概率与数理统计知识点总结

1、名师精编优秀资料大公式P(A)基本事件 随机试验E样本空间门 随机事件古典概型 几何概型1独立性 贝努利概型第一章随机事件和概率第一节基本概念1、概念网络图加法B C 减法B - C条件概率B/C和乘法公式BC 全概公式 贝叶斯公式2、重要公式和结论(1)排 列组合 公式pm-( m!)!从m个人中挑出n个人(m n)!进行排列的可能数。cm =专叫；从m个人中挑出n个人 n! (m - n)!进行组合的可能数。(2)加 法和乘 法原理加法原理(两种方法均能完成此 事) : m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方 法可由n种方法来完成，则这件事 可由m+n种方法来完

2、成。乘法原理(两个步骤分别不能完成 这件事)：mx n某件事由两个步骤来完成，第一个 步骤可由m种方法完成，第二个步 骤可由n种方法来完成，则这件事 可由mX n种方法来完成。(3) 些常见 排列重复排列和非重复排列(有序) 对立事件(至少有一个)顺序问题(4)随 机试验 和随机 事件如果一个试验在相同条件下可以重 复进行，而每次试验的可能结果不 止一个，但在进行一次试验之前却 不能断言它出现哪个结果，则称这 种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。(5)基 本事 件、样 本空间 和事件在一个试验下，不管事件有多少个， 总可以从其中找出这样一组事件， 它具有如下性质： 每进行一次试验，必

3、须发生且只 能发生这一组中的一个事件； 任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为 基本事件，用1来表示。基本事件的全体，称为试验的样本 空间，用表示。一个事件就是由中的部分点（基本 事件）组成的集合。通常用大写字 母A, B, C,表示事件，它们是的 子集。a为必然事件，？为不可能事件。 不可能事件（？）的概率为零，而概 率为零的事件不一定是不可能事 件；同理，必然事件（Q）的概率 为1,而概率为1的事件也不一定是 必然事件。（6）事 件的关 系与运 算关系：如果事件A的组成部分也是事件B 的组成部分，（A发生必有事件B发 生）：A*如果同时有ab，B*，则称事

4、件A 与事件B等价，或称A等于B: A=BA B中至少有一个发生的事件：AB,或者 A+Bo属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B, 也可表示为A-AB或者ab ,它表示A 发生而B不发生的事件。A、B同时发生：A B,或者ABA B=?， 则表示A与B不可能同时发生，称 事件A与事件B互不相容或者互 斥。基本事件是互不相容的。1-A称为事件A的逆事件，或称 A 的对立事件，记为A。它表示 A不 发生的事件。互斥未必对立。运算：结合率：A(BC)=(AB)C A U (B UC)=(A U B) U C分配率：(AB) U C=(AU C) n (B U C)3AiAi

5、(A U B) n C=(AC) U (BC)i d i dA B =德摩根率：A B = A B本空间，A为事件，对(7)概 率的公每一个事件A都有一个实数P(A)，若 满足下列三个条件：理化定 义1° 0 < P(A) < 1,2° P( Q ) =13 °对于两两互不相容的事件pMi <P(A)i A常称为可列(完全)可加性。(8)古 典概型(9)几 何概型(10)加法公则称P(A)为事件a的概率。1 ' 1 = 1 ' 1 , 2' n r> ,12 pg|)= pE|)Tp魁)一。n设任一事件A，它是由12

6、 m组成 的，则有A* 1)(匕)(m)，P( 1)P('2)P( m)m _ A所包含的基本事件数一 n 一 基本事件总数若随机试验的结果为无限不可数并 且每个结果出现的可能性均匀，同 时样本空间中的每一个基本事件可 以使用一个有界区域来描述，则称 此随机试验为几何概型。对任一事 件A,p(a)=L。其中L为几何度量(长度、 面积、体积)。P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB) = 0 时，P(A+B)=P(A)+P(B)(11)P(A-B)=P(A)-P(AB)减法公 式当 BA 时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当 A=Q时，P(b)=1- P(B)(12

