2y21(m 0, n0)具有相同的焦点F1， F2，设两曲线的一个交点为m2n2Q, QF1F290°，则双曲线的离心率为16设函数 f ( x)的定义域为 R. 若存在与 x 无关的正常数 M，使 f ( x) M x对一切实数x均 成 立 ， 则 称

8、 f ( x)为有界泛函在函数f (x)2x, g( x)x2 ,h(x) 2x , v(x)x sin x中，属于有界泛函的有三、解答题：本大题共6 小题，共 74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .得分评卷人17（本小题满分 12 分）( 理 ) 设函数f ( x)a·b，其中向量 a= (2 cos x,1) ，b= (cos x,3 sin 2x)x R.（ 1）求 f (x) 的最小正周期；（2）在A B C分别是角 A、B、C 的对边，中 ， a 、 b 、 cf ( A) 2, a3,b c 3,( b c) ，求 b、 c 的长 .( 文 ) 设 函 数 f

9、 (x)1 a · b1，其中向量a= (cos x,1) ，44b= (2cos x, 3 sin 2x) xR.(1) 求函数的最小正周期、值域；(2)当函数值最大时求自变量x 的集合；(3)此函数的图象由函数ysin x 的图象怎样变化而得到.得分评卷人18. ( 本小题满分 12 分)（理）右表是某班英语及数学成绩的分布表，已知该班有50 名学生，成绩分1 至 5 五个档次 . 如：表中所示英语成绩为 4 分，数学成绩为2 分的学生n数学有5人.现设该班任意一位学生的英m54321语成绩为 m，数学成绩为 n.513101(1)求 m = 4, n = 3的概率；英41075

10、1(2)求在 m3 的条件下， n = 3321093的概率；语21b60a(3)求 a + b的值，并求 m的数学100113期望；(4)若 m= 2 与 n = 4是相互独立的，求a, b的值 .（文）袋里装有30 个球上都记有 1 到 30 的一个号码 ,设号码为 n 的球重量为n24n44( 不受重量 ,号码的影响 ) 从袋里取出 .33 ( 克 ). 这些球以等可能性(1) 如果任意取出 1 球 , 求其重量大于号码的概率 ;(2) 如果同时任意取出 2 球 , 试求它们重量相同的概率 .得分19（本小题满分 12 分）评卷人如图，三棱锥 P ABC中，PB底面 ABC于 B， BC

11、A= 90 ，PB= BC= CA = 42 ，点 E，点 F 分别是 PC，AP的中点 .(1) 求证：侧面 PAC侧面 PBC；(2) 求异面直线 AE 与 BF 所成的角；(3) 求二面角 ABE F 的平面角 .得分评卷人20. （本小题满分12 分）如图所示，已知A（ -1 ， 0）， B（1， 0），直线 l 垂直 AB 于 A 点， P 为 l 上一动点，点 N 为线段 BP上一点，且满足 BP2BN，点 M满足 PMAB0，MN·BP 0（ I ）求动点 M的轨迹方程 C；（ II ）在上述曲线内是否存在一点Q，若过点 Q的直线与曲线 C 交于两点E、 F，使得以 E

12、F 为直径的圆都与 l 相切若存在，求出点 Q的坐标若不存在，请说明理由得分评卷人21( 本大题满分12 分)设 f ( x) 是定义在 1， 1 上的偶函数， g( x) 的图象与 f ( x) 的图象关于直线 x1 对称，且当 x2 ， 3 时， g( x) 2a( x 2) 4( x 2) 3(1) 求 f ( x) 的解析式；(2) 是否存在正整数 a，使 f ( x) 的图象的最高点落在直线 y 12 上？若存在，求出 a 的值；若不存在，请说明理由得分评卷人22（本题满分14 分）设函数 yf ( x) 定义域为R ，当x0时， f (x)1，且对于任意的x, yR ，有 f (

