2018版高中数学苏教版选修2-1学案：3.1.5空间向量的数量积1

1、( 3 . 1.5 空间向量的数量积 学习目标1掌握空间向量夹角的概念及表示方法， 掌握两个向量的数量积的概念、 性质和 计算方法及运算规律 2 掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单 的问题. 产知识梳理 自主学可 知识点一空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量 a, b,在空间任取一点 0,作 OA= a, b, 则/ AOB 叫做向量 a, b 的夹角 记法 a, b 范围 a, b 0,冗当a, b=亦 寸，a 丄 b 知识点二 空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量 a, b,则|a|b|cosa, b叫做 a, b 的数量积，记作 a b. (2) 数量积的

2、运算律 数乘向量与向量数量积的结合律 (扫)b= Xa b) 交换律 a b= b a 分配律 a (b+ c)= a b+ a c (3) 数量积的性质 两个 向量 数量 积的 性质 若 a, b 是非零向量，则 a 丄 b? a b= 0 若 a 与 b 同向，贝U a b= |a| |b|; 若反向，贝U a b=- |a| |b|. 特别地，a a= |a|2 或 |a 右B为 a, b 的夹角，贝U cos 0=. |a|b| |a b|w |a| |b| 戸题型探究 車点突破 题型一 空间向量的数量积运算 例 1 如图所示，已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 1,

3、点 E, F 分别是 AB, AD 的中点，计算： (1) EF BA； (2)EF BD; (3)EF DC ； (4)BF CE. 解(i)EF BA = 2EBD BA 1 f f f f =2|BD| | BA | cos BD , BA 1 1 =2X 1X 1X cos 60 = 4， 所以 EF BA= ! 4 -f -f 1 -f -f -f -f 1 1 (2) EF BD = 2|BD| |BD| cos BD, BD = X 1X 1X cos 0 =-, f f 1 所以 EF BD = =2 f f 1 f f 1 f f f f (3) EF DC = ?BD DC

4、 = 2|BD| | DC | cos BD , DC 所以辞 DC=-4 f f 1 f f 1 f f (4) BF CE = 2(BD + BA) 2(CB+ CA) 1 f f f f f f f f =4【BD (- BC) + BA ( BC) + BD CA + BA CA =I BD BC BA BC+ (CD CB) CA+ AB AC 1 11111 1 4( 2 2+2 2+2)= 8. b 的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使 a b 计算准确. 跟踪训练 1 已知空间向量 a, b, c 满足 a + b+ c= 0, |a|= 3, |b|=

5、1, |c|=4,则 a b+ b c+ c a 的值为 _ . 答案 -13 解析 / a+ b + c= 0, (a+ b+ c)2 = 0, a2 + b2 + c2 + 2(a b+ b c+ c a)= 0, 32 + 12 + 42 a b + b c+ c a= = 13. 题型二利用数量积求夹角 例 21 1 =2X1X1X cos 120=-4， 反思与感悟 由向量数量积的定义知，要求 a 与 b 的数量积，需已知 |a|, |b|和a，b, a 与 如图，在空间四边形 OABC 中，0A= 8, AB = 6, AC = 4, BC= 5，/ OAC = 45 / OAB

6、= 60 求 OA 与 BC 所成角的余弦值. 解因为 =AC AB, =|OA|AC|COS oA, AC |OA|AB|cosOA, AB =8X 4X COS 135 8X6X COS 120 = 16 谄 + 24. |OA|BC| 题型三利用数量积求距离 例 3 正三棱柱 ABCA1B1C1的各棱长都为 2, E、F 分别是 AB、A1C1的中点，求 EF 的长. 解 如图所示，设 AB = a, AC= b, AA1 = c.由题意知 a= |b|= |c|= 2, 且a, b= 60 a, c = b, c= 90 因为 EF = EA+AA1 + A1F JAB+AA1+1AC

