偏微分方程数值解习题解答案

1、偏微分方程数值解习题解答案第二章习题答案第二章第三章第四章第五章第六章 第二章第三章第四章第五章第六章 第二章第三章第四章第五章第六章 第二章第三章第四章第五章第六章 案P243+J5.役有遑近热传导方程的带权三层差分格式；4（1.15）0+日）_2L-&J._L川rtk其中9t。.试计算其截断误差，并证明当6=1一时，截断强差的 2 12r阶最高*9（，）+。）。/,恒奇，。2二人七） 产3 一”3.t L，j闻一 A< IM开儿国IwJM，* “，“华£若”：笔之.加强出*. r. 一岛 "4/,我，飞2,品"；整言门十工-工+7肃十前彳>

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3、备卡-也P2514J2.证明如下格式叵稳定：aw1 Ji十r12孙 融丹-4计3的-0:哈明-3 *-w*-吟1+喟+小一树+»沁2以：+以3JZq>0)* -/裾+G W超7 碎“上F + ©1.Z £01L £1 £ Z9呜号"&C引； +1' -吟-rM + t± *W阔U号畔/H 4 -学用呜-门* /十步与卜：rl 1 +"丘13- A7一<I r(«tr)+(- - -)2 EBJ他61Z ZP265小L用Fourier方法证明差分格式(U9稳定的充要条件是*22L

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12、差分格式蝇时植定.证明*记ri%.阴行Z3激月成=吗（!>匕产十用热”；处以白尸一产，H是任意支参豌昧到为祗1濯。中有一三八产:i V* =如，毋 + 7-附于4，因为口士*所以r3L因此；，h Ir r <-nr M 户r3 ra 1 rit/+”* = a当,2u,th证明记尸二号比：将029）改写成十，(3.28)以吗=是任意实参数）代到方程中有；4&E+11V =V Av ,1十工2r曲曲所以我们有:H I J1 + 4,加、或门， 见=55 I，1十行.in .i所以差分格式。29）绝对稳定鹿胃b 吃才.救？曲谶弓席| -外心一心IXa时为一仲与 7门.鹏. 中*

13、泗毫科梯，uii下西里I中叫J：" K - 2 Hl fllr -卜产T卜2H卦,广疆"产以鼻电里壮/*消工用IHE寸.，储U-Ji的性生中二】。扪用片离糖士宣三甘情时同正1 I当】一“婚6三4时I fL 1*4 #'，F a llulttSL I叨至I / m，a U时若亶转定性*声 .热后刍H*1 *1祠FUtm+F.出1-门口?金川等一匕，中I*曲力*" IB ,晶Q :贿踽与|卜广. 源-产 0，* T卜I* 连口,与1-皿*工.1/里（寻思醇它怪条怜鞫,.胃上却於司匚看彳业I就诺宁检干附事件。*卜，。匕1.45:00*0 O偏微分方程数值解(Nu

14、merical Solution ofPartial DifferentialEquations)主讲：王日朋eduwyp 'z.w：4、丁, _ j45:00s。o 一 :参考数口1. George J. Halliner Roger Terry Williams, Numerical Prediction and Dynamic Meteorology(2nd Edition), the United States of America. 1979.2. Curbs EGerald and Patrick O. Applied Numerical Analysis. Person

15、Education. Inc. 2004.3. Eugenia Kal nay. Atmospheric Modeling. Data Assimilation and Predictability, the press Syndicate of the University of Cambridge,2003.4. Arieh I series, A Flrsl Course in the Numerical Analysis, of Differential Equations. Cambridge University Press.1996.5. 乍紫华,冯国忱.南分力村熬但解北京人民载

16、育出版社. A980.6. 徐K发，李”.实用偈微分方程数的解法.隼中科技大学出板社.2003.7. 沈楸忆出水"节.也依天气径报北京I气象出版社,2007.数值天气预报一PDE数值解°1. 挪威气象学家V.Bjerknes (1904)提出数值预 报的思想：通过求解一组方程的初值问题可以 预报将来某个时刻的大气一思想；2. L.F.Richardson(1922)；开创了利用数值积分 进行预报天气的先例，由于些原因(如，计 算稳定性问题"Courant 1928”)并没有取得预 期的效果一尝试；3. Charney, Fjortoft, and Von Neum

