激光原理第9讲a习题答案

1、第二章开放式光腔与高斯光束习题1试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且 两次往返即自行闭合。证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示:其往返矩阵为:'A00L221101丿RiR2(1 L1旦R22 2R，1R2Ri = R2=L2L(V)R22L2L2L2L-(1 ) -(1 )(1 )RiR2R|R1R1民由于是共焦腔,往返矩阵变为若光线在腔内往返两次，有10可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。2试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。

2、解：共轴球面腔的稳定性条件为0<g1 g2<1,其中g1=1- 心2=1-丄-R1R 2(a对平凹腔：R2 =：，则g2=1,0<1-<1，即 0<L<R(b)对双凹腔:0<gl *g2 <1,0<1_LRiL1 - <1R2丿R1 L，R2 L 或 R L R2 L 且 R L(c)对凹凸腔：R1= R1 ,R2=- R2 ,0< 1LR1r； <1，R1 L 且 Ri RI L3激光器的谐振腔由一面曲率半径为1m的凸面镜和曲率半径为2m的凹面镜组成，工作物质长0.5m，其折射率为1.52,求腔长L在什么范围内是稳定腔。

3、解：设两腔镜 M1和M2的曲率半径分别为 R和R,，尺=一1口,&=2口工作物质长丨=0.5m，折射率=1.52根据稳定条件判据：(Y LJ其中0 ：' 11 1 112人1丿(1)L =(L -1)丄(2)由(1)解出2m L 1m由得1LL 0.5 (1) =L 0.171.52所以得到：2.17m L 1.17m4图2.1所示三镜环形腔，已知 丨，试画出其等效透镜序列图，并求球面镜的曲率半径R在什么范围内该腔是稳定腔。图示环形腔为非共轴球面镜腔。在这种情况下，对于在由光轴组成 的平面内传输的子午光线，式 (2.2.7)中的f =(Rcos)/2，对于在与此垂直的平面内传输

4、的弧矢 光线，f=R/(2cos)，二为光轴与球面镜法线的夹角。所以有2或1f对子午线：f子午二 RCOSb子午2f2 Rf弧失_2cos 日对弧矢线：有：2：3或2L<Rcos：解:广10 A广10AA B、IA2I A=11 ,<CD<01f1丿<011< f丿图2.13I”.4I 4I21 -2I2221一2稳定条件左边有( 、( )-2-1寸丿<f丿0匚卫.2。Rcosv所以-4_I : R :3 >3同时还要满足子午线与弧失线仝3| : R 3l或R l9235有一方形孔径的共焦腔氦氖激光器，L=30cm, d =2a=0.12cm ,入=6

5、32.8nm,镜的反射率为n =12 =0.96,其他的损耗以每程0.003估计。此激光器能否作单模运转？如果想在共 焦镜面附近加一个方形小孔阑来选择TEM 00模，小孔的边长应为多大？试根据图2.5.5作一个大略的估计。氦氖增益由公式计算。eg。1=13 10° 丄d解：设TEM 0!模为第一高阶模，并且假定TEM 00和TEM °!模的小信号增益系数相同，用g0 表示。要实现单模运转，必须同时满足下面两个关系式g0|e,/。、°。0.003) 1Ieg,-、01 -0.003) ：1II根据已知条件求出腔的菲涅耳数2L，0.06230 632.8 10-1.9

6、由图2.5.5可查得TEM 00和TEM 01模的单程衍射损耗为8.3700 " 1001 ： 10氦氖增益由公式egt)l =1 +310 鼻丄d00.计算。代入已知条件有 eg 1 =1.075。将eg 1、-：00、：01、r1和r2的值代入I、II式，两式的左端均近似等于1.05，由此可见式II的条件不能满足，因此该激光器不能作单模运转。为了获得基模振荡，在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来增加衍射损耗。若满足II式的条 件，则要求010.047根据图2.5.5可以查出对应于：01的腔菲涅耳数N ' 0.90I由菲涅耳数的定义可以算出相应的小孔阑的边长2 rN = 2、3

7、00 632.8 10卫 0.9 二 0.83mm因此，只要选择小孔阑的边长略小于0.83mm即可实现TEM 00模单模振荡。6 试求出方形镜共焦腔面上 TEM30模的节线位置，这些节线是等距分布的吗?X2旳2V30(X, y) = C30H 3解：在厄米高斯近似下，共焦腔面上的TEM30模的场分布可以写成令X =、2二/(L )x，则I式可以写成V30(x,y) =C3°H3 X式中H3 X为厄米多项式，其值为H3 X =8X3-12X由于厄米多项式的零点就是场的节点位置，于是令h3 Xi；=0，得X, =0;X2 = 3/2;X3 = - 3/2考虑到匚，于是可以得到镜面上的节点

