最新多维随机变量及其分布考研试题及答案

1、精品文档精品文档第二草多维随机变量及其分布、填空题律为X0111P22则随机变量Z二:max X ,Y的分布律为【解题分析】首先要根据Z的定义确定Z的取值范围解：由于X,Y仅取0、1两个数值，故Z也仅取0和故 Pz=0= Pmax( X,Y) =0 =PX =0,Y = 0=:PX=0中丫=0=1滅1=丄,224PZ =1 =1 _PZ =0 =34Z的分布律为Z0 113P442. （2003年数学一）设二维随机变量X,Y的概率密度为,然后求Z取值的概率即可1. （1994年数学一）设相互独立的两个随机变量X,Y具有同一分布律，且 X的分布1两个数值，因X,Y相互独立,6x, OExy 兰1

2、,f （x, y厂0,其它.解:【解题分析】 利用X, Y - D；二二f x, y dxdy求解.图 10-51 1 1P(x y_1)= 6xdxy 二；dx % 6dxdy= Dx4、选择题1.（1990年数学三）设随机变量X和Y相互独立，其概率分布律为m-11PX =m1122则下列式子正确的是（）A X =Y;C PX=Y=1. 2;m-11PY=m1122B PX =Y =0;D PX =Y =1.【解题分析】乍看似乎答案是A,理由是X和Y同分布，但这是错误的，因为，若X =Y , 说明X取什么值时，Y也一定取相同的值，而这是不可能的，所以只能从剩下的三个答案中 选一个，这时只要直

3、接计算 pX二Y即可.解：由X和Y相互独立知P X 二Y二 P X 二1,Y = -1 PX =1,Y = 1= PX =1LPY =T PX =1_PY=111111=A T A 2 2 2 2 2'所以，正确答案是C.二 1 2.（1999年数学三）设随机变量XjL 1IL 4则 PXX2等于（）0 11 1 (i=1,2),且满足卩乂梯2=0 = 1,2 4 一11A 0 ；B - ; C - ; D 1.42【解题分析】本题应从所给条件 卩汶梯2=0心1出发，找出随机变量X1,X2的联合分-101P11P12P13P21P22P23®1P32P331114241412

4、14解：设随机变量X!,X2的联合分布为由 PXiX2 =0二 PXi =0,X2 二-1 PXi =0,X2 =1PX11,X2 =0 PX1 =1,X2 =0 PX1 =0,X2 =0-p21 ' p23 ' p12 ' p32 ' p22 - 1知p11 = P13 二 P31 = P33 = 0,从而有类似地11P21P11 一 P31-44111P23, P12, P32 ：444进一步可知1P22S-P12 - P32 二 0.因此有PX1=0.正确答案是 A.3.（1999年数学四）假设随机变量 X服从指数分布，则随机变量丫二minX,2的分布 函

5、数（）.A 是连续函数；B 至少有两个间断点；C 是阶梯函数；D 恰好有一个间断点.【解题分析】 从公式Fz z = P mi n：X, Y_= 1P ：mi n：X, Y；，z=1-PX 乙丫 z；=1-PX z?PY zl=1 - 1-Fx z 1-Fy z精品文档出发求解即可解:由题设X L e)x 0,x _ 0.Fi(x)*.x _0,x 0,F2(x)二 0,1,x :： 2,x _2.于是Y =mi n X,2 = mi n仆；的分布函数为0,xgF(x) -(Fi(x)(F2(x)H 1-e"0*2,1,xX2.可见其仅有一个间断点x=2.正确答案是D .4.(200

6、2年数学四)设Xi和X2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密 度分别为fi(x)和f2(x),分布函数分别为 Fi(x)和F2(x),则A . fi(x) f2(x)必为某一随机变量的分布密度；B . Fi(X)F2(x)必为某一随机变量的分布函数；C . Fi(x) F2(x)必为某一随机变量的分布函数；D . fi(x) f2(x)必为某一随机变量的分布密度.解：由于若随机变量 X与Y相互独立，它们的分布函数分别为Fi(x)与F2(y)，则Z =maxX,Y的分布函数为Fz(z) = R(x)F2(y)，可知R(x)F2(x)必为某一随机变量的 分布函数.故选择B.注：本题与2