7、)条件概 率定义 设A B是两个事件，且P(A)>0 , 则称P(AB)为事件A发生条件下，事件 P(A)B发生的条件概率，记为P(B/A) P(AB)。P(A) 条件概率是概率的一种，所有概率 的性质都适合于条件概率。例如 P( Q /B)=1 =P(b/A)=1-P(B/A)(13)乘法公 式乘法公式：P(AB) =P(A)P(B/A)更一般地，对事件 Al，A，A，若 p(aa a-i)>o，贝g有P(AiA2 An) = P(Ai)P(A2 | Ai)P(A3 | AiA2)P( An | A1A2 An _l)。(14)独立性两个事件的独立性设事件A、B满足p(AB)=P

8、(A)P(B)，则称 事件A、B是相互独立的。若事件A、B相互独立，且P(A)>0， 则有p(B|A)=鸣=旦出肌 P(B)P(A)P(A)若事件A、B相互独立，则可得到A 与B、A与B、7与B也都相互独立。必然事件和不可能事件？与任何 事件都相互独立。?与任何事件都互斥。多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两 独立的条件，P(AB)=P(A)P(B) ； P(BC)=P(B)P(C)； P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A B、C相互独立。 对于n个事件类似。(15)全概公 式设事件Bi,B2,Bn满足1 °Bi,B2

9、；b"两两互不相容，P(Bi) >0(i =1,2,n)，no oBi2 7，则有P(A) =P(B1)P(A| B1)Rp(B2)P(A| B2)P(Bn)P(A| Bn)。(16)贝叶斯公式设事件B1， b2，Bn及A满足1 °B1， B2，Bn两两互不相容，P(Bi)>0， i=12n* ) J )J?nc。 A 誣 B2 y，p(a)0，则P(Bi/AnP(Bi)P(A/Bi)，i=1，2,n。P(Bj )P(A/ Bj)i #名师精绳_ _优秀资料此公式即为贝叶斯公式。SB/ °i，2n )，通常叫先验 常称。后验概率。贝叶斯公式反映) “由

10、因朔因”勺概推贝叶并作出了(17)伯努利概型我们作了 n次试验，且满足每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；n次试验是重复进行的，即A发 生的概率每次均一样；每次试验是独立的，即每次试 验A发生与否与其他次试验 A发 生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为 n 重伯努利试验。用p表示每次试验A发生的概率，则A 发生的概率为-P=q，用Pn(k)表示n重伯 努利试验中A出现k(k)次的概率， f 八、kkn _kPn(k)二CnPq ， k=o,1,2,n。名师精编优秀资料第二章随机变量及其分布第一节基本概念1、概念网络图基本事件 随机变量Xf)P(A)(b) _F(a)0_1

11、分布二项分布随机事件Aa ： X _ b分布函数：F(x)=P(X冬x) >离散a 泊松分布超几何分布函数分布均匀分布 连续型指数分布正态分布名师精绳_ _优秀资料(1) 离 型 机量分 律散 随 变 的 布(2) 连 型 机量 分续 随 变 的 布密度2、重要公式和结论设离散型随机变量X的可能取值 为儿(k=1,2,)且取各个值的概率， 即事件(X=Xk)的概率为P(X=Xk)=p k, k=1,2,，则称上式为离散型随机变量 X的 概率分布或分布律。有时也用分布列 的形式给出：,xk,X | X1,X21 , Xk,P(X 二 Xk) 1 pi, P2厂,pk, o显然分布律应满足下

12、列条件：(1 ) P-O , k=1,2, ,( 2) J"。设F(x)是随机变量X的分布函数，若存 在非负函数()，对任意实数X，有XF(x)EEj(x)dx则称X为连续型随机变量。f(x)称为X 的概率密度函数或密度函数，简称概 率密度。密度函数具有下面4个性质：1 °f(x) O。2 f(x)dx = 1。(3) 离散 与连 续型 随机 变量 的关 系P(X =x)展 P(xX 昌x 翎dx)团f(x)dx积分元f(x)dx在连续型随机变量理论中 所起的作用与P(X =xk) = pk在离散型随机 变量理论中所起的作用相类似。(4)设X为随机变量，x是任意实数，分布则