17、ann(1950), 借助于Princeton大学的的计算机(ENIAC),利 用一个简单的正压涡度方程(C.G.Rossby,1940)对500mb的天气形式作 了 24小时预报成功：45:00"The Ekcgnic Numerical Integrator and Computer (ENbXC I.45:0();常微分方程的数值解 0°大气科学中常微分方程和偏微分方程的关系1 .大气行星边界层(近地面具有湍流运动特性的大 气薄层,1埃克星(V.W.Ekman)(瑞 典)螺线的导出；2 . 1963年，美国气余学家Lorenz在研究热对流的 不稳定问题时，使用高截断的

18、谱方法，由 Boussi nesq流体的闭合方程组得到 个完全确 定的三阶常微分力.程组，即著名的Lo renz系统。45:00% o OLorenz系统dx / dt = a (y - x) dy / dt = x (b - z) - y dz/dt = xy-cz其中.a=10,(Prandtl number); b=28(Rayleighnumber); c-873; (xfy,Z)_0-(0.01 ;0.01 ;1e-10)45:001 o o45:00*Franceshini将NavierStokes方程截断为五维的截谱模型如下；邓二-2xt +生工3 +生思x，= - 9.r7 +

19、 3.x.x, /ID戏=-5x3- 1x1x2 + Re邛=-5%-玉人X= 一毛-3%玉1145：吧欧拉法一折线法0° 常微分方程能汽接进行枳分的是少数，而多数是 借助于计算机来求常微分方程的近似解; 有限差分法是常微分方程中数值解法中通常有效 的方法： 建立差分算法的两个基本的步骤；1 .建立差分格式,包括：a.对解的存在域剖分;b.采用不同的算法可得到不同的逼近误差一截断 误差（相容性）；c.数值解对真解的精度一整体 栈断误差（收敛性）；d.数值解收敛于其解的速 度；e,差分算法一舍人误差（稳定性）.45:00： o o2,差分格式求解将积分方程通过差分方程转化为代数方程求

20、解，一般常用递推算法。在常微分方程差分法中最简单的方法是 Euler方法，尽管在计算中不会使用，但从 中可领悟到建立差分格式的技术路线，卜 而将对其作详细介绍：45:00工差分方法的基本思想“就是以差商0° 代替微商”考晦如卜两个Taylor公式，u（f 力）=（/ 1 山力。'/a）/* 12!3!nid! Zi> = i4（/） ur（t）h >- -，/4/）/，口/ o 2!3!nl"M （1）得到：也尸竺止她Uoh45:00：从(2)科到各° °“乜)=也咛3+0()hM(1) (2)得到,+0(1)从 <1) + (

21、2) 一到B,而)=他止"凶业La宿)厅45:吧对经典的初值问题 0°半= /",) re (0,7)满足Upschilz条件|/(/.wl)-/(/,w2)|<L|yI-u2|保证了方程组的初值河堰有昭,就.、W法构通，1.在求解域上等班离分割;=小4）17施分方2在LC"的精ZT 叫J 也一，向45：嗯3.国川时采川如卜递挂方式计m04.例密对初色时遐r , 一y = 2,t + yac(OJ)fy(0)= i川Euler辽求解用N口5即.力= 0.2“2。)=1000.1.200:>=1.600. = 1.520;/5/)= 2320.

22、% =1.984:八孙丹)=t184=2.621;Ax4.yJ = 4.22ky5-3.46518化遥枢的每 匕如用刈)二. 过点也以)幺履,他切线，该切线的方程加 % - W/ = *'&)(| - 4)叽45:00,o O二、误策分析构造讦法后,这,，法，实际中是杏可行我?也就是说是传使计辑机仿H而不失直,这还需要进一步分析.1 .局部截断误层相容性为了分析分析数值方法的精确殳，常常在“一”(,)成立的假定"估il.4 /广(%)一5 这种误尸称为-局部极闻h1“(%) = "«)+力”U)+? 丁(G2 、= «(/,) + hf

23、,.*) +，“©jj1 =)-% =7"(；)= o"J)局部收即设空足tUh 的精前解(“为出发值，用数值方法报班到卜 个点如血产生的识差.2045:00击2 .镂体截断误£一收敛性忸体截断设Q足以点L的孙始依与为出发值,用数位方法推进小少”点 电一所处的近期值匕.1。精的的，(*)的偏监=&|一称为整体搬断误格.%+1 =% +/&，,)%川=£, +*f9,(%)-/&此)+。* 尿区同+m同+ &2C,.，!<(1 + hLf* I同十/I十(I+杞)+ (I +m)、+(1+忆力1(1心91|4

