南京工业大学化工设备基础

1、llDCHAP. 4 直梁的弯曲直梁的弯曲 弯曲概念与梁的分类弯曲概念与梁的分类1）弯曲的概念及实例）弯曲的概念及实例图图1 实例：两台设备安装在两根横梁上的简图，实例：两台设备安装在两根横梁上的简图，简化为力学模型。简化为力学模型。G/2G/2RARB受力特点：受力特点：a. 作用在杆件上的载荷和支座反力均垂直于杆件的轴线。轴线在杆件变形前作用在杆件上的载荷和支座反力均垂直于杆件的轴线。轴线在杆件变形前为直线，变形后成为曲线。（区别于拉伸，外力作用于轴线上）为直线，变形后成为曲线。（区别于拉伸，外力作用于轴线上）b. 外力彼此相距较远，某些横截面上虽有剪力或扭矩，但就整个梁来说，弯外力彼此相

2、距较远，某些横截面上虽有剪力或扭矩，但就整个梁来说，弯曲是主要的。曲是主要的。 凡是具备上述受力特点，并产生弯曲变形的杆件凡是具备上述受力特点，并产生弯曲变形的杆件梁（广义），如卧式容梁（广义），如卧式容器，塔设备等。器，塔设备等。llDCHAP. 4 直梁的弯曲直梁的弯曲 平面弯曲实例平面弯曲实例1llDCHAP. 4 直梁的弯曲直梁的弯曲 图 4-1 桥 式 起 重 机 受 力 模 型PqAB平面弯曲实例平面弯曲实例2llDCHAP. 4 直梁的弯曲直梁的弯曲 2) 梁的几何形状和名称梁的几何形状和名称 讨论一具有等矩形截面的梁，梁讨论一具有等矩形截面的梁，梁l，h，b，lh，lb。梁的轴

3、线梁的轴线：通过所有横截面型心的直线，坐标轴通过所有横截面型心的直线，坐标轴x轴即梁的轴线方向轴即梁的轴线方向梁的对称平面梁的对称平面:连接所有横截面连接所有横截面垂直对称轴垂直对称轴的平面的平面mnmini（y轴即对称轴方向）轴即对称轴方向）z轴方向是垂直轴方向是垂直xy平台，且通过横截面形心，这样就确定了坐标轴的三个方向。平台，且通过横截面形心，这样就确定了坐标轴的三个方向。上述的梁，就为具有对称平面的等直梁。其截面可以是矩形，还可以是圆、圆环、上述的梁，就为具有对称平面的等直梁。其截面可以是矩形，还可以是圆、圆环、工字形、丁字形等。工字形、丁字形等。llDCHAP. 4 直梁的弯曲直梁的

4、弯曲 平面弯曲平面弯曲当作用在梁上的所有横向力均作用在梁的对称平面内时，则当作用在梁上的所有横向力均作用在梁的对称平面内时，则在梁发生弯曲变形以后，梁的轴线便在对称平面内弯成一条曲线，这种在梁发生弯曲变形以后，梁的轴线便在对称平面内弯成一条曲线，这种弯曲成为平面弯曲。平面弯曲是弯曲问题中最基本且最常见的情况，这弯曲成为平面弯曲。平面弯曲是弯曲问题中最基本且最常见的情况，这章主要讨论梁的平面弯曲的强度和刚度问题。章主要讨论梁的平面弯曲的强度和刚度问题。3) 梁上的外力、梁的支座及分类梁上的外力、梁的支座及分类）未知（支座及约束反力来表示的力通常以单位长度上作用一段范围内，的轴线均匀分布在较长分布

5、力力是沿着梁偶这种力偶可视为集中力的一段梁上，力偶的二力分布在很短集中力偶如果组成集中力在一点处的面积上，近似认为作用集中力分布在很小已知（外载）外力m/N)3()2() 1 (llDCHAP. 4 直梁的弯曲直梁的弯曲 工程上梁的支承情况很复杂，可以简化归纳为以下三种典型形式：工程上梁的支承情况很复杂，可以简化归纳为以下三种典型形式：a. 固定铰链支座（阻止梁在支座处沿水平和垂直方向移动，但不能阻止固定铰链支座（阻止梁在支座处沿水平和垂直方向移动，但不能阻止梁绕铰链中心转动）。因此其受力情况梁绕铰链中心转动）。因此其受力情况 用位移表示用位移表示0yxb. 活动铰链支座（阻止梁沿支座面的法线

6、方向移动）。因此其受力情况活动铰链支座（阻止梁沿支座面的法线方向移动）。因此其受力情况 用位移表示用位移表示0yc. 固定端（使梁即不能沿水平方向和竖直方向移动，也不能绕某一点转动）固定端（使梁即不能沿水平方向和竖直方向移动，也不能绕某一点转动） 因此其受力情况因此其受力情况 用位移表示用位移表示0yxllDCHAP. 4 直梁的弯曲直梁的弯曲 实际上工程结构的受力情况，可以视具体情况简化为上述三种形式之一，根据梁实际上工程结构的受力情况，可以视具体情况简化为上述三种形式之一，根据梁的支承情况，可将梁简化为三种。力学模型如下（考虑关于梁本身的简化，梁通的支承情况，可将梁简化为三种。力学模型如下