7、 1 1 =?a+ ?b+ c,所以 OA BC=OA AC OA AB 所以 COS OA, BC OA BC 24 16 . 即 OA 与 BC 所成角的余弦值为 3 2 ,2 5 反思与感悟 利用向量的数量积，求异面直线所成的角的方法： （1）根据题设条件在所求的面直线上取两个向量；（2）将求异面直线所成角的问题转化为求向量夹角问题； （3）利用向量数量积求角的大小；（4）证明两向量垂直可转化为数量积为零. 跟踪训练 2 如图所示，正四面体 ABCD 的每条棱长都等于 N 分别是 AB, CD 的中点，求证： MN 丄 AB, MN 丄 CD. 证明 MN AB= (MB + BC +

8、CN) AB = (MB + BC+ _CD) AB f f 1 f 1 f f =(MB + BC + AD AC) AB 1 2 2 1 2 =尹 + a COS 120 丰 $a COS 60 *a2cos 60 =0, 所以 MN 丄AB，即 MN 丄 AB.同理可证 MN 丄 CD. 占 八 所以 EF2= |EF|2= EF2 = ga2+ 芳+ c2 4 4 f 1 1 1 1 、 + 2 2a 2b+ 2b c- 2a c 4 x 2X 2cos 60 =1 + 1+4-1=5, 所以 EF = 5. 反思与感悟 利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基

9、本思 路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式, 求出这几个已 知向量两两之间的夹角以及它们的模，利用公式 ia |= ,aa 求解即可. 跟踪训练 3 如图，已知一个 60的二面角的棱上有两点 A, B, AC, 内且垂直于 AB 的线段.又知 AB = 4, AC= 6, BD = 8,求 CD 的长. 解 / CA 丄 AB, BD 丄 AB, / CA , BD = 120 CD = CA+AB + BD，且CA AB = 0, BD AB = 0, 2 - |CD| = CD CD = (CA+ AB + BD)(CA + AB+ BD) =|CA|2+ |

10、ABf + |BD|2+ 2CA BD =|CA| + |ABf + |BD| + 2|CA|BD|cos CA, BD 2 2 2 1 =6 + 4 + 8 + 2X 6X 8X (-) = 68, -|CD = 2 .17, 故 CD 的长为 2 17. 芦当堂检测 自查自纠 1.若 a, b 均为非零向量，则 ab= |a|b|是 a 与 b 共线的 答案充分不必要 条件. 解析 a b= |a|b|cos a, b= |a|b|? cos a, b= 1? a, b= 0,当 a 与 b 反向时，不 能成立. 2 .已知 a, b 均为单位向量，它们的夹角为 60 ,那么|a- 3b|

11、= _ 答案 .7 解析 T |a 3bf= (a 3b)2 = a2-6a b+ 9b2 =1 6X cos 60 9= 7.二 |a 3b|= 7. 3.对于向量 a、b、c 和实数 入下列命题中的真命题是 _ .(填序号) 若 a b= 0，贝U a= 0 或 b= 0; 若a= 0,贝 V = 0 或 a= 0; 若 a2 = b2，贝 V a = b 或 a = b; 若 a b= a c,贝U b= c. 答案 解析 对于，可举反例：当 a 丄 b 时，a b= 0; 对于，a2= b2,只能推得|a|=|b|,而不能推出 a= ); 对于，a b= a c 可以移项整理得 a (b c)= 0. 4 .设向量 a, b 满足 |a+ b|=0, |a b|=J6，贝U a b= _ . 答案 1 解析 |a+ b|2= (a + b)2= a2+ 2 a b+ b2= 10, 2 2 2 2 |a b|2= (a b)2= a2 2 a b+ b2 = 6, 将上面两式左、右两边分别相减，得 4a b= 4, a b= 1. 5 .若向量 a, b 满足：|a|= 1, (a+ b)丄 a, (2a + b)丄 b,贝 U |b|= _ . 答案 .2 fa + b a = 0, a + b a = 0, 解析由题意知 即 (2 a+ b) b