13、函数函数F(x) = P(X Rx)称为随机变量X的分布函数，本质上 是一个累积函数。P(aX卜)=F(b)F(a)可以得到X落入区间(a,b的概率。分布函数F(x)表示随机 变量落入区间(-a, x内的概率。分布函数具有如下性质：1°0 昌F (x)昌-82°F(x)是单调不减的函数，即xi 9x2 时,有F(X1)F(X2)；3°F靈)=lim F(x) = 0，F(圖=lim F(x) =1 ；4F(x00) = F(x)，即 F(x)是右连续的；5P(X =x) = F(x) _F(x_0) o对于离散型随机变量，F(x)=lpk ；对于连续型随机变量，F

14、(x)=0f(x)dx °-X(5)0-1P(X=1)=p, P(X=0)=q八大分布名师精编优秀资料分布二 项 在n重贝努里试验中，设事件A 分布 发生的概率为P。事件A发生的 次数是随机变量，设为X，则X 可能取值为0,1,2, n。p（x 二 k）=Pn（k）=C：pkq2 ，其 中q =1 一 p,0 ： p : 1,k =0,1,2 , n，则称随机变量X服从参数为n，泊松 分布设随机变量X的分布律为P的二项分布。记为XB（n,p）。 当 n时，P（X 二k） = pkq1 上，0.1，这 就是（0-1 ）分布，所以（0-1） 分布是二项分布的特例。P（X=k）=kA， 0

15、，k = 0'1Z , 则称随机变量X服从参数为 的泊松分布，记为 X（）或者P（）。泊松分布为二项分布的极限分布（np=入，nfx）。P(X 二 k)二kn -kM * Cn -JMcNk =0,1,2 ,ll = min(M ,n)随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，H(n,N,M)o几何 分布均匀 分布P(X 二 k)二 qkp,k =1,2,3, 其中p>0, q=1-p。随机变量X服从参数为p的几 何分布，记为G(p)。设随机变量X的值只落在a , b内，其密度函数 心)在a，b 上为常数丄，即b _ aa< x< b其他,则称随机变量x在a , b

16、上服 从均匀分布，记为XU(a, b)。 分布函数为0, X - a J b-ax<a, aw x < bXF(x)二._：f (x)dx 二1,x>b。当aw X1VX2W b时，X落在区间 MN)内的概率为P(xx x2)= xi。b a指数 分布F(x)二f (x)二0,X ：: 0其中.0,则称随机变量 X 服从参数为的指数分布。 X的分布函数为0,x<0。记住积分公式:xnedx = n!名师精绳_ _优秀资料正态 分布设随机变量X 2的密度函数为f(x)二 2一 _八，"，其中普、卜0为常数，则称随 机变量x服从参数为J、二的正 态分布或高斯(Ga

17、uss)分布， 记为 xn(t2)。f(x)具有如下性质：1°f(x)的图形是关于XI对称的；2° 当X，时，f(,21为最大 值；若xnU)_|则x的分布函数为 F(x)= 2，_e 2、dt oo 参数"=0、一1时的正态分布称 为标准正态分布，记为XN (0,1), 其密度函数记为(x) e 2Z ，-: ： x ：,分布函数为1 x上(x)re 2dt o心)是不可求积函数，其函数 值，已编制成表可供查用。(-x) = 1-(x)且(0)=1o二 2),贝V X J N(0,1) o x2 -, x； - J21nIiI如果XN(jP(% ： X 沁2)=