13、xy)f ( x)f ( y) 成立数列 an 满足 a1f(0) ，且f (an 1 )1(n N ) f (2 an )( )求 f (0) 的值；求证函数 yf ( x) 在 R 上是减函数；( )求数列 an 的通项公式并证明；()(理) 是否存在正数 k ，使(1111 )k21对)(1) (1anna1a2一切 nN均成立，若存在，求出k的最大值，并证明，否则说明理由答案与提示：仿真试题八一 .选择题1. A函数 yf ( x1)是由 yf ( x) 的图像向左平移1 个单位而得 .2. Ap : x1,q : 11,则p 既 x 1, 所以p 能推出 q, 反之 q : 11,x

14、1,或 x0 ,xp : x 1 .x则不能推出3.(理 )C由题意 2 x106, 两边取对数得 ,x lg 26 , 代值估算既得 .(文 )A注意原函数的值域为y0.4. (理) B几 何 意 义 是 两 条 直 线 的 交 点 , 既 直 线 y 2x3与直线3x2 y70的交点坐标 .（文） B5. Bysin(2 x)sin 2(x)6. B487. D函数是奇函数，排除A、 B，取 x1，则 y0 ，排除 C.8. C 由 a1，S3，d5, 所以 SminS5S6 .25S8 得9.C令x1得234a0a1a2 a3a4， 令 x1 得( 23)4a0a1a2a3a4，两式相乘

15、得( 1)4(a0a2a4 ) 2(a1a3 ) 210.(理 )D关于原点对称, 则 f (0)0, 得 b0 ,又 f ( x)f ( x) , 得a 1.f ' (x)3( x248), 由 f ' ( x)0既得所解 .( 文 )D令 F ( x)f ( x) g(x),由 f ( x)g ( x) 知F ( x)f ( x) g(x) 单调增加 , 所以 F( x)F ( a) .11.B12.(理)B设为 a,a+1.a+2,a+k -1 则 (aak1)k311 ，当 k486 时，2a122( 文)B当 x0 ,1*2 x1, 当 x0,1*2x2 x .二 .

16、填空题13.(理)35i.z (1i ) 21ii, 则 (1z)7(1i )7 .1i( 文)2k,2k4.3314.3 .当目标函数zaxy(a0)与直线 AC重合,既53aK AC.55 QFF1615. 90°, 得 Q(3, )3125, 由双曲线定义得a1.8 ,又c3 .16.f ( x), v( x) .在函数f (x)2 x , v( x)x sin xx , g( x), h( x) 无界 .三.解答题17 ( 理) ( 本小题主要考查向量 , 三角函数和解三角形，以及方程变形和运算能力满分 12 分)解（ 1） f (x)2 cos2 x3 sin 2x12 s

17、in( 2x),3 分6f ( x) 的最小正周期为.4 分（2）f ( A)2,即12sin( 2A)2,sin( 2 A)1 . 6分6622A7,2 A5A.8 分666.7 分663由 cos A1b2c 2a2,即(bc) 2a 23bc,bc2. 10分22bc又 bb2,12 分c 3(b c) ，c1.17.( 文) (本小题主要考查三角变形化归能力, 及三角函数图象性质和图象的变换等知识满分 12分)解 :(1)1131131分22222x)3xsinxsinxsin(ycos44cosx426444于是 , 此函数的最小正周期为11 -5分,值域为 ,22(2)当 ymax

18、1时 , 此时 2x2kxk(k Z)2626自变量 x的集合为 x | xk, kZ- 7分6(3)y sin x纵坐标不变横坐标缩小到原来的一半sin 2x横坐标向左平移12个单位sin2(x) sin(2x)纵坐标不变126纵坐标缩小到原来的1112312)横坐标不变ysin( 2xycos xsin x cos x(x R)26224-12分18 . ( 本小题主要考查概率及其基础知识和运算能力，满分12 分.)（理）解 (1)由表知：英语4 分，数学 3 分是学生有7 人，总学生数是50 人所求概率为73分50(2) m3 的条件下，即英语成绩在3 分及 3 分以上的学生为总体，总体

19、数 35 人， 又 n = 3的学生数为 1+7=8，所求概率8 . -6分35(3) 总学生数是 50，表中标出学生总数是 47 人，a + b = 50 47 = 3.Em = 5 1 3 1 0 1 + 4 1 0 7 5 1 + 321093505050+2 1 b 6 0 a +1 0 0 1 1 3 =78 -9分505025(4) m= 2 与 n = 4 相互独立 , P ( m = 2)· P ( n = 4 ) = P(m = 2, n= 4)即 1b 6a · 31b =b , 得 b = 1, a = 2.-12分505050（文） (1) 由 n

