高等数学课件：7-6空间直线及其方程

1、2021-12-151第六节第六节 空间直线及方程空间直线及方程一一 问题的提出问题的提出二二 直线的一般方程直线的一般方程四四 两直线的夹角两直线的夹角五五 直线与平面的夹角直线与平面的夹角七七 小结与思考判断题小结与思考判断题三三 空间直线的对称式方程与参数方程空间直线的对称式方程与参数方程六六 平面束平面束(Space of lines and equation)2021-12-152一一 问题的引出问题的引出 我们前面介绍了曲线及其方程，这一节我们主要借助于向量这个工具来研究曲线的特殊情形-直线及其方程。并且研究直线与直线以及直线与平面之间的关系， 在这里强调一下，向量是我们解决本节问

2、题的一个得力工具。定义空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线2 1 (Introduction)2021-12-153xyzo1 2 0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA空间直线的一般方程L二二 空间直线的一般方程空间直线的一般方程设两个相交的平面的方程分别为空间某直线的一般方程并不是唯一的，过此直线的任意两个平面联立都可作为次直线的一般方程注意：注意：2021-12-154xyzo方向向量的定义：方向向量的定义： 如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量叫做这条直线的方向向量sL),(0000zyxM0

3、M M ,LM ),(zyxMsMM0/,pnms ,0000zzyyxxMM 三三 空间直线的对称式方程与参数方程空间直线的对称式方程与参数方程。平行该直线的方向向量向量都容易知道，直线上任一2021-12-155pzznyymxx000 直线的对称式方程tpzznyymxx 000令令 ptzzntyymtxx000直线的任一方向向量的坐标叫做直线的一组方向数。方向向量的余弦称为直线的方向余弦.得直线的参数方程2021-12-156例例1 1 用对称式方程及参数方程表示直线用对称式方程及参数方程表示直线.043201 zyxzyx解解在直线上任取一点在直线上任取一点),(000zyx不妨取

4、不妨取10 x 6320000zyzy解得解得2, 000 zy点点)2, 0 , 1( 是这直线上的一点是这直线上的一点2021-12-157因所求直线与两平面的法向量都垂直因所求直线与两平面的法向量都垂直取取21nns ,3, 1, 4 对称式方程对称式方程,321041 zyx参数方程参数方程.3241 tztytx3 , 1, 2,1 , 1 , 121 nn2021-12-158例例 2 2 一一直直线线过过点点)4 , 2, 1( ，且且和和z轴轴垂垂直直相相 交交，求求其其方方程程. 解解因因为为直直线线和和z轴轴垂垂直直相相交交, 所以交点为所以交点为取取BAs ,0, 2,

5、1 所求直线方程所求直线方程.042211 zyx)4 , 0 , 0(B2021-12-159定义定义直线直线,11111pnmsL 的的方方向向向向量量为为22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL 两直线的方向向量的夹角叫做两直线的夹角两直线的方向向量的夹角叫做两直线的夹角.两直线的夹角公式两直线的夹角公式四四 两直线的夹角两直线的夹角通常指的是锐角通常指的是锐角直线直线,22222pnmsL 的的方方向向向向量量为为2021-12-1510两直线垂直和平行的充要条件21)1(LL , 0212121 ppnnmm的充分必要条件的充分必要条件21)

6、2(LL/,212121ppnnmm 或重合的充分必要条件或重合的充分必要条件直线直线:1L直线直线:2L,2, 3 , 21 s,1, 0 , 12 s, 021 ss,21ss 例如，例如，.21LL 即即2021-12-1511直线直线:1L,13411 zyx直线直线:2L,1222 zyx例例3 求下列两直线的夹角求下列两直线的夹角直线直线1 ,4, 111 sL的的方方向向向向量量为为直线直线1,2,222 sL的的方方向向向向量量为为解解22222221)1()2(21)4(1| )1(1)2()4(21|),cos( LL22 4 2021-12-1512定义定义直线和它在平面

7、上的投影直线的夹直线和它在平面上的投影直线的夹角角 称为直线与平面的夹角称为直线与平面的夹角 ,pnmsL的方向向量直线,CBAn 平面的法向量 2),(ns 2),(ns五五 直线与平面的夹角直线与平面的夹角 0.2 .cos 2 cossin2 2021-12-1513222222|sinpnmCBACpBnAm 直线与平面的夹角公式直线与平面垂直和平行的充要条件 L)1(.pCnBmA L)2(/. 0 CpBnAm2021-12-1514例例 4 4 求求过过点点)0,2,1( 且且与与平平面面012 zyx垂垂直直的的直直线线方方程程. . ,1, 2 , 1 ns直直线线的的方方向

8、向向向量量,1, 2 , 1 n平平面面的的法法向向量量解解.12211 zyx所求直线的方程所求直线的方程2021-12-1515杂列例例 5 5 求求与与两两平平面面34 zx和和152 zyx的的交交线线平平行行且且过过点点)5, 2, 3( 的的直直线线方方程程. 取取21nns 5, 1, 2,4, 0 , 121 nn解解,1, 3, 4 512401 kji.153243 zyx所求直线的方程所求直线的方程2021-12-1516例例 6 6 设设直直线线21121 zyx，平平面面32 zyx，求求直直线线与与平平面面的的交交点点. 解解参数方程参数方程.2121 tztytx

9、代入平面方程，得代入平面方程，得3)21(2)()21( ttt74 t所以交点为所以交点为)71,74,715( 2021-12-1517例例 7 7 求求过过点点)3 , 1 , 2(且且与与直直线线12131 zyx垂垂直直相相交交的的直直线线方方程程. 解解先作一过点先作一过点（2，1，3）且与已知直线垂且与已知直线垂直的平面直的平面 0)3()1(2)2(3 zyx再求已知直线与这平面的交点再求已知直线与这平面的交点,令令tzyx 12131. 1213 tztytx2021-12-1518代入平面方程得代入平面方程得 ,73 t求得交点求得交点)73,713,72( 取所求直线的方

10、向向量为取所求直线的方向向量为373, 1713, 272 ,724,76,712 所求直线方程为所求直线方程为.431122 zyx2021-12-1519六六 平面束平面束 0022221111DzCyBxADzCyBxA由由方方程程组组设设直直线线 L.,222111不成比例不成比例与与确定，其中系数确定，其中系数CBACBA：我们建立三元一次方程我们建立三元一次方程0)()(22221111 DzCyBxADzCyBxA 的的任任意意常常数数，为为不不同同时时为为，其其中中0 直线直线L的平面束方程的平面束方程(plane pencil)2021-12-1520例例8 8解解.02:01012:上的投影直线的方程上的投影直线的方程在平面在平面求直线求直线 zyxzyxzyxL的的平平面面束束方方程程为为过过直直线线 L, 0)1()12( zyxzyx . 0)1()1()1()2( zyx即即 L2021-12-1521, 014 即即41 故故,代代入入平平面面束束方方程程将将 . 013 zyx得得所求投影直线方程为所求投影直线方程为.02013 zyxzyx, 垂直于平面垂直于平面又又. 0)1()1(2)1(1)2