高等数学课件：8-5隐函数的求导公式

1、2021-12-151第五节第五节 隐函数的求导公式隐函数的求导公式一一 问题的提出问题的提出二二 一个方程的情形一个方程的情形三三 方程组的情形方程组的情形四四 小结小结五五 思考判断题思考判断题(Implicit differentiation)2021-12-152一一 问题的提出问题的提出 在一元函数微分学中我们已经提出了隐在一元函数微分学中我们已经提出了隐函数的概念，并且通过举例的方法指出了不函数的概念，并且通过举例的方法指出了不经过显化直接由方程经过显化直接由方程0),(yxF求出它所确定的隐函数的导数的方法。求出它所确定的隐函数的导数的方法。然而有一问题没有解决：在什么条件下该方

2、然而有一问题没有解决：在什么条件下该方程可以唯一确定函数程可以唯一确定函数)(xyy 是可导的？并且函数)(xyy 2021-12-1530),(. 1yxF二二 一个方程的情形一个方程的情形( (One equation)One equation)隐函数存在定理 1 设函数),(yxF在点),(00yxP的某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(00 yxF，0),(00 yxFy，则方程0),( yxF在点),(00yxP的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数)(xfy ，它满足条件)(00 xfy ，并有 yxFFdxdy . 隐函数的求导公式（隐函数的求导公式（1）20

3、21-12-154 定理的证明比较细微而繁复，这里从略，定理的证明比较细微而繁复，这里从略，仅推导（仅推导（1）式。）式。 . 0)(, ),(, 00 xyxFxyyyx则则有有可可导导函函数数的的某某邻邻域域内内确确定定了了连连续续设设方方程程在在点点,0 dxdyyFxFx求求导导，得得两两端端对对根根据据链链式式法法则则，在在方方程程某个邻域内，有某个邻域内，有的的，所以在，所以在连续，且连续，且由于由于),(0),(0000yxyxFFyy yxFFdxdy 2021-12-155例例验验证证方方程程0122 yx在在点点)1 , 0(的的某某邻邻域域内内能能唯唯一一确确定定一一个个

4、单单值值可可导导、且且0 x时时1 y的的隐隐函函数数)(xfy ，并并求求这这函函数数的的一一阶阶和和二二阶阶导导数数在在0 x的的值值.解解令令1),(22 yxyxF则则,2xFx ,2yFy , 0)1 , 0( F, 02)1 , 0( yF依依定定理理知知方方程程0122 yx在在点点)1 , 0(的的某某邻邻域域内内能能唯唯一一确确定定一一个个单单值值可可导导、且且0 x时时1 y的的函函数数)(xfy 2021-12-156函函数数的的一一阶阶和和二二阶阶导导数数为为yxFFdxdy ,yx , 00 xdxdy222yyxydxyd 2yyxxy ,13y . 1022 xd

5、xyd2021-12-157例例 2 2 已知已知xyyxarctanln22 ，求，求dxdy.解解令令则则,arctanln),(22xyyxyxF ,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFdxdy .xyyx 2021-12-158隐函数存在定理隐函数存在定理2 2 设函数设函数),(zyxF在点在点,(0 xP),00zy的某一邻域内有连续的偏导数，且的某一邻域内有连续的偏导数，且,(0 xF0),00 zy，0),(000 zyxFz，则方程，则方程,(yxF0) z在点在点),(000zyxP的某一邻域内恒能唯一确的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具

6、有连续偏导数的函数定一个单值连续且具有连续偏导数的函数),(yxfz ，它满足条件，它满足条件),(000yxfz ，并有并有 zxFFxz ， zyFFyz . .0),(. 2 zyxF（2）2021-12-159 定理的证明这里也从略，仅推导（定理的证明这里也从略，仅推导（2）式。）式。 . 0),(, ),( , 000 yxzyxFyxzzzyx则有则有可导函数可导函数的某邻域内确定了连续的某邻域内确定了连续设方程在点设方程在点0, 0 yzzFyFxzzFxFyx求求导导，得得和和两两端端对对根根据据链链式式法法则则，在在方方程程某个邻域内，有某个邻域内，有的的，所以在，所以在连续

7、，且连续，且由于由于),(0),(000000zyxzyxFFzz .,zyzxFFyzFFxz 2021-12-1510例例 3 3 设设04222 zzyx，求求22xz .解解令令则则,4),(222zzyxzyxF ,2xFx , 42 zFz,2zxFFxzzx 22xz 2)2()2(zxzxz 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz 2021-12-15110),(0),(vuyxGvuyxF三三 方程组的情形方程组的情形隐函数存在定理 3 设),(vuyxF、),(vuyxG在点),(0000vuyxP的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且0),(0000 v

8、uyxF,),(0000vuyxG 0 ，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比式Jacobi） vGuGvFuFvuGFJ ),(),( (Equation set)2021-12-1512在点),(0000vuyxP不等于零，则方程组 0),( vuyxF、 0),( vuyxG 在点),(0000vuyxP的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数),(yxuu ，),(yxvv ，它们满足条件),(000yxuu ,vv 0 ),(00yx，并有 ,),(),(1vuvuvxvxGGFFGGFFvxGFJxu 2021-12-1513vuvuxuxuGGFFGGFFxu

9、GFJxv),(),(1,),(),(1vuvuvyvyGGFFGGFFvyGFJyu.),(),(1vuvuyuyuGGFFGGFFyuGFJyv2021-12-1514例4 设0 yvxu，1 xvyu， 求 xu ，yu ，xv 和yv . 解解1直接代入公式；直接代入公式；解解2运用公式推导的方法，运用公式推导的方法，将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求导并移项求导并移项x, vxvxxuyuxvyxuxxyyxJ ,22yx 2021-12-1515xyyxxvyuxu ,22yxyvxu xyyxvyuxxv ,22yxxvyu 将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求导，用同样方法得求导，用同样方法得y,22yxyuxvyu .22yxyvxuyv 2021-12-1516隐函数的