20、2n44n, 可解得n4或n 11,3分334由题意知 n1, 2, 3 或 n12, 13,30,共 22 个值,所以所求概率为2211;- 6分3015(2) 设第 m 号和第 n 号的两个球的重量相等,其中 mn ,m244n24n44可以得到 mn12 ,9分当 34m333 时,则 (m, n)(1,11), (2,10), (5,7),共 5种情况 ,51所以所求概率为C30287 .- 12分19 (. 本小题主要考查空间线面关系，考查空间想象能力和推理论证能力，满分 12 分.)解 . （ 1） PB平面 ABC，平面 PBC平面 ABC，又 AC BC， AC平面 PBC侧面

21、 PAC侧面 PBC. -4分（ 2）以 BP所在直角为 z 轴， CB所在直线 y 轴，建立空间直角坐标系，由条件可设P(0,0,42),B(0,0,0),C(0， 42，0），A(42,42 ,0).则 E（0，22，22），F（22，22，22）AE=(4 2, 2 2,22 ),BF =（22，22， 2 2） ,-6分AE·BF= 16,|AE |·|BF |=242 , cos< AE ,BF>= 2 ,3 AE与 BF 所成的角是 arccos2 . -8分3几何解法：（ 2）取 EP中点 G，连 FG，BG，AE 与 BF 所成的角为GFB ,6

22、 分FG2 3,BF2 6,BG25, CosGFBFG 2BF 2BG 222FG BF38 分(3)平面 EFB的法向量为 a= (0,1,1)平面 ABE的法向量为 b = (1, 1,1 )-10 分cos< a, b > =6 ,3二面角 A BE F 的平面角为 arccos6 . -12分3几何解法：（2）（ 3）（3） CE EF ， CEBE ，CE面 BEF ，取 EA 的中点 O，连 OF， OFCE， OF面 BEF ，过 F 作 FH 垂直 BE，垂足为 H（与 E重合），则OEF 为所求 的 AEB F 的 二面 角 10分直角 OFH 中 ， OF 2

23、， FE22， tanOEFOF2EF2二面角 A BE F 的平面角为 arctan2 . - 12分220 ( 本小题主要考查平面向量的概念、抛物线方程性质以及综合运用所学知识分析、解决问题的能力.满分 12 分 .)解：由 BP2 BN 知点 N为 BP中点由 PMAB0 知 PM AB 且点 M与 B 位于 l 同侧 - -2分MN·BP0，MNBP由此知 MN为线段 BP的垂直平分线， 所以应有MBMP -4分由抛物线定义知点M的轨迹为抛物线，点B 为焦点，直线l 为准线（ I ）因为 A1， 0 ， B 1， 0 ，所以 l： x1抛物线方程为y 24x ，即为点 M的轨

24、迹方程 7 分（II ）存在点Q，即为焦点 B（ 1， 0） 8 分证明如下：设EF 为抛物线的焦点弦，设其中点为H，分别由 E、H、F 向 l作垂线，垂足分别为R、 S、 T由梯形的中位线知：HS1 ERFT1EBFB1 EF10分22l2即以 EF 为直径的圆的圆心到直线的距离等于半径所以以 EF 为直径的圆必与直线l 相切所以，存在点 Q，其坐标为（ 1， 0） 12 分21 ( 本小题主要考查函数、不等式、导数等有关知识，考查综合运用所学知识分析和解决问题的能力. 满分 12 分.)解： (1)当 x 1， 0 时， 2 x2 ， 3 ， f( x) g(2 x) 2ax 4x3当x(0， 1) 时，f(x) ( x)2 -4x3，fax f ( x)2ax4x31x0-4分2ax4x 30x1(2) f ( x) 的图象的最高点落在直线y 12 上，即函数的最大值为 12f(x) 为偶函数， 故只需研究函数f( )2ax4x3 在x (0 ，1) 的最大