7、002年高数一中的选择题类同.本题也可以用赋值法求解.三、计算与证明题1.(1994年数学三)假设随机变量 X1,X2,X3,X4相互独立,且同分宀X1 X2布，PXi =0 =0.6, PXi =1 =0.4(i =1,2,3,4,)求行列式 x =12 的概率分布.X3 X4【解题分析】X由2 2阶行列式表示，仍是一随机变量，且X二X1X4 - X2X3,由于Xi,X2,X3,X4独立同分布，故X1X4与X2X3也是独立同分布的，因此可先求出X1X4和X2X3的分布律,再求X的分布律解： 记Y =XiX4, Y2 =X2X3,则X =Y%随机变量Y1和丫2独立同分布：PY =1 =PY2

8、=1 =PX2 =1,X3 =1二Pfx2 =1PX3=1；=O.16.PY =0 =PY2 =0 =1 一0.16=0.84.随机变量X二Y -匕有三个可能值-1,0,1.易见PX =-1二 PY =0,Y2 =1 =0.84 0.16 =0.1344,PX =1 = P¥ =1丫2 =0 =0.16 0.84 =0.1344,PX =0 =1 -2 0.1344 =0.7312.于是X1X2,10 1 X =L 1X3X40.13440.73120.1344 一_ 1 2 1 2. (2003年数学三)设随机变量X与丫独立,其中X的概率分布律为 X |_1J0.3 0.7而Y的分

9、布密度为f y ,求随机变量U = X Y的分布密度g(u).【解题分析】 本题是求随机变量函数的分布 ，这里的两随机变量一个是离散型，一个是连续型，我们仍然从求分布函数出发，根据X的不同取值，利用全概率公式来求解.解：设F(y)为y分布函数，则由全概率公式及 X与Y的独立性可知，U = X Y的分布函数为G(u)二 P(U 乞 u)二 P(X Y 3)二P X =1 P X Y3|X=1 P X=2 P X Y5|X=2= 0.3P(X Yu|X =1) 0.7P(X YU|X =2)0.3P(Y < u -1| X =1) 0.7P(Y 3 2|X =2)= 0.3P(Y - u T

10、) 0.7P(Y - u -2) =0.3F(u -1) 0.7F(u -2),由此得 g(u) =0.3f (u -1) 0.7f (u 一2).3.(2006年数学四)设二维随机变量X, Y的概率分布律为-101-1a00.200.1b0.2100.1c其中a，b, c为常数，且X的数学期望EX二-0.2,PY 兰0 X 兰0 = 0.5，记 Z = X +Y.求(1) a，b, c的值;(2) Z 的概率分布;(3) Plx【解题分析】 要求a, b, c的值，只需要找到三个含有 a, b, c的等式即可，这可以由 分布函数的性质及题设中所给的两个条件得到；求Z的概率分布，首先要弄清楚Z

11、的可能取值，由X, Y的取值可知，Z的可能取值为-2 , -1 , 0, 1, 2,然后再求Z取值的概率； 要求P：X二Z?,只需要转化为求关于X, Y的概率，由PX =Z".；=PlX =X Y“.；=PY=0?，既可得出结论.解： 由概率分布的性质知，a b c 0.1,即 a b c = 0.4 由 EX =-0.2,可得-a c = -0.1.再由rJ、，py 兰 0, X 兰 0 a+b + o.1 CLpfY EOX 兰0扌=T.< = 0.5,p|X 兰。 a + b + 0.5得 a b =03解以上关于a, b, c的三个方程得 a =0.2,b =0.1,c

12、 = 0.1 .(2) Z的可能取值为-2 , -1 , 0, 1, 2,Plz 二2 ；=PlX 1,Y 二-1 ；=0.2 ,PZ 二1 ；=PX 二-1,Y =0? PX =0,Y =7；=0.1,P；Z =0二 PfX 二 -1丫 =1 PfX =0,Y =0;pfX =1,Y 二-V =0.3P：Z二 PfX =1,Y =0? PX =0,Y =讥0.3 ,PfZ =2.； = PlX =1,Y =1；=0.1 .即Z的概率分布律为Z-2-1012p0.20.10.30.30.1(3) Plx =Z ；=PX =X Y ；=PY 3 = 0 b 0.1=024.（1987年数学一）设