18、门(6) 分位 数下分位表：P(X童)書； 上分位表：P(X量)肩。(7) 函数 分布离散型已知X的分布列为-窓的分布列'(n'；，g(Xi)互不相 等)如下：g(x2), , g(xn),若智某些gPXi)相等，则应将对应 的Pi相加作为g(x)的概率。连续型先利用X的概率密度fx(X)写 出Y的分布函数Fv(y) P(g(X) < y)，再利用变上下限 积分的求导公式求出fY(y)。名师精编优秀资料第三章二维随机变量及其分布第一节基本概念1、概念网络图(X,Y)t 丿1函数分布丿Z = max, min( X1, X2 flXn)离散型分布律 连续型分布密度三大统计分

19、布” t分布F分布:合分布边缘分布条件分布独立性Z 二 X Y2分布常见二维分布丿分布正态分布名师精编优秀资料2、重要公式和结论名师精绳_ _优秀资料(1)离 联合型 分布如果二维随机向量(X, Y)的所有可能取值为至多可列 个有序对(x,y)，则称为离 散型随机量。设=(X，Y)的所有可能取 值 为(Xi，y)(i, j =1,2,)， 且事件 =(Xi.yj)的概率为pij,称P(X,Y)=(x,yj)=Pij(i,j =1,2,)(X, Y)的分布律或称为 X和丫的联合分布律。联合分 布有时也用下面的概率分布表来表示:y1y2 y X1P11P12 P1j X2P21P22 P2 XiP

20、i1 Pij 这里Pij具有下面两个性质:(1) pij >0 (i,j=1,2,);(2) pa.i j连续型对于二维随机向量 1(X,Y)，如果 存在非负 函数 f (x, y)(x餌y廻)，使对任意一个其邻边分别平行于坐标 轴的矩形区域D，即 D=(X, Y)|a<x<b,cvyvd有 P(X,Y)d =Mf(x,y)dxdy, 则称为连续型随机向量；并 称f(x,y)为卜(X，Y)的分布 密度或称为X和丫的联合分布 密度。分布密度f(x,y)具有下面 两个性质：(1) f(x,y) > 0;f(x,y) dxdy = 1(2)二维 随机 变量 的本 质=x,Y

21、= y)署(X = x 1 Y = y)(3)联合分布函数设(X, Y)为二维随机变量，对于任 意实数x,y,二元函数F(x,y) =PX 沁,丫 曲称为二维随机向量(X, Y)的分布函 数，或称为随机变量 X和Y的联合分 布函数。分布函数是一个以全平面为其定义 域，以事件( 1, 2 )SXHiXSYflaA y的 概率为函数值的一个实值函数。分布 函数F(x,y)具有以下的基本性质：(1) O £F(x, y) £l;(2) F(x,y )分别对x和y是非减的， 即当 X2>Xi 时，有 F (X2,y ) > F(Xi,y); 当 y2>yi 时，有

22、 F(x,y 2) > F(x,y 1);(3) F (x,y )分别对x和y是右连续 的，即卩F(x, y)=F(x 0, y), F(x,y) = F(x,y 0);(4) F(：，：)= F(：，y) = F(x,：)= 0,F( ：, ：)"(5) 对于 Xi X2，yy2，F(X2，y2)- F(X2，yj - F(Xi，y?) Fg yj 一 0.名师精编优秀资料(4) 离散 型与 连续 型的 关系P(X =x, Y = y) P(x RX包xdx, y RY 冒y ” dy樹f (x, y)dxdy(5) 边缘 分布离散型X的边缘分布为P,= P(X = x)事

23、Pij(i, j=1,2,f)；jY的边缘分布为Pj二 P(Y 二 yj)圍 Pj(i,j=1,2,)。i连续型X的边缘分布密度为 fx(x)=(x, y)dy;丫的边缘分布密度为 fY(y) = |f(x, y)dx.(6) 条件 分布离散型在已知X=x的条件下，丫取值 的条件分布为PijP(丫二yj |X 二洛)=厶；在已知Y=y的条件下，X取值 的条件分布为PijP(X -Xi |Y-yj)-已,pH连续型在已知Y=y的条件下，X的条 件分布密度为f(x|y)(x，y)；fY(y)'在已知X=x的条件下，丫的条 件分布密度为f(y|x)=f(x'y)fx(x)(7) 独立