7、（考虑关于梁本身的简化，梁通常用某轴线表示）常用某轴线表示）a.简支梁简支梁 梁的一端为固定铰链支座，另一端为活动铰链支座梁的一端为固定铰链支座，另一端为活动铰链支座;b.外伸梁外伸梁 支座情况同上，梁的一端或两端伸出在支座之外支座情况同上，梁的一端或两端伸出在支座之外;c.悬臂梁悬臂梁 梁的一端固定，另一端自由外伸梁的一端固定，另一端自由外伸llDCHAP. 4 直梁的弯曲直梁的弯曲 例例4-1 一塔器，高一塔器，高h，自重，自重w，受到集度为，受到集度为q（N/m）的水平方向风载荷作用，）的水平方向风载荷作用，试求支座反力。试求支座反力。解：可将塔器视为一端固定的悬臂梁。固定端处约束反力有

8、三个，解：可将塔器视为一端固定的悬臂梁。固定端处约束反力有三个，H,V,m，取整体塔器为分离体，由静力平衡方程，取整体塔器为分离体，由静力平衡方程X0,qhH0,HqhY0,VW0,VWh02AA)xqdxm.(2qhm, 0m简化算法，简化算法，qh的力作用在轴长度中央的力作用在轴长度中央llDCHAP. 4 直梁的弯曲直梁的弯曲 2. 梁的内力分析梁的内力分析作用在梁上外载荷在传递载荷过程中，力所经过的各个横截面都将产生相应的内作用在梁上外载荷在传递载荷过程中，力所经过的各个横截面都将产生相应的内力，如何进行梁的内力分析力，如何进行梁的内力分析,可通过静力平衡和变形两方面分析。可通过静力平

9、衡和变形两方面分析。 1）静力平衡）静力平衡 仍以前图所示横梁为例，由静力平衡及仍以前图所示横梁为例，由静力平衡及RA=RB=P llDCHAP. 4 直梁的弯曲直梁的弯曲 AC段：分析段：分析11截面，切开截面，切开11截面，取其左边一段，该段梁上另作截面，取其左边一段，该段梁上另作用有一向上的外力用有一向上的外力RA，根据静力平衡，得到在，根据静力平衡，得到在11截面的左侧作用着截面的左侧作用着Q1,M1，Q1梁在该截面上的剪力，梁在该截面上的剪力，M1梁在该截面上的弯矩，梁在该截面上的弯矩，Q1，M1是是1-1截面右侧作用于左侧的，截面左侧同时作用给右侧同样大小的截面右侧作用于左侧的，截

10、面左侧同时作用给右侧同样大小的力。应当把作用在同一截面左右二侧的剪力和弯矩看成一个。剪力、弯力。应当把作用在同一截面左右二侧的剪力和弯矩看成一个。剪力、弯矩是成对出现的。矩是成对出现的。b. CD段段 CD段任一截面段任一截面22，Q=0，M2=Px-P(x-a)Pa（设（设AC=DB=a）llDCHAP. 4 直梁的弯曲直梁的弯曲 由此可见，弯曲梁的各个截面上作用着不同的由此可见，弯曲梁的各个截面上作用着不同的Q, M，AC段，即有段，即有Q，又有，又有M横力弯曲（剪切弯曲）横力弯曲（剪切弯曲）, CD段段纯弯曲。纯弯曲。2） 变形分析（定性）变形分析（定性）梁未受外载荷梁未受外载荷 在在C

11、D段任取二个相邻横截面段任取二个相邻横截面a1b1c1d1a2b2c2d2,画上三条纵向线画上三条纵向线m1m2，o1o2, n1n2（梁的（梁的1/2高度处），当梁上施加外载荷及支座反力高度处），当梁上施加外载荷及支座反力RA,RB后，后，我们发现：我们发现： llDCHAP. 4 直梁的弯曲直梁的弯曲 a. 纵向纤维由直变弯。纵向纤维由直变弯。o1o2以上部分，以上部分，m1m2缩短，缩短，o1o2以下部分，以下部分，m1m2伸长，而伸长，而o1o2不变。这说明梁的上半部分受到纵向压缩，梁的下半部分受到不变。这说明梁的上半部分受到纵向压缩，梁的下半部分受到纵向拉伸，而且离开纵向拉伸，而且离

