医科数学第一章第三节 函数的连续性

1、一、连续函数的概念一、连续函数的概念二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性三、闭区间上连续函数的性质三、闭区间上连续函数的性质第三节函数的连续性第三节函数的连续性连续变化的曲线对应的函数为连续函数连续变化的曲线对应的函数为连续函数如同体温的升降、血液的流动、机体的成长等，在生如同体温的升降、血液的流动、机体的成长等，在生命科学范畴里，很多变量的变化都是连续不断的函数的命科学范畴里，很多变量的变化都是连续不断的函数的连续性正是客观世界中事物连续变化现象的反映连续性正是客观世界中事物连续变化现象的反映01.函数的增量函数的增量.,)(0000的增量称为自变量在点邻域的任意对的某邻域内有定义在设函

2、数xxxxxxxxf.)(),()(0的增量相应于称为函数xxfxfxfyxy00 xxx 0)(xfy y 一、连续函数的概念一、连续函数的概念x 2 2函数连续性的定义函数连续性的定义,00 xxx就是就是).()(00 xfxfy就就是是 定义定义1-9 设函数设函数 在点在点 及其附近有定义，及其附近有定义，如果如果 时，也有时，也有 ，即，即则称函数则称函数 在点在点 处连续处连续(continuous)，称，称 为为 的连续点的连续点(continuous point).0 x0 x0)()(limlim0000 xfxxfyxx0 x0 x,0 xxx设设)()(0 xfxfy注

3、意注意:故定义中故定义中1-9的极限式等价于的极限式等价于)()(lim00 xfxfxx)(xfy 0y)(xfy )(xf因此，函数在一点连续的充分必要条件是同时满足因此，函数在一点连续的充分必要条件是同时满足:;)()1(0处处有有定定义义在在点点xxf;)(lim)2(0存存在在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx 例例1-41 讨论函数讨论函数 在在 的连续性的连续性 0, 00,1sin)(xxxxxf0 x解解:0)0() 1 (f 01sinlim)2(0 xx x)0()(lim)3(0fxf x所以所以 在在 连续连续0 x)( xf3.单侧连续单侧连续.)()

4、,()(lim)(;)(),()(lim)(00000000处处右右连连续续在在点点则则称称在在且且处处的的右右极极限限存存在在若若函函数数处处左左连连续续在在点点则则称称处处的的左左极极限限存存在在且且在在若若函函数数xxfxfxfxxfxxfxfxfxxf xxxx显然：显然：.)()(00处既左连续又右连续在函数处连续在函数xxfxxf即：即：)(lim)()(lim000 xfxfxfxxxx 例例1-42 ?,00,sin0,)(应满足何种关系和问处连续在设函数baxxxbxxbxaxf解解: :bbxbxbxbxabxaxfxxxxsinlimsinlim,)(lim)(lim00

5、00又afxfxfxx)0()(lim)(lim00由b.a 得af)0(4. 4. 连续函数与连续区间连续函数与连续区间 在区间在区间 内每一点都连续的函数内每一点都连续的函数, ,叫做在区间叫做在区间 内的内的连续函数连续函数, ,或者说函数在区间或者说函数在区间 内连续内连续. .,)(,),( 上连续在闭区间则称函数处左连续在右端点处右连续并且在左端点内连续如果函数在开区间baxfbxaxba连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.),(ba),(ba),(ba例例1-431-43.),(sin内内连连续续在在区区间间函函数数证证明明 xy证明：证

6、明：),(x任取xxxysin)sin()2cos(2sin2xxx, 1)2cos(xx.2sin2xy则,0,时当对任意的|,|sin有,2sin2xxy故. 0,0yx时当.),(sin都是连续的对任意函数即xxy:)(0条件条件处连续必须满足的三个处连续必须满足的三个在点在点函数函数xxf;)() 1 (0处处有有定定义义在在点点xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或或间间断断点点点点的的不不连连续续为为并并称称点点或或间间断断处处不不连连续续在在点点函函数数则则称称要要有有一一个个不不满满足足如如果果上上述述三

7、三个个条条件件中中只只xfxxxf 5 5函数的间断点函数的间断点跳跃间断点跳跃间断点.)(),0()0(,)(0000断断点点的的跳跳跃跃间间为为函函数数则则称称点点但但右右极极限限都都存存在在处处左左在在点点如如果果xfxxfxfxxf )(lim)(lim00 xfxfxx.0为为函函数数的的跳跳跃跃间间断断点点 xoxy.0, 0,1, 0,)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf例例1-1-4444解解：1)(lim, 0)(lim00 xfxfxx可去间断点可去间断点.)(,)(),()(lim,)(00000的的可可去去间间断断点点为为函函数数称称点点则则处处

