最新大一第一学期高数期末考试题及答案

1、精品文档(D)函数F(x)在x=0处没有极值，点(0, F(0)也不是曲线y = F(x)的拐点。14 设 f(x)是连续函数，且f (x) = x + 2 (° f (t)dt ,贝V f(x)=(2x6.已知cosx是f(x)的一个原函数，x则 f(x) COSxdx =x大一上学期高数期末考试、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)1 设 f ( x) = cos x( x + sin x ),则在x = 0处有()(A) f(0)=2( B) f(0)=1 (C) f(0)=0(D) f(x)不可导.设 a (x) = x, P (x)=3_3x,贝U 当 xt

2、1时()2.1 x.(A) (x)与-(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小；(B) (x)与(x)是等价无穷小；(C (X)是比-(x)高阶的无穷小；(D) -(x)是比(x)高阶的无穷小.x3.若F (X)0 (2t x) f( t) dt，其中f(x )在区间上(-行)二阶可导且 f(x) 0，则().(A) 函数F(x)必在x=0处取得极大值；(B) 函数F(x)必在x=0处取得极小值；(C) 函数F(x)在x=0处没有极值，但点(0, F(0)为曲线y = F(x)的拐点；2x2(A) 2( B) 2(C) x -1(D) x 2.二、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)25

3、.lim (13x)sin7 -XrO.精品文档兀2兀22兀12n1lim (cos2 + cos2 +111+ cos2兀)=7. “一 n nnn .12 x2 arcsin x +1i dx 二1*1- x28. -三三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分)9. 设函数厂y(x)由方程ex y sin(xy)二1确定，求y (x)以及y (°).10.1 - x7x(1 x7)dx.11.12.xe_x,x 兰 0i设 f (x)2求3 f (x)dx.y/2x - x ,0 c X 兰 1-ig(x)=f(xt)dtlimlinA设函数f(x)连续，0，且x7 x

4、, A为常数.求13.求微分方程xy 2y 二xlnx满足y(1)g(x)并讨论g(x)在x = o处的连续性.四、解答题(本大题10分)14. 已知上半平面内一曲线 y二y(x) (x 一0)，过点(0,1)，且曲线上任一点 M&oy。)处切线斜率数值上等于此曲线与 x轴、y轴、直线x = x°所围成 面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题(本大题10分)15. 过坐标原点作曲线 “ ln x的切线，该切线与曲线y = |n x及x轴围成平面图形D.(1)求D的面积A ； (2)求D绕直线x = e旋转一周所得旋转体的体积 V.六、证明题(本大题有2小题，每小

5、题4分，共8分)16. 设函数f(x)在-0,1上连续且单调递减，证明对任意的q，0,1，q1f (x) d x q f (x) dx00JIJI匸 iJf(x)dx=0 Jf(x) cos x dx = 017. 设函数f(x)在上连续，且0,0证明：在0,二内至少存在两个不同的点1 , 2，使f( 1)= f( 2)= °. (提xF (x) = if (x)dx示：设0解答一、单项选择题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题(本大题有4小题，每小题1 ,COSX、2e6-()2 +C5. e. 6. 2 x.7.三、解答题(本大题有5小

6、题，每小题9.解：方程两边求导(1 y ) ccxy( xy) ( y =)4分，共16分）兀2.8分,8.3共 40 分)10.解:原式11.解:y(x)_ eX y ycos(xy) ex y xcos(xy)x =0,0 , y(0) = -1u = x7 7x6dx = du(1-u) 112du ()du7u(1 u) 7 u u 11(In |u| -2ln |u 1|) c12ln| x71 ln|1 x7| C77J(x)dx= xedx 亠 I 2x-x2dx 二:xd(-e)0 1 -(x-1)2dx -xe" -ej i cos2 =dn(令x-1=sin =

7、)兀32e31412.解：由 f(0) =0，知 g(0) =°。x1t Jf(u)duxtg(x)二 f (xt)dt 二-0(X = 0)xxf(x) - f (u)dug(x)二0(XT)2xxf(u)du0- limx 50 2x 2f(x) _ Ax2xf(x) Jf(u)du A A2，g （x）在x = 0处连续。ijm g (x)二 lim02= A 2dy 2.y = In x仁dx(e x In xdx C)113. 解：dx x-£dxy 二 e x1 . 1 2 xin x x Cx31 1 1 y（ 1 ） C= o y xin x x9，39四、

8、解答题（本大题10分）x14. 解：由已知且八2oydx*，将此方程关于x求导得y、2y y2特征方程：r -2=0解出特征根:亠 x2x其通解为y=6eC2e代入初始条件y（o）=y I。）=1，2 二 y = _ e 故所求曲线方程为：3五、解答题（本大题10分）得1e3C12x2, C215.解：（1）根据题意，先设切点为由于切线过原点，解出1A = 1则平面图形面积oy In X。(xojnxo)，切线方程：1 y x eX。二e，从而切线方程为:y1e _ey）dy = 2e_11(x - Xo ) Xo（2）三角形绕直线x = e 一周所得圆锥体体积记为曲线y=lnx与x轴及直线x

9、 = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积 为V21V2 =(e - ey)2dy0D绕直线V =Vt -V2 =（5e2 - 12e+3）旋转一周所得旋转体的体积6六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12 分）16.q1qq1f(x)dx-q f (x)dxf(x)dx-q( f (x) d x 亠 i f (x)dx)17.证明：0000qqi= (1-q) f(x)dx-q f (x)dx0q1 0, q 2 q,1f ( i)(2)=q(1q)f(J)q(1_q)f (J) z 0故有：q1f (x) dx -q f (x) dx00证毕。18.xF(x)= Jf(t)dt ,0 Ex 兰兀证：构造辅助函数：0。其满足在°，二】上连续，在(0,二)上可导。F (x)二 f(x)，且 F(0) = F()= 03131兀 310 = J f (x)cosxdx = JcosxdF (x) = F (x)cosxL + If sin x F (x)dx 由题设，有