12、开o1o2线越远的纵向线，它们被拉长或缩短的数量越大。线越远的纵向线，它们被拉长或缩短的数量越大。b. 各条横向线各条横向线a1b1，c1d1，a2b2仍为直线。仍为直线。由此假设，梁的横截面的变形由此假设，梁的横截面的变形后仍是一个平面，且仍与已经成为弧线的后仍是一个平面，且仍与已经成为弧线的m1m2,n1n2相重合。并且仍垂直于相重合。并且仍垂直于变形后梁的轴线。（平面假设）变形后梁的轴线。（平面假设）试验理论得到证明。试验理论得到证明。c. 横向线横向线a1b1与与a2b2由相互平行变为不再平行。由相互平行变为不再平行。这说明相邻两平面这说明相邻两平面a1b1c1d1，a2b2c2d2,

13、发生了相对移动，转动轴位置通过平面发生了相对移动，转动轴位置通过平面O点点并垂直于梁的对称平面。并垂直于梁的对称平面。llDCHAP. 4 直梁的弯曲直梁的弯曲 截面的中性轴（截面的中性轴（Z方向）。将梁所有横截面上的中心轴连接起来形成梁的中方向）。将梁所有横截面上的中心轴连接起来形成梁的中性层（通过截面形心，且垂直于截面的垂直对称轴线）。显然，梁发生平性层（通过截面形心，且垂直于截面的垂直对称轴线）。显然，梁发生平面弯曲时，中性层内的纵向纤维长度不变。面弯曲时，中性层内的纵向纤维长度不变。几个名词：几个名词：梁的轴线、梁的对称平面，横截面的中性轴，垂直对称轴，梁梁的轴线、梁的对称平面，横截面

14、的中性轴，垂直对称轴，梁的中性层。的中性层。正是由于梁的一系列相邻横截面之间发生了绕各自中性轴的相正是由于梁的一系列相邻横截面之间发生了绕各自中性轴的相对转动，所以才导致了梁的由直变弯，以及梁的纵向纤维的伸长、缩短。对转动，所以才导致了梁的由直变弯，以及梁的纵向纤维的伸长、缩短。llDCHAP. 4 直梁的弯曲直梁的弯曲 现在来分析梁弯曲的任一横截面上弯曲应力情况。现在来分析梁弯曲的任一横截面上弯曲应力情况。假想将梁沿平面截开：假想将梁沿平面截开：由于纵向纤维受到不同程度的拉伸、压缩，因此该截面上必由于纵向纤维受到不同程度的拉伸、压缩，因此该截面上必定作用着正应力，与拉伸不同，非均布。在中性层

15、以上纵向定作用着正应力，与拉伸不同，非均布。在中性层以上纵向纤维缩短，产生压缩应力，在中性层以下纵向纤维伸长，产纤维缩短，产生压缩应力，在中性层以下纵向纤维伸长，产生拉伸应力，中性层处应力生拉伸应力，中性层处应力0。作用在横截面上这些正应力，由于中性轴以上是压应力，中作用在横截面上这些正应力，由于中性轴以上是压应力，中性轴以下是拉应力。于是无数微面积性轴以下是拉应力。于是无数微面积dA上的力对中性轴构成上的力对中性轴构成了一个合力矩（即前面提到的弯矩了一个合力矩（即前面提到的弯矩M）AdAyMllDCHAP. 4 直梁的弯曲直梁的弯曲 内力矩的产生伴随着梁的相邻横截面之间发生相对转动，随着外载

16、荷增加内力矩的产生伴随着梁的相邻横截面之间发生相对转动，随着外载荷增加而增加；内力矩作用，阻止该截面在外力矩作用下企图发生的进一步转动而增加；内力矩作用，阻止该截面在外力矩作用下企图发生的进一步转动（起着平衡力矩作用）并且力图恢复梁的变形。（起着平衡力矩作用）并且力图恢复梁的变形。弯矩、剪力总是成对出现的，大小相等，方向相反。弯矩、剪力总是成对出现的，大小相等，方向相反。3. 剪力与弯矩的计算剪力与弯矩的计算由上一节分析可知，任一截面上的剪力，其作用是抵抗该截面一侧所有外力由上一节分析可知，任一截面上的剪力，其作用是抵抗该截面一侧所有外力对该截面的剪力作用对该截面的剪力作用, 其大小应该等于该

17、截面一侧所有横向外力之和。其大小应该等于该截面一侧所有横向外力之和。任一截面上的弯矩，其作用是抵抗该截面一侧所有外力使截面绕其中性轴转任一截面上的弯矩，其作用是抵抗该截面一侧所有外力使截面绕其中性轴转动，它的大小应等于该截面一侧所有外力对改截面中性轴取矩之和。动，它的大小应等于该截面一侧所有外力对改截面中性轴取矩之和。剪力、弯矩均有二种方向，须规定其剪力、弯矩均有二种方向，须规定其“正负正负”：由于：由于Q,M均是内力，其正负均是内力，其正负要根据变形而定。要根据变形而定。llDCHAP. 4 直梁的弯曲直梁的弯曲 1）剪力正负的规定）剪力正负的规定根据剪切变形的方向，规定剪力根据剪切变形的方