8、无无定定义义在在点点或或但但处处的的极极限限存存在在在在点点如如果果xfxxxfxfAxfxxfxx oxy112xy 1xy2 , 1,11, 10, 1,2)(xxxxxxf 讨论函数讨论函数例例1-451-45在在 的连续性的连续性1x解：解：, 1)1( f2)(lim1 xfx) 1 (f.0为为函函数数的的可可去去间间断断点点所所以以x 注意注意 ： 可去间断点只要改变或者补充间断处函数可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义的定义, 则可使其变为连续点则可使其变为连续点.2)(lim, 2)(lim11 xfxfxx又又如例如例1-45中中, 2)1( f令令.1, 1,1,

9、10,2)(处连续处连续在在则则 xxxxxxf跳跃间断点跳跃间断点与与可去间断点可去间断点统称为统称为第一类间断点第一类间断点. .特点：特点：.0处处的的左左、右右极极限限都都存存在在函函数数在在点点 xoxy112第二类间断点第二类间断点.)(,)(00的第二类间断点的第二类间断点为函数为函数则称点则称点在在右极限至少有一个不存右极限至少有一个不存处的左、处的左、在点在点如果如果xfxxxf例例1-461-46.0, 0, 0,1)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxfoxy.0为为函函数数的的第第二二类类间间断断点点x解：解：)(lim, 0)(lim00 xfxf

10、xx这种情况称为这种情况称为无穷间断点无穷间断点解：解：,0处没有定义处没有定义在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0为为第第二二类类间间断断点点 xxy1sin 1-1-0.50.5yx.01sin)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxf例例1-471-47这种情况称为这种情况称为振荡间断点振荡间断点第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点可去型可去型第一类间断点第一类间断点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第二类间断点第二类间断点oyx0 xoyx0 xoyx0 x例如例如,)

11、,(cos,sin内连续内连续在在xx.csc,sec,cot,tan在在其其定定义义域域内内连连续续故故xxxx.)0)()()(),()(),()(,)(),(000处处也也连连续续在在点点则则处处连连续续在在点点若若函函数数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 性质性质1二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性性质性质2.)(),(,)(,)( 00000处连续在则复合函数且处连续在函数处连续在若函数xxxfyxuxxxuuuufy注注：极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换. 1 )1(limln10 xxx eln xxx10)1ln(lim 原式原式解：解：.)1

12、ln(lim0 xxx 求求例例1-481-48. 1 )1ln(lim0yyy 原式原式解：解：,1yex 令令),1ln(yx 则则. 0,0yx时时当当yyy10)1ln(1lim 同理可得同理可得.ln1lim0axaxx xexx1lim0求求例例1-491-49 所有基本初等函数在定义域内是连续的所有基本初等函数在定义域内是连续的. .由连续函数由连续函数的性质可知的性质可知: :一切初等函数在其定义区间内都是连续的一切初等函数在其定义区间内都是连续的. .故故对初等函数对初等函数, ,求极限就是求这一点的函数值求极限就是求这一点的函数值例例1-501-50. 1coslim0 x

13、xe求求11cos0 e原原式式解：解：例例1-511-51218arctanlimxxx求求12181arctan原原式式解：解：三、三、 闭区间上连续函数性质闭区间上连续函数性质)()(,11xffba)()(,22xffbaab1 2 定理定理1-3（最值定理）（最值定理） 若函数若函数 在在闭区间闭区间 上连续，则上连续，则 在闭区间在闭区间 上必有最大值和最上必有最大值和最小值小值)(xfy )(xfy ,ba,ba 推论推论（有界性定理）（有界性定理） 若函数若函数 在在闭区间闭区间 上连续，则上连续，则 在闭区间在闭区间 上必有界上必有界)(xfy )(xfy ,ba,bayab

14、BA 定理定理1-4（介值定理）（介值定理） 若函数若函数 在在闭区间闭区间 上连续，则对介于上连续，则对介于 和和 之间的任何数之间的任何数 ，至少，至少存在一个存在一个 ，使得，使得 )(xfy ,ba)(af)(bf)(f 其几何意义为：其几何意义为：连续曲线弧连续曲线弧 与水平直线与水平直线至少相交于一点至少相交于一点 y),(ba)(xfy 推论推论1：在闭区间上连续函数必取得介于最大值和最：在闭区间上连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值。小值之间的任何值。 推论推论2（零点存在定理）若函数（零点存在定理）若函数 在在闭区间闭区间 上连续，且上连续，且 与与 异号（即异号（即 ） ，则，则至少存在一个至少存在一个 ，使得，使得 )(xfy ,ba)(af)(bf0)(f0)()(bfaf因此，称为函数的零点，它就是方程因此，称为函数的零点，它就是方程的根的根)(xf0)(xf注：注：零点不一定唯一零点不一定唯一ba)(xf),(ba例例1-52 证明在区间证明在区间 内至少有一点满足内至少有一点满足)2,0( 证明：证明： 是初等函数，其定义域是初等函数，其定义域为，则为，则 在闭区间上连续在闭区间上连续cos)