13、随机变量X,Y相互独立，其概率密度函数分别为fx(X)1,0,0 _x _1其它，0,y 0y空0求Z =2X Y的概率密度函数【解题分析】 此类问题，一般有两种解法：一种是先写出二维随机变量 （X,Y ）的联合概 率分布密度函数，再计算Z = 2X Y的概率分布密度函数，另一种是直接利用两独立随机 变量和的分布密度计算公式 （即卷积公式）求解.解：方法1由于随机变量 X ,Y相互独立，所以二维随机变量（X,Y ）的概率分布密 度函数为f(x,Y)(x,y) = fx(x)LfY(y)二 e0,OzxEl,y 0, 其它.因此，随机变量Z的分布函数为Fz(z) = P2 X Y : z = f

14、x(x)LfY(y)dxdy0, z 兰 0,fz _2x02dx.00,ej(2)dx,1z_2x0dx 0edy12x_ze )dx,zg0 ： z 岂 2,z 2.2x y :z所以，随机变量Z的分布密度函数为0,z",1fz z =Fz z = ?(ld),0：z 乞 2,12丄-(e -1)e , z>2.方法2由于随机变量 X,Y相互独立，所以，由卷积公式知，随机变量Z的密度函数为1 1fz(z) = . _ fx(x) fY(z 2x)dx = ；0 fY(z 2x)dx0,Z 兰 0,=皆 ezJ2x)dx, 0 c z 兰2,$01 e'z'x

15、)dx,z>2.，00,Z",1=(1-e“0 士2,21(e2-1)e=z>2.25.（1999年数学四）设二维随机变量（X ,Y ）在矩形G =（ x, y） | 0乞x乞2,0乞y < 1上服从均匀分布，试求边长为X和丫的矩形面积S的概率分布密度函数f （s）.【解题分析】由题设容易得出随机变量（X ,Y ）的分布密度，本题相当于求随机变量X,Y的函数S = XY的分布密度.可先求出其分布函数，再求导得分布密度在求分布函数时,一定要注意对S的取值范围进行讨论解：由于二维随机变量（X,Y ）服从均匀分布，所以，它的概率分布密度函数为f(x,y)二 2,0,若(x

16、, y) G,若(x, y) G.精品文档设F （s）二PS <s为S = XY的分布函数,则当 s 乞0 时，F(s)=0; 当 s_2 时，F(s)=1.(s,1)；位于曲线xy =s上方的点满足 xy s,位于下方的点满足 xy：s,于是F (s)二 P S 乞 s二 P XY 岂 s = 1 - P XY s11 21 s=1 dxdy=1 dx sdy(11 n2-lns).xys22 s于是,1l-(ln 2 ln s), 若0 csc2 f(s)= 2V0,若 s_0 或 s_2.6.（2001年数学一）设某班车起点站上车人数X服从参数为C 0）的泊松分布，每位乘客中途下车

17、的概率为 p（0 ： p <1）,且中途下车与否相互独立以Y表示在中途下车的人 数，求：（1）在发车时有n个乘客的条件下，中途有 m人下车的概率；（2）二维随机变量（X,Y）的概率分布.【解题分析】 显然，第一问求的是条件概率 ，发车时有n个乘客,中途有m人下车的 概率,为n重伯努利概型，可以依此求解.其次，要求二维随机变量 (X,Y)的概率分布，首先 确定X，Y的取值，然后按乘法公式求解解：(1)设事件A =发车时有n个乘客, B =中途有m个人下车,则在发车时有n 个乘客的条件下，中途有m个人下车的概率是一个条件概率，即P(B| A)二P(Y =m|X 二n).根据n重伯努利概型，有

18、P(B|A)=Cmpm(1-p)n，其中 O Em E n,n =0,1,2,(2)由于 P(X 二 n，丫二 m)二 P(AB)二 P(B |A)|_P(A),而上车人数服从 P(，)，因此,nP(A) e，n!于是(X,Y)的概率分布律为-nP(X = n,Y =m) = P(Y=m X =n )P(X = n ) = cmpm(1 其中 n!0 zm 乞 n,n =0,1,2ll 7.(2001年数学三)设随机变量X和Y的联合分布在正方形G =( x, y):1乞x乞3,1乞y乞3(如图10-7)上服从均匀分布，试求随机变量U =| X - Y|的概率分布密度函数p(u).yy - x =3/Z/1h.0L3图 10-7【解题分析】 本题主要考查随机变量函数的分布，可从分布函数出发求解但是,这里要注意的是随机变量函数带有绝对值解：由条件知X和Y联合密度为1f (x,y)二 40,若1乞x岂3,1乞y空3,其它以F(u)二P(U乞u)(-： : u ；：)表示随机变量U的