朱来义微积分学习教案

1、会计学1朱来义朱来义 微积分微积分第一页，共40页。一、实数(shsh)与数轴二、实数的绝对值及其基本(jbn)性质三、区间与邻域第1页/共41页第二页，共40页。有理数和无理数统称有理数和无理数统称(tngchng)(tngchng)为实数为实数. .x实数实数全体实数所组成的集合全体实数所组成的集合(jh)(jh)称为实数系称为实数系. .数轴是一条有原点、正方向和长度数轴是一条有原点、正方向和长度(chngd)(chngd)单位的直单位的直线线. . x121 P数轴上的点数轴上的点一一对应一一对应PO第2页/共41页第三页，共40页。定义定义(dngy)1.(dngy)1.1 1的绝对

2、值定义为的绝对值定义为是一个实数，则是一个实数，则设设xx 时时，当，当时时当当00,xxxxx.,0axaxa距离小于等于距离小于等于到原点的到原点的表示点表示点不等式不等式设设 .的距离的距离到到表示点表示点Oxx.之间的距离之间的距离与点与点则表示点则表示点而而yxyx . axaax即即几何几何(j h)(j h)意义：意义：第3页/共41页第四页，共40页。基本基本(jbn)(jbn)性质：性质：为任意实数，则为任意实数，则，设设yx;0.1 x. )(.05yyxyx;.3xxx ;.2xx ;.yxyxyx6;.yxxy 4第4页/共41页第五页，共40页。第5页/共41页第六页

3、，共40页。第6页/共41页第七页，共40页。常用常用(chn(chn yn yn) )数数集的表示法集的表示法: :自然数的集自然数的集; ,2,1,0N n 整数整数(zhngsh)集集; , 2,1,0,1,2,Znn 有理数集有理数集 ; 0ZQ互质互质与与且且qpqqpqp,实数集实数集R;第7页/共41页第八页，共40页。;.),(bxaxba 开区间开区间区间的表示区间的表示(biosh)(biosh)及含义：及含义：.),(baba和和间间类似地还有半开半闭区类似地还有半开半闭区.,bxaxba 闭区间闭区间OxabOxab.,称为区间的长度称为区间的长度，分别为区间的左右端点

4、分别为区间的左右端点这里这里abba 第8页/共41页第九页，共40页。;),axxxaxa ;),(axxaxxa OxaOxa.R),( xx端点为无限端点为无限(wxin)(wxin)的区间表示及其含义：的区间表示及其含义：第9页/共41页第十页，共40页。邻域邻域(ln y)(ln y)的概念的概念,)(,000邻域邻域的的为为我们称我们称设设 xxO ),()(000 xxxO.)()(000的半径的半径称为称为的中心点，的中心点，称为称为其中其中xOxOx .),(),()(0000000去心邻域去心邻域的的称为称为 xxxxxxxO 0 xO)(0 xO x.),(),(0000

5、00的右邻域的右邻域称为称为的左邻域，的左邻域，称为称为其中其中xxxxxx 第10页/共41页第十一页，共40页。:,它的表示及含意为它的表示及含意为的邻域的邻域对于无穷远点对于无穷远点 ),(),()( MMMxxOM其中其中邻域邻域点的点的为为我们称我们称设设,)(, 0MOMM .),( ,),(的右邻域的右邻域是是的左邻域的左邻域是是 MM)( MO O只需了解只需了解(lioji)(lioji)即即可可第11页/共41页第十二页，共40页。例例3 3.12式的解集式的解集，并用区间表示该不等，并用区间表示该不等解不等式解不等式 xx解解知，知，由绝对值的几何意义可由绝对值的几何意义

6、可1 Ox121 2 的集合为：的集合为：待解不等式要求的点待解不等式要求的点 x,21时时当当 x.12的距离的距离的距离小于它到的距离小于它到到到 .12的距离的距离到到的距离小于的距离小于到到xx ),(2121xx故所给不等式的解集为故所给不等式的解集为第12页/共41页第十三页，共40页。一、变量(binling)与函数二、函数(hnsh)的表示法三、函数定义域第13页/共41页第十四页，共40页。 在某一变化过程在某一变化过程(guchng)(guchng)中始终保持不变中始终保持不变的量称为常量的量称为常量, ,在某一过程中不断在某一过程中不断(bdun)(bdun)变化的量称为

