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文档简介

1、名师精编优秀资料条件概率专题一、知识点只须将无条件概率P(B)替换为条件概率P(B A),即可类比套用概率满足的三条公理及其它性质在古典概型中-P( AB) k( AB ) 事件aB包括的基本事件(样本点)数P ( B A)=P (A) 4(A) 事件A包括的基本事件(样本点)数在几何概型中-P(B A)=P(AB)P(A)区域AB的几何度量(长度,面积,体积等)区域A的几何度量(长度,面积,体积等)条件概率及全概率公式3.1.对任意两个事件 A B,是否恒有P(A) > P(A| B).答:不是.有人以为附加了一个 B已发生的条件,就必然缩小了样本空间, 也就缩小了概率,从而就一定有P

2、(A) > P(A|B), 这种猜测是错误的.事实上, 可能P(A) > P(A| B),也可能P(A) < P(A|B),下面举例说明.在0,1,9这十个数字中,任意抽取一个数字,令A=抽到一数字是3的倍数;B=抽到一数字是偶数;B2=抽到一数字大于8,那么P(A)=3/10,P(AB)=1/5,P(AB)=1.因此有 P(A) >P(A| Bi),P(A) V P(ABO.3.2.以下两个定义是否是等价的.定义1.若事件A、B满足P(AB=PtA)P(B>, 则称A B相互独立.定义2.若事件A、B满足P(A|B)=P(A)或P(BA)=P(B),则称A、B相

3、互 独立.答:不是的.因为条件概率的定义为P(A| B)=P(AB>/ P(B)或 P(B| A)=P(AB/ P(A)自然要求P(A)工0, P(B)丰0,而定义1不存在这个附加条件,也就是 说,P(AB=P(A)P(B)对于P(A)=0或P(B)=0也是成立的.事实上, 若P(A)=0 由 OW P(AB> < P(A)=0 可知 P(AB=O 故P(AB=P(A)P(B).因此定义1与定义2不等价,更确切地说由定义2可推出定义1, 但定义1 不能推出定义2,因此一般采用定义1更一般化.33 对 任 意 事 件 A 、B,是 否 都有P(AB < P(A) <

4、 P(A+B) < P(A)+P(B).答:是的.由于 P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB (*)因为 P(AE) >0,故P(A+B) < P(A)+P(B).由 P(AE)=P(A)P(B| A),因为 OW P(B| A) < 1,故P(Ap < P(A);同理 P(AB) W P(B), 从而 P(B)-P(AB >0,由(*)知 P(A+B) > P(A).原命题得证.34在引入条件概率的讨论中,曾出现过三个概率:P(A| B), P(BA), P(AB.从事件的角度去考察,在A、B相容的情况下,它们都是下图中标有阴影的部分, 然而

5、从概率计算的角度看,它们却是不同的这究竟是为什么?答:概率的不同主要在于计算时所取的样本空间的差别p(Al B)的计算基于附加样本空间 q b;P(B| A的计算基于附加样本空间 Q a;P(AB»的计算基于原有样本空间 Q 3.5.在n个事件的乘法公式:P( AAA)=P( A) P(A>| Ai) P( A AA)P( A AAA-i)中,涉及那么多条件概率,为什么在给出上述乘法公式时只提及 P(AA")>0 呢?答: 按条件概率的本意, 应要求 P(A)>0,P(AA)>0,, P(AA A_2)>0,P(AA An-l)>0.事

6、实 上,由 于 AA2A3A-2 I AlAAAn-2 A-1,从 而 便 有 P(AAAn-2) > P(AAAi)>0.这样, 除P(AA牛)。作为题设外, 其余条件概率所 要求的正概率, 如P(AAA-2)>0,, P(AA) >0, P(Ai)>0便是题设条 件P(AAAn-i)>0的自然结论了 .3.6.计算P(B)时, 如果事件B的表达式中有积又有和,是否就必定要用全 概率公式.答:不是.这是对全概率公式的形式主义的认识, 完全把它作为一个”公 式”来理解是不对的. 其实,我们没有必要去背这个公式,应着眼于 Ai,A,,A的结构.事实上, 对于具

