激光原理与技术课后习题答案试题

1、1为了使氦氖激光器的相干长度达到1KM，它的单色性 .0应为多少?解答：设相干时间为.，则相干长度为光速与相干时间的乘积，即Lc = c根据相干时间和谱线宽度的关系Av二 632 .8nmLcAZJd扎011又因为单色性= 0632 .8nm12Lc 110 nm由以上各关系及数据可以得到如下形式:10二 6.32810 -8 一质地均匀的材料对光的吸收系数为0.01 mm -，光通过10cm长的该材料后，出射 光强为入射光强的百分之几?如果一束光通过长度为 1M地均匀激励的工作物质，如果出射光强是入射光强的两倍,试求该物质的增益系数。解答：设进入材料前的光强为I。，经过z距离后的光强为I z

2、，根据损耗系数仝丄的定义，可以得到:dz I z则出射光强与入射光强的百分比为:I z0.01 mm 100 mm収100 % = (exp GZ 沪100 % =e 弋100 % = 36 .8%I。根据小信号增益系数的概念:丄，在小信号增益的情况下,dz上式可通过积分得到 0 0I z = 10 exp g z=- exp g zIg0丨0lnIzI 0 ln 2= 6.9310 "mm10001 试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且 两次往返即自行闭合。证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示:其往返矩阵为:(10 'r 10

3、''AB 'L、=22D1)1°1 JJR?1丿f2LLT12L(1)R2R2222L-(1 )R1 R2R12L-R12L-(1 -R1)(1 -2L)由于是共焦腔，有R"i = R2 = L往返矩阵变为'10 )T =一1 丿若光线在腔内往返两次，有可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。2试求平凹、双凹、凹凸共轴球面腔的稳定条件。1 2 L解答如下：共轴球面腔的A D三1 -2 只勺2LR2R1R 2，如果满足 一1 ： 1 A D : 1

4、，2则腔是稳定腔，反之为非稳腔 ，两者之间存在临界腔，临界腔是否是稳定腔，要具体分析。F面我们就根据以上的内容来分别求稳定条件。1 2 L对于平凹共轴球面腔，一 A D =1 - 2 fR一2L2L22L1(R1)二)R2R1 R2R2所以，如果1 ： 12LR2：:1，则是稳定腔。因为L和R2均大于零，所以不等式的后半部分定成立，因此，只要满足LR2:1，就能满足稳定腔的条件，因此,LR2:：:1就是平凹腔的稳定条件。类似的分析可以知道,凸凹腔的稳定条件是：R1 ：:;0R2 L，且 R1 R2 : L。双凹腔的稳定条件是：R1L ,R2L（第一种情况）R1:L ,R2 : L 且 R1 R

5、2 . L（第二种情况）R1=R2L二 R 1 2（对称双凹腔）求解完毕。6 试求出方形镜共焦腔面上TEM 30模的节线位置，这些节线是等距分布的吗?2| 2x -y解：在厄米高斯近似下，共焦腔面上的 TEM 30模的场分布可以写成令X 2二/（L，）x，则I式可以写成v/x, y) =C3°H3 X e (l 'F式中H3 X为厄米多项式，其值为H3 X =8X3-12X由于厄米多项式的零点就是场的节点位置，于是令H3 X =0,得X =0; X23/2; X3 = - .3/2考虑到 d = L /二，于是可以得到镜面上的节点位置3Gs2所以，TEM 3。模在腔面上有三条

6、节线，其x坐标位置分别在G和3- .Gs / 2处，节线之间位置是等间距分布的，其间距为J .Gs/2 ;而沿y方向没有节线分布。7求圆形镜共焦腔TEM 2G和TEM G2模在镜面上光斑的节线位置。解答如下：圆形镜共焦腔场函数在拉盖尔一高斯近似下，可以写成如下的形式L；- mn r ,= Cr2e弋"cos mWsin m :（这个场对应于 TEM mn，两个三角,；1 Gs-'Gs - 'Gs,；1 Gs-'Gs - 'Gs函数因子可以任意选择，但是当m为零时，只能选余弦，否则整个式子将为零）二 G s对于 TEM 2。： ： 2。r,即=C 2。2

7、l22 re Qs2。二 C并且l2果，我们取：2。r,=C2 r2 e Gs=1，代入上式，得到cos 21 ，我们取余弦项，根据题中所要求的结sin 2r2C<Gs cos 2申=G，就能求出镜面上节线的位置。既对于TEM G2e= °l；L；，代入上式并使光波场为零，得到- G2 r,二 Cg2244r 2r Gs e =。24'G s Gs2r2s,；1 Gs-'Gs - 'Gs224显然，只要0L22r4r 2r =1 -241 -0s '-| 0 s=0即满足上式最后镜面上节线圆的半径分别为:解答完毕。&今有一球面腔,R1 =