18、向，规定剪力Q的正负。通常规定：如果产生图（的正负。通常规定：如果产生图（a）所）所示的变形，（此变形是使截面左边的梁发生相对截面右侧梁的向上滑动）示的变形，（此变形是使截面左边的梁发生相对截面右侧梁的向上滑动）那么伴随这种变形产生的剪力是正值，反之，是负。那么伴随这种变形产生的剪力是正值，反之，是负。法则：梁的任一横截面上剪力大小等于该截面一侧所有横向外力的代数和，法则：梁的任一横截面上剪力大小等于该截面一侧所有横向外力的代数和，截面左侧向上的合外力和截面右侧向下的合外力取正值。反之，取负。截面左侧向上的合外力和截面右侧向下的合外力取正值。反之，取负。（可以理解为合外力和剪力组成顺时针转向，

19、取（可以理解为合外力和剪力组成顺时针转向，取“”，逆时针转向，取，逆时针转向，取“”，而不须考虑截面左右侧），而不须考虑截面左右侧）llDCHAP. 4 直梁的弯曲直梁的弯曲 2）弯矩正负的规定）弯矩正负的规定弯矩正负的规定也要依据变形。弯曲变形的实质是两个相邻横截面之间发生绕各弯矩正负的规定也要依据变形。弯曲变形的实质是两个相邻横截面之间发生绕各自中性轴的相对转动。伴随这种转动，横截面上才有弯矩产生。一种相对转动是自中性轴的相对转动。伴随这种转动，横截面上才有弯矩产生。一种相对转动是使二相邻横截面之间的纵向间距发生上边缩短，下边伸长的变形图（使二相邻横截面之间的纵向间距发生上边缩短，下边伸长

20、的变形图（a），伴随），伴随这种相对转动而在该截面上所发生的弯矩，通常规定为正，反之为负。这种相对转动而在该截面上所发生的弯矩，通常规定为正，反之为负。 也即横截面上存在的也即横截面上存在的“上半部受压，下半部受拉上半部受压，下半部受拉”的正应力对中的正应力对中性轴取矩构成正的弯矩。反之，构成负的弯矩。向上的外力均产性轴取矩构成正的弯矩。反之，构成负的弯矩。向上的外力均产生正的弯矩，向下的外力均产生负的弯矩。生正的弯矩，向下的外力均产生负的弯矩。弯矩法则：弯矩法则：梁在外力作用下，其任意指定截面上的弯矩等于该截面一侧所有梁在外力作用下，其任意指定截面上的弯矩等于该截面一侧所有外力对该截面中性轴

21、取矩的代数和。凡是向上的外力，其矩取正外力对该截面中性轴取矩的代数和。凡是向上的外力，其矩取正值，向下的外力，取负值。若是集中力偶，则截面左侧顺时针转值，向下的外力，取负值。若是集中力偶，则截面左侧顺时针转向，截面右侧逆时针转向的力偶取正值，反之取负值。向，截面右侧逆时针转向的力偶取正值，反之取负值。 llDCHAP. 4 直梁的弯曲直梁的弯曲 3）剪力图和弯矩图）剪力图和弯矩图横截面上的剪力、弯矩随截面的位置发生变化。假设以梁的左端为原点，沿梁横截面上的剪力、弯矩随截面的位置发生变化。假设以梁的左端为原点，沿梁的轴线建立的轴线建立x轴，于是，梁各个横截面上的剪力轴，于是，梁各个横截面上的剪力

22、Q、弯矩、弯矩M均可表示为截面所在均可表示为截面所在位置坐标位置坐标x的函数，的函数， 剪力方程和弯矩方程。剪力方程和弯矩方程。同绘制轴力图或扭矩图一样，按选定的比例尺，以横截面上的剪力或弯矩为纵同绘制轴力图或扭矩图一样，按选定的比例尺，以横截面上的剪力或弯矩为纵坐标，以横截面位置为横坐标，把坐标，以横截面位置为横坐标，把 的图线表示出来。这种图线的图线表示出来。这种图线分别称为剪力图和弯矩图。分别称为剪力图和弯矩图。目的目的分析找出梁内分析找出梁内 的大小及其横截面所在位置（危险截面），从的大小及其横截面所在位置（危险截面），从而进行梁的强度计算。而进行梁的强度计算。)x(fM),x(fQ2

23、1)x(fM),x(fQ21maxmaxM,Q下面分别讨论集中力、集中力偶、均布载荷作用下的下面分别讨论集中力、集中力偶、均布载荷作用下的Q、M图。图。llDCHAP. 4 直梁的弯曲直梁的弯曲 例例1：集中力作用：集中力作用 AC=a=0.25m,BE=b=0.2m,AB=l=1m,P1=500N,P2=1000N,P3=300N步骤：步骤：a. 根据静力学平衡条件，求出未知约束反力及力偶根据静力学平衡条件，求出未知约束反力及力偶 RA=935N,RB=865N； b. 分段、逐段计算剪力，定特殊点，画出剪力图；分段、逐段计算剪力，定特殊点，画出剪力图； c. 分段、逐段计算弯矩，定出特殊点