7、体问题, 若能设出n个事件A,使之满 足名师精编优秀资料(*)就可得B = 5Q = 5j4j十丘4?十十(*)这样就便于应用概率的加法公式和乘法公式.因此,能否使用全概率公式,关键在于(*)式,而要有(*)式, 关键又在于适当地对Q进行一个分割,即有(*)式.3.7.设P(A)工0, P(B)工0,因为有(1) 若A B互不相容,则A、B 一定不独立.(2) 若A、B独立,则A、B 一定不互不相容.故既不互不相容又不独立的事件是不存在的.上述结论是否正确.答:不正确.原命题中的结论(1)(2)都是正确的. 逆否命题,有其一就可以了)只能推出在P(A)工0,件A、B既互不相容又独立是不存在的,

8、 相容是不存在的” 事实上 存在的,下面举一例.5个乒乓球(4新1旧), 取到新球,i =1,2, 3.AAA=三次都取到新球,,恰恰相反,但是由(1)(2)(它们互为P(B)工0的前提下,事并不能推出“ A、B既不独立又不互不既不互不相容又不独立的事件组是每次取一个,因为是无放回抽取,故A、A、A互相不独立,又显然是可能发生的, 即A、A、A可能同时发无放回抽取三次,记A=第i次生, 因此A、A、A3不互不相容.3.8.事件A、B的“对立”与“互不相容”有什么区别和联系 ?事件A、B “独 立”与“互不相容”又有什么区别和联系?答:“对立”与“互不相容”区别和联系,从它们的定义看是十分清楚的

9、,大体上可由如下的命题概括:“对立” 一“互不相容”,反之未必成立.至于“独立”与“互不相容”的区别和联系,并非一目了然.事件的互不相容性只考虑它们是否同时发生,是纯粹的事件的关系,丝毫未涉及它们的概率,其关系可借助图直观显示.事件的独立性是由概率表述的,即当存在概率关系P(A| B)=P(A)或P( B A)= P( B)时,称A、B是相互独立的.它们的联系可由下述命题概括:对于两个非不可能事件 A B,则有“ A、B互不相容” 一“ AB不独立”.其等价命题是:在P(A)>0与P(B)>0下,则有“ A、B独立”A B不互不相容”(相容).注意, 上述命题的逆命题不成立.3.9

10、.设A、B为两个事件,若0<P(A)<1, 0< P(B)<1.(*)则A B相互独立,A B互不相容,_:_工:-.1 ,这三种情形中的任何两 种不能同时成立.答:在条件(*)下当A B相互独立时,有 P(AE)=P(A)P(B);当A B互不相容时,有 P(AB<P(A)P(B);当A-B或占匸丄时,有 P(AE)>P(A)P(B).在条件(*)下,上述三式中的任何两个不能同时成立.因此,A、B相互独立,A、B互不相容丄 这三种情形中的任何两种不能同时成立此结论表明:在条件(*)下,若两个事件相互独立时,必不互不相容,也不一个包含另一个,而只能是相容了

11、.3.10.证明:若P(A)=0或P(A)=1, 则A与任何事件B相互独立. 答:若 P(A)=0,又二三二比 故 ow P(AB) < P(A)=0.于是P(AB)=O=P(A)P(B),所以A与任何事件B相互独立.若P(A)=1,贝U i-:.由前面所证知,与任何事件B相互独立. 再由事件独立性的性质知丿与B相互独立,即A与B相互独立.另种方法证明:由P(A)=1知, 进而有-又 :_!:且 AB 与二 互不相容, 故= F =FAK) + F(AB) =即A与B相互独立.3.11. 设 A 、 B 是两个基本事件, 且0<P(A)<1, P(B)>0,匚门- :

12、-,问事件A与B是什么关系?由比例性质,得:.KA)尸(& + P(A)所以 P(AB)=P(A)P(B).因此事件A与B相互独立.解 2由- - _ - -; .- 得< - - |» 上.: -:-I .因而."l:_ - : +I 丄| :.又-+-.,所以 P(B|A)=P(B).因此事件A与B相互独立.3.12. 是不是无论什么情况,小概率事件决不会成为必然事件答:不是的.我们可以证明,随机试验中,若A为小概率事件,不妨设P( A)= & (0 v & v 1为不论多么小的实数),只要不断地独立地重复做此试验, 则A迟早要发生的概率为

13、1.事实上,设A=A在第k次试验中发生,则P(A)= &,匚-,在前n次试验中A都不发生的概率为:二 - >. : <于是在前n次试验中,A至少发生一次的概率为(出十&十十心)如果把试验一次接一次地做下去, 即让nx,由于o<£< 1,则当mx时,有 Pn 1.以上事实在生活中是常见的,例如在森林中吸烟,一次引起火灾的可能性是 很小的,但如果很多人这样做,则迟早会引起火灾.3.13. 只要不是重复试验,小概率事件就可以忽视.答:不正确.小概率事件可不可以忽视,要由事件的性质来决定,例如在森 林中擦火柴有1%勺可能性将导致火灾是不能忽视的,但火柴