24、5:00特例. W小十初始设方,即£“=0k.b ,(” |)即 £,“ = 0(/1)3 . ：一一 .假设 个计胃”仅表示4个数字小散点后间),那么= 0.6667±二0.3333, iOJIII 计。 39QJH3-0IIII0.3334-03333我们的要求是:显初产生的小小差在以后的计算中显然会传通卜去，但不会点黑加切扩大.这就是稳定性所描述的问题。卜曲引进稳定性的心念：设由初侪”可到精确解uH, iiitwm %得到精确解%.若存在常数c和充分小的步匕儿 使福|«.-pJ<CK-*a|则称数值方法是桧定的，45:001；O O汁砰例地其

25、解析解为:y- A (),1)dx ' y>(0)=1v = V1+2.Vx =0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.00001.0000 1.2000 1.3733 1.5315 1.6811 1.826945:00：。o壮步=/+ / 2U"此）十八%,城为简化计算的过程，在此基础上进步变为如F算法;&.1=%+ hf J 预估“川=场+。/2/（4，%>+/（心】，瓦+i）l 一 段正此式称为“改进的Euler注”其局郭或断误器为5人,这个问脆将在下节讨论.接下来M论其几何意义2728Eulers改进的EWe过和M析解的比较dy

26、2x-二 y - ,dxyy(0) = 145:00击 9 OKE (04)y = Ji +2,v29用，(尼格库塔)Runge-Kutta VrA45:00*。o简单的Euler汰星建立在Taylor级数的一项展Jh改道的Euler法是以四项Taylor级改为展础建让的.如：1.2w(/f +h) = ”&) + hut() u '(,) + 0(/)J化 +人)=“,)+ 力'(1,)+/尸('(4 +刀)一'(，)”川/2+5/J).、力)+'6)» «(/) + h iql-，2加枭我们假取Taylor级数的更名渝会得

27、到什么样的求解方法呢？两个总国数学票(C.Runge&M,kutta)以这种思业为基础建立了求解徵分方程的龙格哗塔方法.它是常微分方检数值髀法中使用或为广泛的方葭之.3045：嗖般地，一个K阶的RungeKutla方法可用卜,面的公式表示：° °k =%十勺 /=»Km%)' ：勺="”,+c用.也工町KJj = 2,3,A/al用3 吗 足待定的加&宗数，W，/，工 肥恃定的系数"Eute砒就是Knl.州=|的R K法.JI系数的坳定如储 将q/KJE成力的"级数并与微分方程的精确.刎(*)4力的Taylor

28、展开式相比较，使曲力的前顶相同,这祥确定的RK法.K局部就新误r为。入L)，根砧所得关侍过系数的方程州，求出它们的伤后 代入公式，就成为个p阶RK方法.31例蝎以阶RK法为例说明上述过程/“ =，+”尚| +，也/% =好心即% = hf (rz c:h.u:45:00*o o"w = % +，”&)+/&> + Jj2=q +削&.4>+3/ '储见)+二勺3旷亿当)，珀；尤",.,)+；，4)/%“»把小3代人“加中,有也.1 =ift+qh.叫十/if",，")=q + Ww . q) + 吗川

29、 / a, X)+q 明&，%)+/孔(34)=,十h(%+电)f( L.()十 I, J十曰七I力二亿.4)I取三为自由参数 26 =一 一 12 34 4 2从而得到不同的做祁是:阶的RK方法,对应的仃中点法、Heun ('>>法 以及戊进的Euler迂.45：嗖从广川同的过程，通过比较五次Taylor多项式,基到更加复杂的纳照,给出了包含13个未知数的11个方程.用到彩纸系数.儿中常用的足以卜四阶RK法：K：小4 47力卜彳。Ki = hf« 3/X粒 Z»f(f, + /LMz + K3)改进的Euler法、RK法以及岬析解的比较;,45

30、M = y- XG(OJ)°°' yy(O) = 1y = 71T2x45:001 o o(x-xjc-x.Kx-x4)卜。一Z）（A-0 ）（1 一 口）一%）（4 一% .Q）九十一（三一多乩5一三乂七一大，h .线性多步 < Linear Multistep Method)法 1.预备知识；插值多琰式的他是阳散函敢闻近的直蜃Jj法,利川它可通过函也在右眼个点处的取值状况.估禁出两数住其他点处的近似乱从几的上件M：时 维而；已知的加kn十1个不同点,襄,，代 条n次各顶式 曲戊通过这此启,插值多项式 俄俯虬的足粒带阴口插值影项式不均匀站点上的气挚婴索数据