24、，画弯矩图分段、逐段计算弯矩，定出特殊点，画弯矩图 d. 对于复杂梁，可采用分解，合成法，先分解为若干受对于复杂梁，可采用分解，合成法，先分解为若干受力情况简单的梁，然后叠加而成。力情况简单的梁，然后叠加而成。llDCHAP. 4 直梁的弯曲直梁的弯曲 Qx图：图：AC段：段：Q=RA=935NCD段：段：Q=RAP1=435NDE段：段：Q=RAP1P2=565NEB段：段：Q=RB=865NMx图图:AC段：段：M=RAX=935xCD段：段：M=RAxP1(x0.25) =435x125DE段：段：M=RAxP1(x0.25)P2(x0.5) =565x625EB段：段：M=RB（lx）

25、=865x865集中力作用的截面上，剪力有个突变，此集中力作用的截面上，剪力有个突变，此时弯矩图上是个转折点（图形仍连续）时弯矩图上是个转折点（图形仍连续）llDCHAP. 4 直梁的弯曲直梁的弯曲 集中力偶作用处，集中力偶作用处，Mx图有突变，突变图有突变，突变值大小等于集中力偶值，值大小等于集中力偶值，Qx图不变。图不变。例例2：集中力偶作用：集中力偶作用lmR,lmRBAlmRQAlmQ Qx图：图：AC段段 CB段段 Mx图：图：AC段段xlmxRMACB段段（截面左侧的（截面左侧的m逆时针取负值）逆时针取负值）mxlmM若按右侧考虑若按右侧考虑，mxlmxllmM)(llDCHAP.

26、 4 直梁的弯曲直梁的弯曲 例例3：均布载荷作用：均布载荷作用AC=BD=a， CD=l，载荷集度q2qlRRBAQx图：图：CA段段 AB段段qxqlqxRQA2qxQ BD段：段：qxqlqxRRQBAMx图图 : CA段段 22.2qxxqxMAB段段 )4(8)2(2)(22)222alqllxqlalxxqqxaxRMA （2)(2xlqMBD段段 )2(2, 0,2),2(22alqQQlxalqqaqlQBA)4(8,2alqlMlx极值2qaM,2qaM2B2AllDCHAP. 4 直梁的弯曲直梁的弯曲 maxmax负正MM当当 载荷分布较合理载荷分布较合理 l212a此值为卧

27、式容器支座的合理位置。此值为卧式容器支座的合理位置。均布载荷作用下，剪力图是一条斜线，均布载荷作用下，剪力图是一条斜线， 弯矩图是一抛物线；弯矩图是一抛物线；MMAX发生处位于发生处位于Q=0，集中力或集中力偶，集中力或集中力偶 作用处作用处 。llDCHAP. 4 直梁的弯曲直梁的弯曲 4. 纯弯曲时梁的正应力及正应力强度条件纯弯曲时梁的正应力及正应力强度条件 我们已经学会分析梁受复杂载荷平面弯曲时，任一横截面我们已经学会分析梁受复杂载荷平面弯曲时，任一横截面Q,M的变化规的变化规律从而画出律从而画出Q=Q(x)，M=M(x)，求出剪力、弯矩最大值及其危险截面位置。，求出剪力、弯矩最大值及其

28、危险截面位置。但是但是Q, M仅是截面上应力、力矩的总和，尚需知道横截面上应力分布规仅是截面上应力、力矩的总和，尚需知道横截面上应力分布规律，这是本节的重点。律，这是本节的重点。1是任意横截面上指定点的正应力大小；是任意横截面上指定点的正应力大小；2是梁的强是梁的强度计算；度计算； 为了简化问题，我们讨论纯弯曲问题的梁为了简化问题，我们讨论纯弯曲问题的梁 ，从变形分析、物理关系、静，从变形分析、物理关系、静力关系三大关系中讨论。力关系三大关系中讨论。 1） 任意横截面内指定点的正应力任意横截面内指定点的正应力（1 ）变形分析）变形分析上一节，已经知道，梁在纯弯曲后的变形特点：上一节，已经知道，

29、梁在纯弯曲后的变形特点：a. 纵向纤维由直变弯纵向纤维由直变弯b. 横向线仍为直线，横截面任为平面横向线仍为直线，横截面任为平面c. 相邻两横截面之间发生绕各自中性轴的相对移动，导致相邻两横截面之间发生绕各自中性轴的相对移动，导致了梁的由直变弯，以及纵向纤维的伸长、缩短。了梁的由直变弯，以及纵向纤维的伸长、缩短。llDCHAP. 4 直梁的弯曲直梁的弯曲 现在来寻找横截面上正应力变化规律，推导其计算公式。为此须对纵向现在来寻找横截面上正应力变化规律，推导其计算公式。为此须对纵向纤维的线应变作进一步的定量分析。纤维的线应变作进一步的定量分析。仍取相邻二截面仍取相邻二截面a1b1c1d1,a2b2