14、有1%勺可能性擦不 燃是不必在意的.3.14. 重复试验一定是独立试验,理由是:既然是重复试验就是说每次试验名师精编优秀资料的条件完全相同,从而试验的结果就不会互相影响,上述说法对吗?答:不对我们举一个反例就可以证明上述结论是错误的一个罐子中装有4个黑球和3个红球,随机地抽取一个之后,再加进2个与 抽出的球具有相同颜色的球,这种手续反复进行,显然每次试验的条件是相同 的.每抽取一次以后,这时与取出球有相同颜色的球的数目增加,而与取出球颜色不同的球的数目保持不变,从效果上看,每一次取出的球是什么颜色增加了下 一次也取到这种颜色球的概率,因此这不是独立试验,此例是一个如同传染病现象的模型,每一次传

15、染后都增加再传染的概率3.15. 伯努利概型的随机变量是不是都服从二项分布 .答:不一定.例如某射手每次击中目标的概率是P,现在连续向一目标进行射击,直到射中为止.此试验只有两个可能的结果:A=命中 ; J =未命中, 且P(A)=p.并且是重复独立试验,因此它是伯努利试验(伯努利概型),设Xk=第 k次射中,人显然是一个随机变量,但p(X<=k)=qk-1p,k=1,2,,其中 q=p-1,可见X<是服从参数为p的几何分布,而不是二项分布.3.16. 某人想买某本书,决定到3个新华书店去买,每个书店有无此书是等 可能的.如有,是否卖完也是等可能的.设3个书店有无此书,是否卖完是相

16、 互独立的.求此人买到此本书的概率.答:(37/64).3.17. 在空战中,甲机先向乙机开火,击落乙机的概率是0.2; 若乙机未被 击落,就进行还击,击落甲机的概率是 0.3, 则再进攻乙机,击落乙机的概 率是0.4.在这几个回合中,(1) 甲机被击落的概率是多少?(2) 乙机被击落的概率是多少?答:以A表示事件“第一次攻击中甲击落乙”,以B表示事件“第二次攻击 中乙击落甲”,以C表示事件“第三次攻击中甲击落乙”.(1) 甲机被击落只有在第一次攻击中甲未击落乙才有可能,故甲机被击落的概率为F(初=P(S)P(B |Z) = Cl-0.2)x0.3= 0.24(2) 乙机被击落有两种情况.一是

17、第一次攻击中甲击落乙,二是第三次攻击 中甲击落乙,故乙机被击落的概率是F ABC) =* 尸卫BC)=F(& + 建刁)尸(牙 | J) P(C AB=0.2+(1-0.2)(1-0.3) X 0.4=0.424.3.18. 某个问题,若甲先答,答对的概率为0.4;若甲答错,由乙答,答对的 概率为0.5.求问题由乙答出的概率.答:(0.3)3.19. 有5个人在一星期内都要到图书馆借书一次,一周内某天借书的可能 性相同,求(1) 5个人都在星期天借书的概率;(2) 5个人都不在星期天借书的概率;(3) 5个人不都在星期天借书的概率.答:(1)(1/7 5);(6/7 );(1-1/7)

18、.、例题解设事件A表示“甲取到的数比乙大设事件B表示“甲取到的数是5的倍数则显然所要求的概率为P(A|B).1.从1,2, 3,,中5甲、乙两人各任取一数(不重复),已知甲取到 的数是5的倍数,求甲数大于乙数 的概率.根据公式厂;厂 士二而 P(B)=3/15=1/5 ,P(A|B)=9/14.解.设事件A表示“掷出含有1的点数2.掷三颗骰子,已知所得三个数都不一样 求含有1点的概率.设事件B表示“掷出的三个点数 都不一样”.名师精编 _优秀资料则显然所要求的概率为P(A|B).硬 18,P(A|B)=1/2.根据公式然P(A)=1/N,1解.设事件Ai表示“第i次取到白球”(i=1,2,N)