8、 1.5m ， R2 = -1m ，L = 80cm。试证明该腔为稳定腔；求出它的等价共焦腔的参数；在图上画出等价共焦腔的具体位置。解：该球面腔的g参数为Lg 1 =1 一一 =0.47Lg 2 = 11.8R2由此，gig2 =0.85，满足谐振腔的稳定性条件0 ：: gp? ： 1，因此，该腔为稳定腔。两反射镜距离等效距离和等价共焦腔的焦距Z1- LR-L)(L RJ (L - R2)-1.31m共焦腔中心O点的分别为Z2 L(R -L)=-0.51m(L RJ (L - R2)2242242(L R) (L R2)L(R1-L)(R2-L)(R1 R2-L) = 0.50m根据计算得到的

9、数据，在下图中画出了等价共焦腔的具体位置。20.激光器的谐振腔有两个相同的凹面镜组成，它出射波长为的基模高斯光束，今给定功率计，卷尺以及半径为 a的小孔光阑，试叙述测量该高斯光束公焦参数f的实验原理及步骤。解：、实验原理通过放在离光腰的距离为 z的小孔（半径为a）的基模光功率为式中，P0为总的光功率,P(z)为通过小孔的光功率。记 R = P(z)，则有2 (Z)22a(II)注意到对基模咼斯光束有2八；(z)22a2( )(I)P(z)二P°(1 _e rz)3 移走光阑，量出高斯光束的总功率P-;3 移走光阑，量出高斯光束的总功率P-;在(II)式的两端同时乘以 二/，,则有2z

10、ffPoln( Po - Pi)3 移走光阑，量出高斯光束的总功率P-;3 移走光阑，量出高斯光束的总功率P-;P0(III)ln( -)Po - Pi解此关于f的二次方程，得(IV因为a、Po、R、z都可以通过实验测得，所以由(III)及(IV)式就可以求得基模高斯光束的共焦参数f。二、实验步骤1 如上图所示，在高斯光束的轴线上某一点B处放入于光轴垂直的光阑(其孔半径为a),用卷尺测量出B到光腰0(此题中即为谐振腔的中心)的距离z;2 .用激光功率计测出通过小孔光阑的光功率Pi ;3 移走光阑，量出高斯光束的总功率P-;4将所得到的数据代入（III）及（IV）式即可求出f（根据实际情况决定（

11、IV）式根号前正负号的取11短波长（真空紫外、软 X射线）谱线的主要加宽是自然加宽。试证明峰值吸收截面为2 二证明：根据P144页吸收截面公式4414可知，在两个能级的统计权重fi=f2的条件下，在自然加宽的情况下，中心频率v 0处吸收截面可表示为：2A?14二2打"N1上式N（P133 页公式 4.3.9）2 二.1又因为A21 = ，把A21和 v N的表达式代入1式，得到:根据题中所给资料可知:333Cr2O3 的质量密度为 3.98g/cm x 0.05%=1.99 X 10 g/cm ,摩尔质量为 52X 2+16 x 3=152g/mol3+323193设 Cr 的粒子数

12、密度为 n,则 n=2X( 1.99X 10 /152)x 6.02x 10 =1.576x 10 /cm根据：.-；12可知，c128310根据 n 疋 n1+ n2, n=n 1-n2,且 上 =e KT，其中丄KT346.62 汉 10 一疋9694 .3汉10 一231.38 汉10300=69，可知E2能级粒子数密度接近于零，可求出193 n=n 1=1.756 x 10 /cm ，代入到 匚12石，可求出:_±0.4 / cm191.576103/ cm20 2=2.55 汉 10 一 cm解答完毕。1激光器的工作物质长为l，折射率，谐振腔腔长为L，谐振腔中除工作物质外的

13、其余部分折射率为，工作物质中光子数密度为N，试证明对频率为中心频率的光dNdtlcc''=An c 21 cN - N ，其中 L = l L -lLL证明：已知在工作伍之中单位体积内的平均光子数为N，设谐振腔其余部分中的单位体积内的平均光子数为 N '，光束均匀（光强均匀）且截面为 S，则腔内总的光子数变化率为：d NSl N S L -ln ；2NSl dtNSl N S L - lR(1)其中Rl ' L ldc又因为光强均匀（工作物质内与工作物质外），根据公式可得（P29-2.1.16 ）:N NNh = N h、.2 =12 n r|1），得到:把上式和腔的寿命表达式代入（dNl、cn 二 21 cN N dtLL命题得证4 x4 xlO" xl,76" x2xlOxl xO.2694.32 x 1O1S xlO xlO24.055 x IO23 / w3亠 4.055 xlO17 /s户（2）由"5. 18）可彳导对內于均匀力口宽力、佶号壇祭系数为：x（勺io y +c 孑丁 &?3o）=亠，円1 当亠2° = 1 .2吋时&2（Vo）= 1 2g：令 s%= Si Dj W贝U : 2卜 f | = f VO.2 q 9 x