30、c2d2，坐标系取法同前，坐标系取法同前，x轴中轴线轴中轴线（为正），为正），y轴截面垂直于对称轴（轴截面垂直于对称轴（ 为正），为正），Z轴垂直于轴垂直于xy平平面面中性轴方向，原点通过截面形心。中性轴方向，原点通过截面形心。变形前变形前变形后变形后llDCHAP. 4 直梁的弯曲直梁的弯曲 图（图（a）是变形前情况，三条纵向线）是变形前情况，三条纵向线m1m2=o1o2=n1n2=dx图（图（b）是弯曲以后情况，相邻二横截面发生了绕各自中性轴的相对移动，）是弯曲以后情况，相邻二横截面发生了绕各自中性轴的相对移动，于是有：于是有：中性层上纵向纤维中性层上纵向纤维o1o2变成弧线，其长度不变，

31、但其曲率半径由变成弧线，其长度不变，但其曲率半径由b. 其它位置上纵向纤维有不同程度的拉伸（其它位置上纵向纤维有不同程度的拉伸（n1n2）或缩短（）或缩短（m1m2）。）。 任取一距中性层为任取一距中性层为y的纵向纤维的纵向纤维n1n2来研究，弯曲后弧线来研究，弯曲后弧线n1n2变形前变形前n1n2o1o2弧线弧线o1o2于是于是其纵向线应变其纵向线应变又因又因 上式中上式中 表示的是梁某截面表示的是梁某截面a1b1c1d1与相邻截面之间发生的相对移动程与相邻截面之间发生的相对移动程度大小，而度大小，而 表示梁的轴线在所讨论截面形心处的曲率变化量。表示梁的轴线在所讨论截面形心处的曲率变化量。

32、从不同角度反映了梁在讨论的横截面处的弯曲变形梯度。从不同角度反映了梁在讨论的横截面处的弯曲变形梯度。dxd ydnnnnl2121弧线1dxd,dxooood2121弧dxd1 1,dxddxydnnnnnn212121弧（4-1）（4-2）d)y(llDCHAP. 4 直梁的弯曲直梁的弯曲 结论：只要梁的轴线有曲率变化，就会有弯曲变形，而且轴线上哪一点的曲结论：只要梁的轴线有曲率变化，就会有弯曲变形，而且轴线上哪一点的曲率变化量大，那一点所在截面处的弯矩也就大。率变化量大，那一点所在截面处的弯矩也就大。（y向下为，应变也为，受向下为，应变也为，受“拉拉”； y向上为，向上为，应变也为应变也为

33、，受，受“压压”）（4-3）式反映了平面弯曲梁任一横截面上各点纵向线应变沿截面高度的变化）式反映了平面弯曲梁任一横截面上各点纵向线应变沿截面高度的变化规律。规律。y1y将（将（4-1）代入（）代入（4-2），得），得（4-3）llDCHAP. 4 直梁的弯曲直梁的弯曲 （2） 物理关系物理关系假设纵向纤维之间不存在相互挤压，因而每一纵向纤维皆可以应用单向拉（压）假设纵向纤维之间不存在相互挤压，因而每一纵向纤维皆可以应用单向拉（压）的的HOOK定律定律 代入代入 （4-3）式，得）式，得 （4-4）EEy梁在弯曲时，其横截面上任一点的正应力与该点到中性轴的距离成正比。同一梁在弯曲时，其横截面上任

34、一点的正应力与该点到中性轴的距离成正比。同一高度处各点正应力相等。向下各点高度处各点正应力相等。向下各点y为正，拉应力，为正，拉应力，向上各点向上各点y为负，压应力。为负，压应力。llDCHAP. 4 直梁的弯曲直梁的弯曲 例：直径例：直径1mm的钢丝缠绕在一圆柱体上，要保持受弯钢丝的弹性，试问圆柱体的的钢丝缠绕在一圆柱体上，要保持受弯钢丝的弹性，试问圆柱体的直径不得小于多少？已知钢丝的比例极限为直径不得小于多少？已知钢丝的比例极限为400MPa, 弹性模量弹性模量E=2*105MPa。maxmaxEyMPammdy400,5 . 02maxmaxmmyEp250.maxmin所以圆柱体直径不

35、得小于所以圆柱体直径不得小于500mm。llDCHAP. 4 直梁的弯曲直梁的弯曲 （3）静力关系）静力关系 （4-4）式得到了弯曲正应力和曲率半径的关系。更多时候，曲率半径未知，）式得到了弯曲正应力和曲率半径的关系。更多时候，曲率半径未知，必须确定曲率半径与外载荷必须确定曲率半径与外载荷M之间的关系，从静力学关系中寻找曲率半径与之间的关系，从静力学关系中寻找曲率半径与外载荷外载荷M的关系。的关系。 由弹性理论证明，中性轴（截面上纵向纤维长度不变的轴）必须通过横由弹性理论证明，中性轴（截面上纵向纤维长度不变的轴）必须通过横截面形心，这样我们可以完全确定中性轴位置，中性轴上各纵向纤维，在中截面形

