概率论复习资料之大题6

1、可能不是原题，尽量理解例 1.2020.已知5%的男人和 0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人 是男人的概率(假设男人和女人各占人数的一半)【解】 设A=此人是男人,B=此人是色盲，则由贝叶斯公式P( A B)P(AB)P(A)P(B|A)P(A B)P(B)P(A)P(B A) P(A)P(B A)0.50.05200.5 0.05 0.5 0.00252126.将两信息分别编码为 A和B传递出来，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01.信息A与B传递的频繁程度为 2 : 1 .若接收站收到的信息 是A,试问原发信息是 A的概率是

2、多少？【解】 设A=原发信息是A，则=原发信息是BC=收到信息是A，则=收到信息是B 由贝叶斯公式，得P(A)P(C|A)P(AC) iP(A)P(C|A) P(A)P(C A)0.994922/3 0.982/3 0.98 1/3 0.0128.某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02, 一个次品被误认为是合格品的概率为0.05,求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】 设A=产品确为合格品, B=产品被认为是合格品 由贝叶斯公式得P(AB)P(AB)P(B)P(A)P(B|A)P(A)P(B A) P(A)P(B A)3 / 50.

3、9980.96 0.980.96 0.98 0.04 0.0534.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2;若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6;若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率【解】设A=飞机被击落, Bi=恰有i人击中飞机, i=0,1,2,3 由全概率公式，得3P(A)P(A|Bi)P(Bi)i 0=(0.4X 0.5 X 0.3+0.6X 0.5X 0.3+0.6X 0.5X 0.7)0.2+(0.4 X 0.5X 0.3+0.4 X 0.5X 0.7+0.6 X 0.5 X 0.

4、7)0.6+0.4 X 0.5 X 0.7=0.458例 2.9; 2.1024.设随机变量X分布函数为F( x)='0,x(1)求常数A，B ；(2)求 PXW 2 , PX> 3;(3)求分布密度f (x).lim F (x)1A 1U(1)由 x得lim F(x) limF(x)B 1x 0x 0(2) P(X 2)F(2)1 e 2P(X 3) 1F(3)1(1 e3)e3ex,x0 f (x) F (x)0,x025设随机变量X的概率密度为Bex 0,0.(0),求X的分布函数F【解】当x<0时F( x)=0当 0wx<1 时 F(x)d(22X- 2X21

5、 - 21X22X- 2x,f( x)= 2 x,0,(x)，并画出f (x)xf(t)dtdx当x>2 时 F(x) f(t)dt 10f(t)dtd1,2,x0f(t)dt0,x02x01J2F(x)2 2x故x2x 1, 1x221,x28设二维随机变量(X, Y)的概率密度为9 / 5f (X, y)4.8y(20,X),0 x 1,0 y x,其他.求边缘概率密度【解】fX(X)f (x, y)dyx0 4.8y(2 x)dy0,2.4x2(20,x),0 x其他.1,fY(y)f (x, y)dx14.8y(2y0,x)dx2.4y(30,4y),0其他.y 1,题8图X，Y

6、)的概率密度为9设二维随机变量f (x, y)=0,x y,其他.求边缘概率密度【解】fx(x)f (x, y)dyx0,ydy ex, x 0,0, 其他.fY(y)f (x, y)dxye ydxyex, y 0,0, 其他.（2） X与Y是否相互独立?故X与Y不独立.1设随机变量X的分布律为X1012P1/81/21/81/4求 E（ X），E（ X2），E（ 2X+3）11111【解】(1) E(X) ( 1)012;8284 222 12 12 12 1 5(2) E(X )( 1)- 01- 2；8284 41(3) E(2X 3)2E(X)323425.设随机变量X的概率密度为x

7、, 0 x 1,f（ x）=2x,1x 2,0,其他21 x(2 x)dx求 E（ X），D（ X）1 2【解】E(X) xf(x)dx ox2dxx3 21.2E(X )2x f (x)dx"x3dx：x2（2x)dx1故 D(X) E(X2) E(X)21.2.假设一条生产线生产的产品合格率是0.8.要使一批产品的合格率达到在76%与84%之间的概率不小于90%，问这批产品至少要生产多少件?【解】令Xi1,若第i个产品是合格品,0,其他情形而至少要生产n件，则i=1,2,n,且Xi, X2,，Xn 独立同分布，p=PXi = 1=0.8.现要求n,使得nXiP0.760.840.

8、9.np 0.76 n 0.8n.n 0.8 0.2Xii 10.8n一.n 0.8 0.20.84n 0.8n、；T0ra O'9由中心极限定理得整理得0.84n 0.8n*0.16n0.76n 0.8nv0.16n0.9,0.95,查表1.64,10 10n26.96,故取 n =269.5.有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于 3m.现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有 30根短于3m的概率是多少？【解】设100根中有X根短于3m,则XB （100, 0.2）从而PX 30 1 PX 30 130 100 0.2.100 0.2 0.81(2.5)1 0.99380.0062.例 7.128.某车间生产的螺钉，其直径XN