19、则根据题意 P(Ai)=1/2 , P(A2Ai)=2/3,3.袋中有一个白球和一个黑 球,一次次地从袋中摸球,如果 取出白球,则除把白球放回外 再加进一个白球,直至取出黑 球为止,求取了 N次都没有取 到黑球的概率由乘法公式可知:P(AiA2)=P(A2|Ai)P(Ai)=1/3.而 P(A3AiA2)=3/4 ,P(AiA2A3)=P(A3|Ai A2)P(Ai A2)=i/4 .由数学归纳法可以知道P(AiA2 AN)=i/(N+i).解.设事件A表示取到的是甲袋”,则事件B表示最后取到的是白根据题意:P(B|A)=5/i2 ,厂,V表示取到的是乙袋”,4.甲袋中有5只白球,7只红球;乙

20、袋中有4只白 球,2只红球.从两个袋子中任取一袋,然后从所球取到的袋子中任取一球,求取到的球是白球的概 率.P(A)=i/2.1324尸的=F© | A)P(A)一x 十 _ x (1 _)12 232解.设事件A表示 从甲袋取的2个球中有i个白球其中 i=0,1,2 .事件B表示“从乙袋中取到的是白球”.显然Ao, Ai, A2构成一完备事件组,且根据题意5.有甲、乙两袋,甲袋中有3只 白球,2只黑球;乙袋中有4只白P(Ao)=1/10 ,P(Ai)=3/5 ,P(B| A)=1/2 ,球,4只黑球.现从甲袋中任取 个球放入乙袋,然后再从乙袋 中任取一球,求此球为白球的 概率2 P

21、(A)=3/10 ;P(B A)=2/5 ,P( B A)=3/5 ;由全概率公式P(B)=P(B|Ao)P(Ao)+P(B|Ai)P(Ai)+P(B|A2)P(A2) =2/5X 1/10+1/2X 3/5+3/5 X 3/10=13/25.解.设事件A表示“第一次取到的是1号球”,则一表示“第一次取6.袋中装有编号为1,2, -N的N个球,到的是非1号球”.先从袋中任取一球,如该球不是1号球就放回袋中是 1号球就不放回,然后再事件B表示“最后取到的是2摸一次,求取到2号球的概率.号球”.P(BA)=1/(N-1),F =F(£ |砂仃X (N-1)/N=1/(N-1)X 1/N+

22、1/N=(N2-N+1)/N2(N-1).7.袋中装有8只红 球,2只黑球,每次从中 任取一球,不放回地连 续取两次,求下列事件 的概率.(1) 取出的两只 球都是红球;(2) 取出的两只 球都是黑球;(3) 取出的两只 球一只是红球,一只是 黑球;(4) 第二次取出的是红球.解.设事件A1表示 第一次取到的是红球”,设事件A2表示第二次取到的是红球 (1)要求的是事件 A1A2的概率.根据题意P(A1)=4/5,八八,P(A2A1)=7/9, P(A1A2)=P(A1)P(A2A1)=4/5 X9=28/45.(2)要求的是事件丄I的概率.根据题意:八,罚爲|石)"旳F石耳)&qu

23、ot;(石尸(石 14)=l/5xl/9 =1/45 .(3)要求的是取出一只红球一只黑球 ,它包括两种情形,即求事件 . _ - 1丄的概率.名师精编优秀资料二一 1_:-.1m 丄:-,一 . : /1',戸百缶)=尸(瓦)尸(禺|耳)=V5xS/9 =3/45 ,一.- l:1 (4)要求第二次取出红球,即求事件 A的概率.由全概率公式:= F(地 | 如F的)* 尸 IAW=7/9 肖/5+8/9 t/5=4/5.&某射击小 组共有20名解.设事件A表示“射手能通过选拔进入比赛”,射手,其中一设事件Bi表示 射手是第i级射手”.(i=1,2,3,4)级射手4人, 二级射

24、手8人,显然,Bi、B2、B3、B4构成一完备事件组,且三级射手7人, 四级射手1人.过选拔进入比 赛的概率分别 是 0.9、0.7、9.轰炸机轰炸某目标: 它能飞到距目标400、200、100(米)的概率分别是 0.5、0.3、0.2,又设它在距目标400、200、100(米)时的命中率分别是0.01、0.02、P(Bi)=4/20, P(B2)=8/20, P(B3)=7/20, P(B4)=1/20;P(A|Bi)=0.9, P(A|B2)=0.7, P(A|B3)=0.5, P(A|B4)=0.2.四级射手能通由全概率公式得到P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)