36、心，这样我们可以完全确定中性轴位置，中性轴上各纵向纤维，在中性层平面，其长度不变。性层平面，其长度不变。 前面已经讨论过，在形成横截面的无数个微小面积前面已经讨论过，在形成横截面的无数个微小面积dA上作用着上作用着 力对力对中性轴所构成的合力矩即为该截面的弯矩中性轴所构成的合力矩即为该截面的弯矩M，AdAyMdAEydAyEdAyEMA22A由由dAyA2是截面常量，称为横截面对中性轴是截面常量，称为横截面对中性轴Z的轴惯性矩。用的轴惯性矩。用IZ表示表示（m4，mm4），其值取决于横截面的形状和尺寸。），其值取决于横截面的形状和尺寸。llDCHAP. 4 直梁的弯曲直梁的弯曲 由此得到由此得

37、到 ， ZIEMZEIM1（4-5）上式表示直梁弯曲时，相对转角上式表示直梁弯曲时，相对转角 越大的横截面，其截面上弯矩越大，越大的横截面，其截面上弯矩越大，它反映了截面转动与截面内力之间的关系。它反映了截面转动与截面内力之间的关系。 )1(dxd将（将（45）代入（）代入（44）得到正应力计算公式）得到正应力计算公式 ZIMy1Ey（4-6）上式中，上式中，y为讨论点离中性轴的距离，向下为正，为讨论点离中性轴的距离，向下为正，中性轴中性轴Z过截面形心，且过截面形心，且垂垂直直截面对称轴。截面对称轴。（46）式适用前提：）式适用前提：a. 梁的材料服从虎克定律（纵向纤维间不存在相互挤压，仅有单

38、向拉（压）梁的材料服从虎克定律（纵向纤维间不存在相互挤压，仅有单向拉（压）b. 压拉EEllDCHAP. 4 直梁的弯曲直梁的弯曲 对于对于T，槽形等截面，横截面不对称于中性轴，此时有二个，槽形等截面，横截面不对称于中性轴，此时有二个WZ，以，以y1，y2表示表示中性轴离上、下边缘距离中性轴离上、下边缘距离, ZmaxmaxIMymaxZzyIW 由由令令ZmaxWM得得（4-7）（4-8）WZ横截面对中性轴横截面对中性轴Z的抗弯截面模量（的抗弯截面模量（m3，mm3）111maxZZWMIMy222maxZZWMIMy以上应力公式以上应力公式 虽然是在基于纯弯曲的假设推导得出虽然是在基于纯弯

39、曲的假设推导得出的，但只要梁的的，但只要梁的l/h5，对于剪切弯曲的梁，上式仍有效。，对于剪切弯曲的梁，上式仍有效。ZIMy其一为拉应力，另一为压应力。其一为拉应力，另一为压应力。llDCHAP. 4 直梁的弯曲直梁的弯曲 （4）截面的）截面的IZ与与WZ IZ，WZ与与A一样，反映的是截面的几何性质，面积一样，反映的是截面的几何性质，面积A的大小反映了杆件抗的大小反映了杆件抗拉（压）能力的强弱，而拉（压）能力的强弱，而IZ，WZ则反映了截面抗弯能力的大小。相同材料，则反映了截面抗弯能力的大小。相同材料，相同面积，若相同面积，若IZ（WZ）不同，则其抗拉能力相同，而抗弯能力可能差异很大。）不同

40、，则其抗拉能力相同，而抗弯能力可能差异很大。M一定，一定，IZ（WZ）大则应力小，因此在选择梁的截面形状和尺寸，应尽量使）大则应力小，因此在选择梁的截面形状和尺寸，应尽量使横截面具有较大的横截面具有较大的IZ（WZ）。）。下面分析计算矩形截面的下面分析计算矩形截面的IZ，WZ取取dAbdy A2h2h22ZbdyydAyI6,1223bhWbhZ6hbW,12hbI2y3y 表表4，P72列出了常用截面的列出了常用截面的IZ，WZ（圆（环），矩形，记住。（圆（环），矩形，记住。llDCHAP. 4 直梁的弯曲直梁的弯曲 2） 正应力强度条件及应用正应力强度条件及应用 通常，等截面直梁在剪切弯曲

