有关定积分计算和证明方法ppt课件

1、山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂二、有关定积分计算和证明的方法二、有关定积分计算和证明的方法一、与定积分概念有关的问题的解法一、与定积分概念有关的问题的解法第五章习题课第五章习题课山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂问题问题1:1:曲边梯形的面积曲边梯形的面积问题问题2:2:变速直线运动的路程变速直线运动的路程存在定理存在定理广义积分广义积分定积分定积分定积分定积分的性质的性质定积分的定积分的计算法计算法牛顿牛顿- -莱布尼茨公式莱布尼茨公式)()()(aFbFdxxfba 主要内容山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂一、与定积分概念有关的问题的解法一、与定积分概念有关的问题的

2、解法1. 用定积分概念与性质求极限2. 用定积分性质估值3. 与变限积分有关的问题例例1. 求求.d1lim10 xeexxxnn解解: 由于由于 1,0 x时,xxneex10所以xeexxxnd1100 xxnd1011n利用夹逼准那么得0d1lim10 xeexxxnn,nx山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂2222241241141limnnnnn例例2. 求极限求极限)(41)(41)2(4114112222nnninnn 原原式式解：解：一个积分和式一个积分和式, ,于是于是在0,1上的从上式可以看出它是函数241)(xxf原式原式dxx10241012arcsinx6山东农

3、业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例例3. 求极限求极限).2212(lim12121nnnnnnnnn解：解：原式nn1limnini121limnnnnini12n1xxd2102ln111limnnnini12左边右边=nn1limnini12nlimninin121xxd2102ln1利用夹逼准那么得)2212(lim12121nnnnnnnnn2ln1山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例例4. 证明证明.2d222042exeexx证证: 令令,)(2xxexf那么xxexxf2) 12()(令,0)( xf得,21x, 1)0(f,1)(421ef2)2(ef,1)(min4

4、2,0exf22,0)(maxexf故22042d22exeexx山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例例5. 设设,d)sin()(02ttxxfx求.)(dxxdf解:令x-t=u, 那么ttxxfxd)sin()(02uuxdsin02uuxdsin02dxxdf)(dxuudxdsin022sin x例例6. 设设,dsin)(21tttxfx10.)(dxxxf求解:原原式式1022)(xdxfdxxfxxfx)(201)(21022xdxxxx2sin2221022102sin21dxx).11(cos2101cos212x山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂dttdttx

5、xxtan0sin000sintanlim解：解：)00(型型不不定定型型xxxxx200sec)sin(tancos)tan(sinlim2100)sin(tan)tan(sinlimxxx1 例例7. 原原式式2100tansinlimxxx山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例例8. 知知,)(111)(1022dxxfxxxf解解: 两端积分两端积分 求.)(10dxxf,)(111)(1010210210dxxfdxxdxxdxxf即,)(44)(1010dxxfdxxf所以.4)(10dxxf10.)(dxxf由由 xtdtexf12)(2)(xexf 1010)()(dxxf

6、 xxxfxtdtexf12)(例例9. 求求其中解解: 102dxxex) 1(211e10)(dxxf山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例例10.ttttfxfxdcos2sin)()(02求可微函数 f (x) 使满足解解: 等式两边对等式两边对 x 求导求导, 得得)()(2xfxfxxxfcos2sin)(无妨设 f (x)0,那么xxxfcos2sin21)(xxfxfd)()(xxxdcos2sin21Cx )cos2ln(21留意 f (0) = 0, 得3ln21C3ln21)cos2ln(21)(xxfxcos23ln21山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂二、有

7、关定积分计算和证明的方法二、有关定积分计算和证明的方法1. 熟练运用定积分计算的常用公式和方法2. 留意特殊方式定积分的计算3. 利用各种积分技巧计算定积分4. 有关定积分命题的证明方法思索思索: 以下作法能否正确以下作法能否正确?xxx1d1112112山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例例11. 求求.d2sin120 xxI解解: :xxxId)cos(sin202xxxdcossin20 xxxd)sin(cos40 xxxd)cos(sin24cossinxx04sincosxx42) 12(22yox4xsinxcos山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例例1212. )

8、1(ln1sin212128 dxxxx求求解解dxx 2121)1ln(0原式原式dxxdxx 210021)1ln()1ln(.21ln23ln23 例例1313.,1min222 dxxx求求解解 1,11,1min22xxxxxx是偶函数,dxxx,1min2220 原原式式 21102122dxxdxx. 2ln232 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例例14. 求求.d12ln02xex解解: 令令那么),1ln(212tx,d1d2tttx原式tttd123022ttd)111(230223)32(ln,12xet023|11|ln2123tt山东农业大学 高等数学 主讲

9、人： 苏本堂例例15. 求求.d1arcsin30 xxx解解: 令令那么tx2tan,tandd2tx 原式tt230tandttttdtan03)tan(2023. 334dtt) 1(sec302,1arcsinxxt山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例例16. 设设.d)(0 xxf,dsin)(0 xttxfx求解解: 令令xxfd)(0)( d)(0 xxfxxxfxxfd)(| )( )(00 xxxxd)(sin002dsin0 xx例例17. 求求.d)1(2112xxx 解解: 原式.d)121 (21122xxxxxxxd)21 (112.d12112xxx.310

10、山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例例18. 假设假设, 1,0)(Cxf证明证明: 令令试证 :xxfxd)(sin0 xxfd)(sin20 xxfd)(sin20, xt那么xxfxd)(sin0ttftd)(sin)(0ttfd)(sin0ttftd)(sin0 xxfxd)(sin0 xxfd)(sin20山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂由于xxfd)(sin0 xxfd)(sin20 xxfd)(sin2对右端第二个积分令xtxxfd)(sin220综上所述xxfxd)(sin0 xxfd)(sin20 xxfd)(sin20山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例

11、例19. 假设假设, 1,0)(Cxf证明证明: f(x)在在0,1上延续上延续, 那么那么f(x)在在0,1上有界上有界.设设|f(x)|M.试证 :0d)(lim10 xxfxnn那么xxfxnd)(00 xxfxnd| )(|0 xxMnd01nM由两边夹法那么0|d)(|lim10 xxfxnn所以0d)(lim10 xxfxnn山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例例20. 证明恒等式证明恒等式)20(4darccosdarcsin22cos0sin0 xttttxx证证: 令令ttttxfxxdarccosdarcsin)(22cos0sin0那么)(xfxxxcossin2x

12、xxcossin20因此, )0()(2xCxf又)(4fttttdarccosdarcsin212100tttdarccosarcsin210td21024故所证等式成立 .山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例例21. 设设f(x)在在0,1上可导上可导证明证明: 存在存在且满足xxfxfd)(2) 1 (210分析:设) 1 , 0(使0)()(ff).()(xxfx 只需求在0,1上找两点x1,x2使).()(21xx即可,显然应该从xxfxfd)(2) 1 (210得到.证明证明: 设).()(xxfx 由条件得)(x在0,1上延续,在(0,1)内可导, 且).1 () 1 (f由积分中值定理得.210),(d)(2210fxxfx于是)()(f).1 () 1 (d)(2210fxxfx根据罗尔定理: 存在) 1 , 0() 1 ,(使得. 0)()()(ff山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂)(xf例例22. 设设, ,)(baCxf证证: 设设且试证 :,0)(xf2)()(dd)(abxfxxxfbabattfxFxad)()(xat