25、+P(A|B3)P(B3)+P(A|B4)P(B4)0.5、0.2 .求任=o£x 4/20+0.7X 8/20+0.5X 7/20+0.2X选一名射手能通过选拔进入1/20=0.645.比赛的概率.解.设事件A1表示“飞机能飞到距目标400米处”,设事件A2表示“飞机能飞到距目标200米处”设事件A3表示“飞机能飞到距目标100米处”用事件B表示“目标被击中”.由题意,P(A1)=0.5, P(A2)=0.3, P(A3)=0.2,0.1 .求目标被命中的 概率为多少?且Ai、A2、A3构成一完备事件组又已知 P(B|Ai)=0.01, P(BA2)=0.02, P(BA3)=0.

26、1.由全概率公式得到:P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+P(B|A3)P(A3)=0.01 E.5+0.02 (X3+0.1 0.2=0.031.解.设事件A表示第i道工序出次品i=1,2,3,4因为各道工序的加工互不影响,因此A是相互独立的事件P(A”=0.02,P(A2)=0.03,10.加工某一零件共需 要4道工序,设第一、第 二、第三、第四道工序 的次品率分别为2:、 3、5、3:,假定各 道工序的加工互不影响 求加工出零件的次品率 是多少?P(A3)=0.05, P(A4)=0.03,只要任一道工序出次品,则加工出 来的零件就是次品.所以要求的是(A1+A

27、2+A3+A4)这个事件的概率为了运算简便,我们求其对立事件 的概率尸(4 +去+划+A)=戸国爲(1-0.02)(1-0.03)(1-0.05)(1-0.03)=0.876.二 P(A什A2+A3+A4)=1-0.876=0.124.11.某人过去射击的成绩是 每射5次总有4次命中目标 根据这一成绩,求(1)射击三次皆中目标 的概率;解.设事件Ai表示 第i次命中目标",i =1,2,3根据已知条件P(A)=0.8,: - -,i=1,2,3某人每次射击是否命中目标是相互独立的,因此事件Ai是相互独立的(2)射击三次有且只有2(1) 射击三次皆中目标的概率即求P(A1A2A3).次

28、命中目标的概率;(3)射击三次至少有次命中目标的概率由独立性:3P(AiA2A3)=P(Ai)P(A2)P(A3)=0.8 =0.512.(2) '射击三次有且只有 2次命中目标”这个事件用B表示.显然 左二卫卫2禺十"1北2盘3扌, 又根据独立性得到:P0) = C扭如砒2讯血=3汕*沁2勿(3) '射击三次至少有2次命中目标”这个事件用C表 示.至少有 2次命中目标包括 2次和3次命中目标,所以C=B+AiA2A3P( C)= P(B)+P(AiA2A3)=0.384+0.512=0.896.解.设事件Ai表示 第i人能译出密码”,i=1,2,3.由于每一人是否能

29、译出密码是相互独立的,最后只要12.三人独立译某一 密码,他们能译出的 概率分别为1/3, 1/4, 1/5,求能将密码译出 的概率.三人中至少有一人能将密码译出,则密码被译出,因此所求的 概率为P(A什A2+A3).已知 P(A1)=1/3, P(A2)=1/4, P(A3)=1/5,而机州 f 島=尸国爲恳)=尸3¥(爲)4亟)=(1-1/3)(1-1/4)(1-1/5)=0.4. P(A1+A2+A3)=1-0.4=0.6.13.用一门大炮对 某目标进行三次独解.设事件Ai表示“第i次命中目标”,i=1,2,3.立射击,第一、二、设事件Bi表示“目标被命中i弹”,i=0,1,2

30、,3.三次的命中率分别为 0.4、0.5、0.7,若设事件c表示“目标被摧毁”.命中此目标一、二、由已知 P (A”=0.4, P(A2)=0.5, P(As)=0.7;三弹,该目标被摧 毁的概率分别为P(C|B°)=0, P(C|B1)=0.2, P(C|B2)=0.6, P(C|Bs)=0.8.名师精编优秀资料0.2、0.6和0.8,试又由于三次射击是相互独立的,所以 求此目标被摧毁的概率.丨 F(虫1垒虫3 *虫1虫上島+虫生厶)尸(£耳島)十P(珂禺耳)+爲爲)=0.6 %.5 7+0.6 0.5 E.3+0.4 0.5 3=0.36,戸(虽)二 HAH昇$ + AyA2A3 + AAA)p(弓缶+ H竝禺石+产3爲如=0.6

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