8、位置所以，TEM 30模在腔面上有三条节线，其 x坐标位置分别在0和- v3-0s/2处，节线之间 位置是等间距分布的，其间距为3 0s/2 ；而沿y方向没有节线分布。&今有一球面腔，R =1.5m , R2 = -1m , L =80cm。试证明该腔为稳定腔；求出它的等价共焦腔的参数；在图上画出等价共焦腔的具体位置。解：该球面腔的g参数为g1 =1 = 0.47g2 =1 =1.8由此，g1g0.85，满足谐振腔的稳定性条件0 g1g21，因此，该腔为稳定腔。两反射镜距离等效共焦腔中心O点的距离和等价共焦腔的焦距分别为LR -L)(L -RO (L -R2)-1.31mk0.51m(

9、L -R) (L-R2)f 二 L(R-l)(R2-l)(R1 R；-L)二 0.50mV (L-R)+(L-R2)2根据计算得到的数据，在下图中画出了等价共焦腔的具体位置。14.某高斯光束腰斑大小为0 =1.14mm， ' =10.6 口 m。求与束腰相距 30cm、10m、1000m 远处的光斑半径 及波前曲率半径 R。解：入射高斯光束的共焦参数0 二 0.385m根据z30cm10m1000m叭z)1.45mm2.97cm2.96mR(z)0.79m10.0m1000m15.若已知某高斯光束之-0=0.3mm , =632.8nm。求束腰处的q参数值，与束腰相距30cm处的q参数

10、值，以及在与束腰相距无限远处的q值。解：入射高斯光束的共焦参数1厂二 44.7cm根据 q(z)二 z q° 二 z if，可得束腰处的q参数为：q(0)=44.7icm与束腰相距30cm处的q参数为：q(30) =(30 - 44.7i)cm与束腰相距无穷远处的q参数为：Re(q),1 m (q) = 44.7cm16.某高斯光束0 =1.2mm , - =10.6 口 m。今用F=2cm的锗透镜来聚焦，当束腰与透镜的距离为10m、1m、10cm、0时，求焦斑的大小和位置，并分析所得的结果。解：入射高斯光束的共焦参数=0.427m又已知F =2.0 10，m，根据.(I - F)F

11、2(I -F)2 f 2(IF)2 f2解：入射高斯光束的共焦参数已知F =2.0 10 ° m，根据得丄 2.67mI =FI10m1m10cm02.00cm2.08cm2.01cm2.00cm2.40 口m22.5 口m55.3 口m56.2(im得从上面的结果可以看出，由于f远大于F，所以此时透镜一定具有一定的聚焦作用，并且不论入射光束的束腰在何处，出射光束的束腰都在透镜的焦平面上。17. CO2激光器输出光'=10.6 m , 0 =3mm，用一 F=2cm的凸透镜距角，求欲得到 '0=20m及2.5 口m时透镜应放在什么位置。-'0 =20 口m时，

12、I = 1.39m，即将透镜放在距束腰1.39m处; J = 2.5m时，I =23.87m，即将透镜放在距束腰 23.87m处。18.如图2.2光学系统，入射光 =10.6 口 m ,求，0 及 I3。图2.2解：先求经过一个透镜的作用之后的束腰半径及位置由于I F1，所以Ii = Fi =2cm0 二F = 22.49 口 m所以对第二个透镜，有I =I2 -L = 13cm*20 /一=1.499 10 m已知F2二0.05m，根据I3 二 F2.(i-F2)f；(I -F2)2f2必2-(I 汗2)2 f2% =14.06 口m, l3 =8.12cm19.某高斯光束 0 =1.2mm

13、 , =10.6 口 m。今用一望远镜将其准直。 主镜用镀金反射镜 R=1m , 口径为20cm ;副镜为一锗透镜， F1 =2.5c m, 口径为1.5cm ;高斯束腰与透镜相距 丨=1m，如图2.3 所示。求该望远系统对高斯光束的准直倍率。解：入射高斯光束的共焦参数为土 二 0.427m由于F|远远的小于丨，所以高斯光束经过锗透镜后将聚焦于前焦面上,得到光斑的束腰半径F1'0 = 0 2J(l - FJ2 + f厂 °.°28mm这样可以得到在主镜上面的光斑半径为 (R)6cm : 10cm即光斑尺寸并没有超过主镜的尺寸，不需要考虑主镜孔径的衍射效应。这个时候该

14、望远系统对高斯光束的准直倍率为M =E1 +F1 := 101.920.激光器的谐振腔有两个相同的凹面镜组成，它出射波长为'的基模高斯光束，今给定功f的实验原理及步骤。率计，卷尺以及半径为 a的小孔光阑，试叙述测量该高斯光束共焦参数解:一、实验原理通过放在离光腰的距离为z的小孔(半径为a)的基模光功率为2 a2P(z) =F0(1-)式中，P0为总的光功率,22a2P)(II)P(z)为通过小孔的光功率。记P = P(z)，则有注意到对基模咼斯光束有在(II)式的两端同时乘以 二/ ，则有2 二 a22上z2二 a2ffPoPoln(Po-P)ln(Po -P(III)解此关于f的二次方程，得",2 -z2(IV)