三重积分的计算方法与例题

1、三重积分的计算方法：三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分(一重积分)和一个二重积分。从顺序看：Z2如果先做定积分 f (x, y, z)dz ,再做二重积分 F (x, y)d ，就是“投 ziD影法”，也即“先一后二”。步骤为：找 及在xoy面投影域Do多D上一点(x,y) “穿线”确定z的积分限，完成了 “先一”这一步(定积分)；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D上的二重积z2分，完成 “后二” 这一步。f(x,y,z)dv f (x, y, z)dzdD ziC2如果先做二重积分f(x,y,z)d再做定积分Fdz ,就是“截面DzCi法”，也即“先二后一”。步骤为

2、：确定 位于平面z Ci与z C2之间，即z ci,C2,过z作平行于xoy面的平面截，截面Dz。区域Dz的边界曲面都是z的函数。计算区域Dz上的二重积分f(x,y,z)d ,完成DzC2了 “先二”这一步(二重积分)；进而计算定积分F(z)dz,完成“后CiC2一” 这一步。f(x,y,z)dv f(x, y,z)d dzCi D z当被积函数f 仅为z的函数(与x,y无关)，且Dz的面积(z)容易求出时，“截面法”尤为方便。为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域 投影到xoy面，得投影区域D(平面)(1) D是X型或Y型，可选择直角坐标系计算

3、(当 的边界曲 面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算)(2) D是圆域(或其部分)，且被积函数形如f(x2 y2), fd)时, x可选择柱面坐标系计算(当为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算)(3) 是球体或球顶锥体，且被积函数形如 f(x2 y2 z2)时，可选择球面坐标系计算以上是一般常见的三重积分的计算方法。对向其它坐标面投影或不易作出的情形不赘述。三重积分的计算方法小结：1 .对三重积分，采用“投影法”还是“截面法”，要视积分域 及被积函数f(x,y,z) 的情况选取。一般地，投影法(先一后二)：较直观易掌握；截面法(先二后一)：Dz是 在z处的截面，其边界曲线 方程易写错，故较难

4、一些。特殊地，对Dz积分时，f(x,y,z)与x,y无关，可直接计算Sdz。因而中只要z a,b,且f(x,y,z)仅含z时，选取“截面法”更佳。2 .对坐标系的选取，当 为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲 面所围成的形体；被积函数为仅含 z或zf(x2 y2)时，可考虑用 柱面坐标计算。三重积分的计算方法例题：补例1:计算三重积分Izdxdydz,其中为平面x y z 1与三个坐标面x 0, y 0,z 0围成的闭区域。1.画出 及在xoy面投影域D. 2. “穿线”0 x 1D:0 y 1 x解2 “截面法” 1.画出。2. z0,1过点z作垂直于z轴的平面截得DzDz是两直

5、角边为x,y的直角三角形，x 1 z, y 1 z3.计算 111I zdxdydz zdxdy dz z dxdydzzSdz dz0 Dz0 Dz0补例2:计算 q?y2dv ,其中是x2y2 z2和z=1围成的闭区域。1.画出 及在xoy面投影域D.z x2 2y2由z 1 消去z,得 x2y2 1 即 D: x2 y2 12. “穿线”技y7 z 1,X型 D:1 x 11 x2y3.计算x2 y2dv11 x1dx dy11 x2x21 x 1,2,21 xy 1 x,-22,x yz11/22 x y dz dxy2.11 x2_ x2y2(1. x2y2)dy；1 x2注：可用柱

6、坐标计算。解2 “截面法”z2行 Dz . x0 Dx2 y2 dv22.x ydxdydzz2 .r drdz012 1r3zdz03补例3:化二重积分If (x,y, z) dxdydz为三次积分,其中22 一z x 2y 及z2 x2所围成的闭区域。解：1.画出 及在xoy面上的投影域D.由72.D:“穿线2y22x消去z,y2 12y22x2xD:1 x 1,1 x2x2 2y23.计算If (x, y,z) dxdydz1dx11 x2dy小x22 x2x2f(x,y,z)dz2y2<x2 y2所围成的闭区域。注：当f(x,y,z)为已知的解析式时可用柱坐标计算 补例4:计算

7、zdv,其中为z 6 x2 y2及z1.画出 及在xoy面投影域D,用柱坐标计算2.解zdv2“穿线”解2 “截面法”r(60)21.画出。如图:3.计算zdv= zdv1r cosr sin 化6 r2zdzrdrdrr2dr2.的边界曲面方程为:z=6-r2,z=r D: r2rdr06 r2zdzr262r dr(36r 13r20r2及z r围成。z 0,6 0,2 2,61由z=r与z=2围成;2由z=2与z=6 r2围成;zdv2)dr9230,2,2,6,Dz： rDz : r,62z0 Drdrddzz16z2 Dz2rdrd dzx解：用球坐标计算。由y(x22y2)dvd0

8、A(2 sin2a2 sin d=22_ 3sin0551 Aad=2(A5 a5) sin3 d 505、2a) 345(A55 a )2626 2692zSDzldzzSdz2dzz(z2)dzz(V6""z)2dzz3dz(6zz2)dz0202023注：被积函数z是柱坐标中的第三个变量，不能用第二个坐标 r代换。补例5:计算(x2 y2)dv,其中由不等式0 a 收一7W A,z 0所确定cos sinsin sin得的边界曲面的球坐标方程：az cosP ，连结OP=，其与z轴正向的夹角为 ，OP=P在xoy面的投影为P ,连结OP ,其与x轴正向的 夹角为。: a A, 0 , 022是旋转面x2 y2 2z与平面z=2,z