极限的运算法则 (2)ppt课件

1、第四节第四节 极限运算法则极限运算法则定理定理: 设设u,v为同一变化过程下的两个变量为同一变化过程下的两个变量,且且limu=a,limv=b,那么那么bavuvulimlim)lim(abvuuvlimlimlim)0(limlimlimbbavuvu一、极限运算法则一、极限运算法则推论推论: : 任意有限多个有极限的变量的代数和的极限任意有限多个有极限的变量的代数和的极限等于它们分别极限的代数和等于它们分别极限的代数和. 任意有限多个有极限的变量积的极限等于任意有限多个有极限的变量积的极限等于它们分别极限的积它们分别极限的积.特别地特别地:常数因子可以提到极限符号外边来常数因子可以提到极

2、限符号外边来,即即 为为有有限限正正整整数数）kuukk()(limlim11为有限正整数）为有限正整数）kuukk()(limlim为常数）为常数）cuccu(lim)lim(二、求极限方法举例二、求极限方法举例) 142(lim232xxx求) 142(lim232xxx22232142xxxxxlim)(lim)(lim1)lim(4)lim(22232xxxx11242223例例1 1.531lim232 xxxx求求)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 , 03 531lim232 xxxx)53

3、(lim1limlim22232 xxxxxx.37 3123 例例2 2)32(lim21 xxx, 0 商的法则不能用商的法则不能用)14(lim1 xx又又, 03 1432lim21 xxxx. 030 .3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx例例3 3（非零无穷小的倒数为（非零无穷小的倒数为无穷大）无穷大）小结小结: :则则有有设设,)(. 1110nnnaxaxaxf nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xf 则则有有且且设设, 0)(,)()()(. 20 xQxQxPxf)(l

4、im)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx )()(00 xQxP ).(0 xf ，则则有有（而而若若0000),)(xPxQ)(limxfxx0000000)()(lim)(lim)(limxPxQxPxfxxxxxx注注意意：不不能能写写成成.321lim221 xxxx求求.,1分母的极限都是零分母的极限都是零分子分子时时x.1后后再再求求极极限限先先约约去去趋趋向向于于零零的的因因子子 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 )00(型型(消去零因子法消去零因子法)例例4 4例例5 534352223xxxxx

5、lim求求34352223xxxxxlim271123xxxlim)()(lim131233xxxxx)00(型型分解出因式分解出因式x-(-3)例例6 622024xxxlim求求求求极极限限不不能能直直接接使使用用运运算算法法则则”型型，为为“这这是是一一个个无无理理分分式式，且且00然然后后，无无理理式式有有理理化化我我们们先先将将函函数数中中的的现现有有,式即可求出极限式即可求出极限约去分子与分母的公因约去分子与分母的公因4124120 xxlim)()(lim24242422220 xxxxx原式原式3722222xxxxxlim 求求)1113(lim31 xxx 原式原式11)2

6、(lim)1()1)(2(lim2131 xxxxxxxx2237 2xxxlim求求3722)22)(22()37)(37(lim2 xxxxxxx)1()1(3lim321 xxxx)00(型型)(型型 例例7 7原式原式例例8 83237222xxxlim小结：小结： 对于无理分式当xx0时，若分式的极限为两无穷小之比，可先将分式中现有无理式有理化，然后约去分子与分母的公因式，再求极限。对于对于“-”形式的极限，不能直接利用运形式的极限，不能直接利用运算法则，应先进行适当变形再求极限。算法则，应先进行适当变形再求极限。mmmnnnxbxbxbaxaxa 110110lim（a00，b00

7、，m,n0).0010101111limbaxbxbbxaxaannnnx 2mn, 原式原式011111lim10110 mmmnnmnmxxbxbbxaxaxa3mn，原式，原式=. 1m=n, 原式原式例例9 9法法则则”型型，不不能能直直接接用用运运算算这这是是一一个个“幂幂同同除除分分子子、分分母母我我们们用用式式中中变变量量最最高高次次.147532lim2323 xxxxx求求.,分分母母的的极极限限都都是是无无穷穷大大分分子子时时 x)(型型 .,3再再求求极极限限分分出出无无穷穷小小去去除除分分子子分分母母先先用用x332323147532lim147532limxxxxxx

8、xxxx .72 (无穷小因子分出法无穷小因子分出法)例例10102229251925xxxxxxxlimlim例例2225192592xxxxxxxlimlim又又例例020925122)(lim)(limxxxxx592092522xxxxxxlimlim由由上上例例知知，)21(lim222nnnnn求221nnnlim原原式式)(lim)(limnnnnnn112121221例例1111式中各项都是无穷小，但由于项数随式中各项都是无穷小，但由于项数随 n增大而不增大而不断增加，故不是有限项，运算法则失效。断增加，故不是有限项，运算法则失效。例例1212143133uuulim求求分分别

9、别除除分分子子、分分母母用用”“这这是是一一个个无无理理式式，且且为为u,uuuuuuuuuu11431143133333limlim原原式式3330103022236342334123532123532xxxxxxxxxxxxxxxlimlim再再如如0300 xlimnnnnnnnnnnnn444453425723452723452limlim例例1313 1122)(limxxxxx求求11222xxxxxxlim原原式式1111111222xxxxxlim“”型型例例1414)(limxxxx214 2求求)(limxxxx2142原式原式“0”型型运算法则不能直接使用。先变形，再求极

10、限运算法则不能直接使用。先变形，再求极限4121412xxlim)5(cos312lim22xxxxx求为为有有界界变变量量52xcos为无穷小量，为无穷小量，时，时，因为当因为当3122xxxx0531222)(coslimxxxxx所所以以例例1515由于当由于当x时，时，cosx2+5极限不存在，极限不存在，所以极限运算法则失效。所以极限运算法则失效。三、复合函数的极限三、复合函数的极限 前面已经看到，有些函数前面已经看到，有些函数f(x) 在在x0处有定处有定义，且当义，且当 x x0时，时， f(x) 的极限就等于它在的极限就等于它在x0处的函数值。处的函数值。 在此，我们不加证明地

11、指出：一切初等函在此，我们不加证明地指出：一切初等函数在其定义区间内的任何点处的极限等于该点数在其定义区间内的任何点处的极限等于该点处的函数值。处的函数值。下面给出一个复合函数求极限的定理：下面给出一个复合函数求极限的定理： . 复复合合而而成成及及是是由由设设)()()(xuufyxfy , , 0000又又有有点点附附近近且且若若uxxuxxx)()(lim . , 000aufxfaufuuxxuu)(lim)(lim)(lim则则. , )( 0在定义域内的值是的“自变量”是函数uuufu. 0 xxesinlim求求 , 0 0 而而时时因因为为xuxsin, , 10uuelim所以所以, ,由复合函数求极限法则由复合函数求极限法则 . 10 xxesinlim例例1515这类复合函数的极限通常可写成这类复合函数的极限通常可写成 . 1000eeexxxxsinlimsinlim .limcosxxx求求xxxxxexlncoscoslimlim . 1lnlncoslimeexxx这是求幂指函数极限常用的方法这是求幂指函数极限常用的方法: :.lim)(lim)(ln)(lim)(ln)()(xfxxfxxeexf 即即