7、变量变化的量称为变量. .变量的取值范围称为该变量的变量的取值范围称为该变量的变域变域变域是区间，称变量为变域是区间，称变量为连续取值变量连续取值变量，变域不是区间，称变量为变域不是区间，称变量为离散取值变量离散取值变量. .第14页/共41页第十五页，共40页。因变量自变量数集 : 定义域)(xfy : 值域对应(duyng)法则第15页/共41页第十六页，共40页。函数函数(hnsh)(hnsh)的两的两要素要素: :定义域与对应定义域与对应(duyng)法则法则.函数相同当且仅当定义域和对应(duyng)法则都相同.函数表达式：函数表达式：第16页/共41页第十七页，共40页。表格法：直

8、观明了，但须离散表格法：直观明了，但须离散(lsn)(lsn)的，有限的定义的，有限的定义域域表格表格(biog)(biog)法、图示法和解法、图示法和解析法析法. .公元公元年份年份/t百万百万人口人口/n196019611962196319641965196619671968297230613151321332343285335634203483第17页/共41页第十八页，共40页。图示法：比较图示法：比较(bjio)(bjio)直观，但画出图来并不容直观，但画出图来并不容易易OtC0TtTP10203024第18页/共41页第十九页，共40页。解析解析(ji x)(ji x)法：易于运算

9、，较前二者抽象法：易于运算，较前二者抽象hrV2131 ,2433r 2xyo常数常数(chngsh)函数函数 2, 2WDy第19页/共41页第二十页，共40页。在定义域的不同部分在定义域的不同部分, , 表达式不同，这类函数称表达式不同，这类函数称为为(chn(chn wi) wi)分段函数分段函数. .阶梯阶梯(jit)曲曲线线取整函数取整函数(hnsh)xy 为不超过为不超过 的最小整数的最小整数xx1,xxxRx可以证明可以证明,3,2,1,0,1, nnxnnxy-4-224-4-224xyOy=x第20页/共41页第二十一页，共40页。注意注意(zh (zh y)y)1. 分段分

10、段(fn dun)函数的定义域是其各段定义域的函数的定义域是其各段定义域的并集；并集；2. 分段函数在其整个定义域上是一个分段函数在其整个定义域上是一个(y )函数，函数，而不是几个函数而不是几个函数.绝对值函数绝对值函数00 xxxxxy当当xyo第21页/共41页第二十二页，共40页。自然自然(zrn)(zrn)定义域是使函数表达式有意义的自变定义域是使函数表达式有意义的自变量取值的全体量取值的全体常用常用(chn(chn yn yn) )函数表达式有意义的条件：函数表达式有意义的条件：负数不能开偶次方根，负数不能开偶次方根，分式的分母不能为零，分式的分母不能为零，对数的真数必须为正数，等

11、等对数的真数必须为正数，等等第22页/共41页第二十三页，共40页。例例.11)1ln()(2的定义域的定义域求函数求函数 xxxf解解有意义，必须有有意义，必须有要使要使)(xf01012 xx且且, 101 xx得得由由, 11012 xxx或或得得由由的定义域为的定义域为综上可知，函数综上可知，函数)(xf第23页/共41页第二十四页，共40页。例例.2, 1242, 3)(2的定义域，并作其图形的定义域，并作其图形求分段函数求分段函数 xxxxxg解解各段定义域的并集，各段定义域的并集，由于分段函数定义域是由于分段函数定义域是.形，如图所示形，如图所示分段作图得该函数的图分段作图得该函

12、数的图域上的相应的表达式，域上的相应的表达式，按照函数在其各段定义按照函数在其各段定义的定义域为的定义域为故故 g)2, 4)( gD4 , 2(2 , 2 4, 4 xyO22 4 4第24页/共41页第二十五页，共40页。注意注意(zh (zh y)y).况来确定况来确定际情际情定义域的确定需根据实定义域的确定需根据实量有实际的含义，此时量有实际的含义，此时题中得到的，其自变题中得到的，其自变如果某函数是从实际问如果某函数是从实际问中，中，比如在圆面积公式比如在圆面积公式2rS ).,(,为为域域则上述函数的自然定义则上述函数的自然定义若不考虑实际意义若不考虑实际意义它必是正数，它必是正数

