数学建模之传染病模型

1、第五章微分方程模型如果实际对象的某特性是随时间（或空间）变化的，那么分析它的变化规律，预测它的未来性态时，通常要建立此实际对象的动态模型，这就是微分方程模型.§1传染病模型建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮的到来等，一直是各国有关专家和官员关注的课题.考虑某地区的传染病的传染情况，设该地区人口总数为N ，既不考虑生死，也不考虑迁移，时间以天为计量单位.一.SI模型假设条件：1. 人群分为易感染者 ( Susceptible ) 和已感染者 ( Infective ) 两类人， 简称为健康人和病人，在时刻t 这两类人在总人数中所占比例分

2、别记作st 和 i t .2. 每个病人每天有效接触的平均人数是( 常数 ) ， 称为日接触率， 当病人与健康人有效接触时，使健康者受感染变为病人.试建立描述 i t变化的数学模型 .解：s ti t1s t N i t NN由假设2 知，每个病人每天可使s t 个健康者变为病人，又由于病人数为N i t ，每天共有s tN i t个健康人被感染 .于是N si 就是病人数 N i的增加率，即有N diN si (1)dtdi1.si 而 s idt精选文库又记初始时刻 ( t0 ) 病人的比例为 i0 ，则dii 1idti 0 i 0这就是 Logistic模型，其解为i t1111 e

3、ti0结果分析作出 i t t 和 di i 的图形如下：dtdiidtdi1dt m20t mt01i21.当 i1时， di取到最大值di，此时刻为2dtdtmtm1 ln11i02.当 t时， i1即所有人终将被传染，全变为病人（这是不实际的）.二 .SIS 模型在前面假设 1、2 之下，再考虑病人可以医治，并且有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人，此模型称SIS 模型 .假设 1、 2 同 SI 模型，增加假设:-78精选文库3.病人每天被治愈的人数占病人总数的比例为，称为日治愈率. 病人治愈后成为易感染者（

4、健康人）. 显然1是这种传染病的平均传染期.解：在假设1、2、 3 之下，模型（ 1）修正为NdiN iNsidtdiii 1 i于是dti 0i0解得1i 0i t11e1t,t,i 0结果分析1.令.注意到和 1的含义，可知是一个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数 .111i10ii11i 01111i00t0t2.接触数1是一个阈值 .-79精选文库当1时，病人比例 i t 越来越小，最终趋于零 .1时， i t 的增减性取决于i0 的大小，其极限值 i1当1.3. SI 模型是 SIS 模型中0的情形 .三. SIR模 型大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强

5、的免疫力，所以病愈的人既非健康者, 也非病人 , 他们已经退出传染系统，此时模型的假设为1. 人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者三类，称为SIR 模型 . 三类人在总人数N 中占的比例分别记作si 、 i t和 r t .1. 病人的日接解率为，日治愈率为（与 SIS模型相同） ，传染期接触数为.解：由假设1，有s ti tr t1dsdidr0dtdtdt由假设2，得 NdrN idisi Ni NdtNdtdridt又设 s 0s0 , i 0i0 , r 00disiidt于是disiidtdssi(2)dti 0i0 , s 0s0我们在相平面上来讨论解的性质.-80精选文库相轨线的定义域为Ds, i s0, i0,si 1由 (2