24、 性般型F(X,Y)=F x(x)F Y(y)离散型有零不独立连续型f(x,y)=fx(x)f 丫(y)直接判断，充要条件： 可分离变量 正概率密度区间为矩形一维 正态 分布站HH9L y-耳2f (x y) -1°刑p = 0名师精绳_ _优秀资料随机 变量 的函 数若Xl,X2,XnXm+1,X相互独 立，h,g为连续函数，贝 h(Xi，X X)和 g(Xm+i Xn)相互独立。特例：若x与丫独立，贝y： h (X)和g (丫)独立。例如：若X与丫独立，贝U: 3X+1 和5Y-2独立。名师精编优秀资料（8）二维均匀分布设随机向量（X, Y）的分布密度函数f(x, y)E0,（X

25、,y） D其他其中Sd为区域D的面积，则称（X，Y）服从D上的均匀分布，记为（X, Y）U (D)。例如图3.1、图3.2和图3.3y1 /D 1O 厂 x图3.1图3.2y（9） 二维 正态 分布设随机向量（X, Y）的分布密度函数 为HHpTj1其中P，關>oo,ll<1是5个参数，则称（X，Y服从二维正态分布，记为（X ,Y） N J，H2#,p.由边缘密度的计算公式，可以推出二 维正态分布的两个边缘分布仍为正态 分布，即 X N（Q，B2）,Y N鳳岸）.但是若 X N（2）,Y N（”,2），（X， Y）未必 是二维正态分布。（10 ）函 数分 布Z=X+Y根据定义计算：

26、 FZ =P（zg z） = P（xR丫包 z）对于连续型,f z（z） = R（x,z x）dx 两个独立的正态分布的和仍 为正态分布（）。 n个相互独立的正态分布的线 性组合，仍服从正态分布。呼工2ciQ2ii名师精编优秀资料Z=max,min(Xl,X2, X)若X,X J|xn相互独立，其分布函 数分别为 Fx,(x), Fx2(x)fx,(x),则Z=max,min(Xi,X2,%)的分布函数为：Fmax(X)= Fxi(X)防X2(X)卩冷(X)Fmin (x) = 1 -1 - FX1 (x)R1 - FX2 (x)J 1 - Fxn (X)2分 布u2je-20,：x2dx.设

27、门个随机变量X!,X2, ,Xn相互 独立，且服从标准正态分布， 可以证明它们的平方和n2W 八 Xi2i 4的分布密度为nf(u)制2番0,u：0.我们称随机变量W服从自由度 为n的2分布，记为W 2(n), 其中所谓自由度是指独立正态 随机变量的个数，它是随机变 量分布中的一个重要参数。2分布满足可加性：设Y - 上(nJ,则 kZ Yi 2(ni n- nJi 4设X Y是两个相互独立的随 机变量，且XN(0,1),Y 2(n),可以证明函数T亠 V Y/ n 的概率密度为f(t)= _、'n 二-(-：:t ：).n 12n我们称随机变量T服从自由度 为n的t分布，记为Tt(n

28、)。ti_：.(n) = -t-.( n)设 X 2(ni),Y 2(n2),且 X 与 Y 独 立，可以证明-XT的概率密丫 / n 2度函数为:0我们称随机变量F服从第一个 自由度为ni，第二个自由度为 n2的F分布，记为 Ff(n i,n2).Fi_.(ni, r)2)FRn 2, ni)名师精编优秀资料第四章 随机变量的数字特征第一节基本概念1、概念网络图维随机变量期望方差矩 t切比雪夫不等式二维随机变量.期望II协方差差相关系数办方差矩阵2、重要公式和结论(1)离散型连续型名师精编优秀资料随 变 的 字 征期望期望就是平均值设X是离散型 随机变量，其 分布律为P( X =Xk ) =