13、，表示圆半径表示圆半径 ,r.), 0(故此函数的定义域为故此函数的定义域为第25页/共41页第二十六页，共40页。一、单调(dndio)性二、有界性三、奇偶性四、周期性第26页/共41页第二十七页，共40页。一、函数一、函数(hnsh)的单调性的单调性)(xfy )(1xf)(2xfxyoI第27页/共41页第二十八页，共40页。)(xfy )(1xf)(2xfxyoI第28页/共41页第二十九页，共40页。.减函数统称为单调函数减函数统称为单调函数单调递增函数或单调递单调递增函数或单调递例例1 1.),(3内是严格单增的内是严格单增的在在函数函数 xy因为因为3231xx )(222121

14、21xxxxxx 222212143)21()(xxxxx时，时，当当21xx .3231xx .),(3内是严格单增的内是严格单增的在在所以函数所以函数 xy解解yx3xy O11第29页/共41页第三十页，共40页。例例2 22xy 函数函数yx2xy O11.), 0(内是严格单增的内是严格单增的在在 .),(不是单调函数不是单调函数内内但在整个定义域但在整个定义域 ;)0,(内是严格单减的内是严格单减的在在 第30页/共41页第三十一页，共40页。定义定义(dngy)(dngy).)()(;)()()()(内的无界函数内的无界函数为为内无界，或称内无界，或称在在否则称否则称有界函数有界

15、函数内的内的为为内有界，或称内有界，或称在在成立，则称成立，则称，都有，都有，使得对每一个，使得对每一个正数正数内有定义，若存在内有定义，若存在在集合在集合设函数设函数DxfDxfDxfDxfMxfDxMDxf 第31页/共41页第三十二页，共40页。.)()()()()()()()(的函数的函数或有下界或有下界内有上界内有上界是是，也称，也称或有下界或有下界内有上界内有上界在在成立，则称成立，则称或或，都有，都有，使得对每一个，使得对每一个或或在数在数内有定义，若存内有定义，若存在集合在集合设函数设函数DxfDxfBxfAxfDxBADxf 定义定义(dngy)有界函数必有上界有界函数必有上

16、界(shngji)和下和下界；界；反之反之(fnzh)，既有上界又有下界的函数必是有界，既有上界又有下界的函数必是有界函数函数.注意注意.所示所示轴的直线之间，如下图轴的直线之间，如下图在两条平行于在两条平行于有界函数的图形完全落有界函数的图形完全落x几何特征几何特征第32页/共41页第三十三页，共40页。内有界，内有界，在在例如，函数例如，函数),(sin xyOxybAy aBy 内有下界但无上界，内有下界但无上界，在在函数函数),(2 xy.),(2内是无界函数内是无界函数在在因此因此 xy.1 , 12上是有界函数上是有界函数在在但函数但函数 xxy第33页/共41页第三十四页，共40

17、页。有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD )()(xfxf yx)( xf )(xfy ox-x)(xf;)(为偶函数为偶函数称称xf图像(t xin)关于y轴对称三、奇偶性第34页/共41页第三十五页，共40页。有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD )()(xfxf ;)(为奇函数为奇函数称称xf)( xf yx)(xfox-x)(xfy 图像关于(guny)原点对称第35页/共41页第三十六页，共40页。例例.0, 1e0,e1)()2();1ln()()1(2 xxxgxxxfxx判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性解解)()1(xf .)1ln()(2是奇函数是奇函数所以所以xxxf )(1ln(2xx )1ln(2xx 211lnxx )1ln(2xx )(xf 第36页/共41页第三十七页，共40页。 0, 1e0,e1)()2()(xxxgxx因因.)(为奇函数为奇函数因此因此xg 0, 1e0,e1xxxx)(xg 第37页/共41页第三十八页，共40页。定义定义(dn(dngy)gy). )( ,)( )(, , , )( 为周期函数为周期函数则称则称成立成立且且恒有恒有对任意的对任意的，使得，使得非零常数非零常数如果存在如果存在内有定义内有定义在集合在集合设函数设函数x