41、时，通常，等截面直梁在剪切弯曲时， 的截面是梁的危险截面，在危险截面的截面是梁的危险截面，在危险截面上下边缘处所产生的正应力是整个梁在工作时的最大应力。从强度角度，为上下边缘处所产生的正应力是整个梁在工作时的最大应力。从强度角度，为了保证梁能安全工作，须满足：了保证梁能安全工作，须满足：maxM maxbZmaxmaxWM为许用弯曲应力为许用弯曲应力 ，可查手册，可查手册b有有2个注意点：个注意点：（1）当横截面不对称于中性轴（如）当横截面不对称于中性轴（如T字钢，工字钢，槽钢等）当字钢，工字钢，槽钢等）当压拉取取W1,W2中较小者。中较小者。（2）当材料的许用拉伸（压缩）应力不等时，分别计算

42、最大的正弯矩以及）当材料的许用拉伸（压缩）应力不等时，分别计算最大的正弯矩以及最大的负弯矩，分别求这最大的负弯矩，分别求这2个横截面上最大拉应力，最大压应力，需校核个横截面上最大拉应力，最大压应力，需校核4点。点。llDCHAP. 4 直梁的弯曲直梁的弯曲 解题步骤：解题步骤：a. 求支座反力求支座反力;b. 作作Mx图，确定危险截面图，确定危险截面;c.建立强度条件建立强度条件例例4-4 一简支梁受均布载荷作用，已知梁长一简支梁受均布载荷作用，已知梁长l=3m, 其横截面为矩形，其横截面为矩形，h=15cm, b=10cm,均布载荷集度均布载荷集度q=3000N/m, 梁的材料为松木，其许用

43、梁的材料为松木，其许用弯曲应力弯曲应力 =10MPa, 试按正应力校核此梁的强度。试按正应力校核此梁的强度。b简单的强度校验，检验简单的强度校验，检验Mmax截面处截面处 maxmax,910*910*75. 3337510*75. 36)15. 0(*1 . 06.337583*30008max64maxmax342222maxMPaPaWMmbhWmNqlMllDCHAP. 4 直梁的弯曲直梁的弯曲 例例4-5 一反应釜重一反应釜重30KN，安放在跨长，安放在跨长1.6m的两根横梁中央，若梁的横的两根横梁中央，若梁的横截面采用如图所示的截面采用如图所示的3种形状（矩形截面种形状（矩形截面a

44、/b=2），试确定梁的截面尺寸，），试确定梁的截面尺寸，并比较钢材重量。梁材料并比较钢材重量。梁材料Q235A ， =120MPa。b366maxmaxmax10*5010*1206000.600046 . 1*1500042mMWWMmNpllRMbbA解：解：由正应力强度条件由正应力强度条件可得所需的最小抗弯截面模量可得所需的最小抗弯截面模量截面比较一：截面比较一：llDCHAP. 4 直梁的弯曲直梁的弯曲 23332233223 .35.2 . 4,4 . 850122*662 .53.6 .10,3 . 55036.26cmbaAcmbcmacmaabaWcmbaAcmacmbcmbb

45、babW平放：平放：立放：立放：工字钢：查附表工字钢：查附表A-1，10#工字钢的工字钢的W=49cm3，较接近，可，较接近，可用。查得用。查得A=14.3cm2;三种不同截面所需钢材质量比（面积比）：三种不同截面所需钢材质量比（面积比）：工字钢：矩形立放：矩形平放工字钢：矩形立放：矩形平放=1：2.45：3.91llDCHAP. 4 直梁的弯曲直梁的弯曲 截面比较二：截面比较二：例例4-6 现有三根跨长现有三根跨长4m的简支梁，三根梁的材料均为的简支梁，三根梁的材料均为Q235-A，许用弯曲应力，许用弯曲应力120MPa, 它们截面形状不同，但截面面积相同（它们截面形状不同，但截面面积相同（

46、21.5cm2)。若在梁中央有一集。若在梁中央有一集中载荷，试问：三根梁所允许承受的最大载荷分别是多少？如果在距支座中载荷，试问：三根梁所允许承受的最大载荷分别是多少？如果在距支座1m处置一集中载荷，该载荷最大允许值多少？如果该三根梁承受的是均布载荷，处置一集中载荷，该载荷最大允许值多少？如果该三根梁承受的是均布载荷，最大载荷又是多少？最大载荷又是多少？解：梁所能承受的最大弯矩解：梁所能承受的最大弯矩WM mNmmNM.12240.10*12240120*10*10233mNmmNM.2640.10*2640120*10*2233mNmmNM.1500.10*1500120*10*5 .1233工字钢工字钢矩形立放矩形立放矩形平放矩形平放llDCHAP. 4 直梁的弯曲直梁的弯曲 lMP 44maxPlM当梁在其中央承受集中载荷当梁在其中央承受集中载荷P时，其最大弯矩在梁的中央，且时，其最大弯矩在梁的中央，且 故故 b. 当在距支座当在距支座l/4处作用着集中载荷处作用着集中载荷P时，最大弯矩在集中载荷作用点处。且时，最大弯矩在集中载荷作用点处。且故故PllaPaM163)1 (maxlMP316c.