29、 pk ,k=1,2,n ,nE(X)長 XkPkk=1(要求绝对收 敛)函数的期望Y=g(X)nE(Y)审 g(Xk)Pkkd：方差2D(X)=EX-E(X)，标准差(X)*D(X)，D(X)物Xk-E(X)2pkk维 机量数特设X是连续 机变量，其 密度为f(xE(X)二 xf(x)dx(要求绝 敛)丫=g(x)E(Y)g(x)f(x)dD(X) = .x-E(X)矩对于正整数对于正k,称随机变量k,称随机变X的k次幕的的k次幂的数学期望为 X期望为X 的的k阶原点原点矩，记矩，记为Vk,即即VkV k=E(X )=k=E(Xk)=冒胡 Xi Pi ,k=1,2,k=1,2,对于正对于正整

30、数k,称随机变k,称随机变量与 E (X) 差X与E (X)差次幂的数的k次幂的数望为X的k学期望为X的心矩，记为k阶中心矩，即记为B,即整=E(X - E(X)k肖二 E(X -E(X)k二卜E(X)kf(=化-E(X)k Pi ,ik=1,2,k=1,2,切比雪夫不等式设随机变量X具有数学期(X)=卩，方差 D (X) =6 对于任意正数£,有下列切 夫不等式2(5P(|X )卄切比雪夫不等式给出了在未 的分布的情况下，对概率P(|X*| 冨) 的一种估计，它在理论上有 意义。>望性2期的质(1) E(C)=C(2) E(CX)=CE(X)(3) E(X+Y)=E(X)+E

31、(Y) ,y=1(4) E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X 和丫独充要条件：X和丫 关。(3)方差的性质(1)(2)(3)(4)(5)立;(4)常见分布的期望和方差0-1 分布 B(1, P)二项分布B(n, P)泊松分布PC)几何分布G(p)超几何分布H (n,M,N)均匀分布U(a, b)指数分布e(J期望pnp1PnMNa b21方差P(1 一 P)np(l - p)1 - PP2 nM彳M(b-a)21212D(C)=O ； E(C)=CD(aX)=a 2D(X) ； E(aX)=aE(X)D(aX+b)= a 2D(X) ； E(aX+b)=aE(X)+ D(X)=E(X2

32、)-E 2(X)D(X± Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X 和充要条件：X 和相关。D(X士Y )=D(X)+D( Y)2E(X-E(X)(Y-E(Y)，无条件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。2nnn2( n>正态分布N(T2)2分布t分布(5)二维随机变量的数字特征期望nE(X)超人 PiHi=1nE(Y)羸j丄函数的期望EG(X,Y)G(Xi,yj)Pij方差D(xHxJe(X)2pIiD(Y)电Xj - E(Y)2p.jE(X)二 xfx (x)dxE(Y)yfY (y)dyD(Y) = .y-E(Y)EG(X,Y)D(XG(x,y)f(x,

33、y)d七：)x-E(X)协方差对于随机变量X与丫，称它 二阶混合中心矩U为X与、 方差或相关矩，记为二XY或cov 即:XY =11 =E(X -E(X)(Y-E(Y).与记号j相对应，X与Y 的 D( X)与D( Y)也可分别记 与二 YY。名师精编优秀资料相关系数对于随机变量 X与Y,(X)>0, D(Y)>0，则称D(X), D(Y)为X与丫的相关系数，记作 时可简记为J。| 计 < 1,当 | | = 1 时，称Y完全相关：完全相关P(X = aY b) = 1 正相关，当包=1时(a > 负相关，当：' =-1时(a协方差矩阵混合矩而当，=0时，称X与