31、匚=>均匀网格点上的数据3 .拉格朗日插假多项式拉格朗U拓俏多项式逼近可使是求插值V点不均匀的招侑多段式的最粒单的方法:实验规家结果诚原始测敬收据的分化通常是II均匀的。例如.四个点可以确定个三次名项式.其朴格朗II彤为二?皿。-三）（1一七）*一与）/+（为一七）（七一8）（%-入4） 14 .Adams-Bashtorth （珂达娉斯一贝可福斯）公式酉先，即以卜四个点对八5川进打三次Langrag嵋值；（J?）MgJ（g"（D则f（m）=科=鱼必地工小工立如心十.,z£JEH 小，.*）千足.行小讨）=“（匕）；（/（八“）,亿） + "«时-

32、2容易打出，“ h6"H一 HSSXxJ S91）3"（一）9"£.川入24例如,我们可以算得口上嚷% 4 cf+吗45:00* o O=7 f (i + /»X+ 2/i)(/ + 3/r)</r = /»4 = 556*。6“ 424将(*2)代入(F) Wr<JAdams-BashforthA：“z 二% + ；J55/(%,/) 59/(%中-h 37/( w)24«干网群的计"过程可以为到另外一个计重公式e限二 明 + 219/。.7)+ 19，(凡“卜 5/(口山1)+ /。7"&

33、gt;2)24这称为Adams-Moulto公式：见.产 4 2155/(.%) 59" j“ J ' 3'7/(，t，/J 9/(。)%一 J】 24预估I* 叫 +:；9八%,%) “9人*吟 5/(%,%* “Xi，)校正38偏微分方程数值解主讲；王日朋45:004，区域的肉慨45:00：o o则函数叮表示为，u(x9y) = uihjk)i = l,2,3 J = 1,2,3二、1.(州)入二阶导数的有限雉分近似表达式彳限 基分&核公， I谡是阶。(?(*>5中)5力45:00*O Q3.抛物型方程初条;=，(£ ( .y - +

34、71;，、.< 0 O>(以热传导或磁扩教方程为例)精确解为,心八四片不论初始分布如何集中，它 总在瞬间影响无穷远,虽 该影响随距离按指数衰减， 然而它是以无限速度传播。 此乃抛物型方程解的特征。心45：野工热代号方程(抛物方程)0°1 .热传导方程的介绍伯以 "九w(0.f) = u(Lj) =02 .因故化"二=(), ")= 0%=«(£,/) = 0L=/(淌)"(1)向曲处分格式；"j = 'J 3k - h2计算：45:00* s 吆 +(1 2s)u- + s/_ 这是一个随式格式

35、 四点格式）ka25=T句展各个节点上的依兄通过个方程里求标得到的.这“以从45:00*。O卜血的吐口过程仃出来。:=sitl + (1 - 2s)： + “: u = si，： + (i - 2,v)m? + s； U； = 5”； 4- (1 - 2s)； + S“；,v I = SM + (1 - 2s)” | + SN 2系数矩陆为1 - 2sss l-2s1 2s计算实例;du _ d2udt dx1，(x,0) = sin(乃 x)u(O,r) = u(l,r)0<j:<1;0<?<0.I45:00*9 O2.向后号分格式45:00：o o/12一 $/；=

36、%，当知道第优 上的端时,要娴定用n+1所上各点值*“必/通过求斜一个 纹件代数方程组.=ui7十(1+25)/川一 + (1 + 2。,片一*+(l + 2s)咪-+ (1 + 2$)，一$"二咻这处一个占具四点向后差分格式.计算实例OU _ 02百一菠4w(x,0) =sin(x) w(0,r) = w(l,/) 0<x<l;0<f <0.145:00*3. Crank-NicQlson珞式，亦称六点对称格式.,+/；-s二 +(1 + 25)，” 一 s+(1 2$),+$L/1 + $ -s/2-sf2 1 + s-s/2 l + s -s/2A-|fl + 2§)十45:00%1 -5 5/25/2 1-5s/2 1-5 s/2 as/2/+!45:00