34、Y不相 以下五个命题是等价的： * = 0 ； cov(X, Y)=0; E(XY)=E(X)E(Y); D(X+Y)=D(X)+D(Y);5)D(X-Y)=D(X)+D( Y).对于随机变量 X与Y，如 E(XkYl)存在，则称之为 X 与 k+l阶混合原点矩，记为' 阶混合中心矩记为：UkE(E(X)k(-E(Y)1.(6) 协方 差的 性质(i) cov (X, Y)=cov (Y, X);(ii) cov(aX,b Y)=ab cov(X, Y);(iii) cov(Xi+X2, Y)=cov(X i,Y)+cov(X 2,Y);(iv) cov(X, Y)=E(X Y)-E(

35、X)E( Y).(7) 独立 和不 相关(i )若随机变量X与丫相互独立，则L=o； 反 真。(ii )若(X, Y)N(PIH2,),则X与丫相互独立的充要条件是： 不相关。第五章 大数定律和中心极限定理第一节基本概念1、概念网络图大数定律列维-林德伯格定理 棣莫弗-拉普拉斯定理切比雪夫大数定律 伯努利大数定律 辛钦大数定律中心极限定理;项定理2、重要公式和结论(1 )大 数定律切 比 雪 夫 大 数 疋 律设随机变量Xi, X2,相互独 立，均具有有限方差，且被同 一常数C所界：D ( X ) <C(i=1,2,),则对于任意的 正数£,有limn_：:特殊情形：若Xi,

36、X2,具 有相同的数学期望E( X)= 则上式成为 limX,*m!l=1.n :.名师精绳_ _优秀资料伯 努 利 大 数 疋 律设a是n次独立试验中事件 A发生的次数，p是事件A在 每次试验中发生的概率， 则对 于任意的正数£,有1.伯努利大数定律说明，当试 验次数n很大时，事件A发生 的频率与概率有较大判别的 可能性很小，即这就以严格的数学形式描述 了频率的稳定性。辛 钦 大 数 疋 律设Xi,夫，,X，是相互 独立同分布的随机变量序列， 且E (X) =a，则对于任意的 正数&有 卜f九名师精编优秀资料(2)中心极限定理_ 2X > N()n林 德 伯 格 疋

37、理lim Fn (x)二 lim Pn ,n ：:：° Xk - n，"X设随机变量Xi,夫，相互 独立，服从同一分布，且具有 相同的数学期望和方差： E(XQ = D(Xk)=宀 0(k =1,2,)，则随机 变量n' Xk - rH Yn 亠i n匚的分布函数Fn( X)对任意的实 数x,有拉 普 拉 斯 疋 理=lim此定理也称为 独立同分布 的 中心极限疋理。设随机变量Xn为具有参数 n, p(0<pv1)的二项分布，则对于 任意实数x,有Xn_fP .工.=Jnp(1 - P)名师精编优秀资料(3): 项定理若当N:时,M > p(n,k不变)

38、，则N，k n _kCM CN JMk kn_k 鼻 Cn P (1- P)(Nt 童.CN超几何分布的极限分布为二项分 布(4) 泊 松定理若当n > ：时,np > 0，贝C：pk(1-P)nj! > k! V(n；").其中k=0, 1, 2,n,。 二项分布的极限分布为泊松分布。(n >第六章数理统计的基本概念第一节基本概念1、概念网络图数理统计的基本概念总体个体样本样本函数统计量>正态总体下的四大分布名师精编优秀资料2、重要公式和结论>理计基概<数统的本念总体在数理统计中，常把被考祭对 象的某一个（或多个）指标的 全体称为总体（或母

39、体）。我 们总是把总体看成一个具有 分布的随机变量（或随机向 量）。个体总体中的每一个单元称为样 品（或个体）。样本我们把从总体中抽取的部分 样品X,X2,x ”称为样本。样本中 所含的样品数称为样本容量， 一般用n表示。在一般情况下， 总是把样本看成是n个相互独 立的且与总体有相同分布的 随机变量，这样的样本称为简 单随机样本。在泛指任一次抽 取的结果时，X,X2,"xn表示n个 随机变量（样本）；在具体的 一次抽取之后，Xi,X2,x”表示n 个具体的数值（样本值）。我 们称之为样本的两重性。样本 函数 和统 计量设Xi,X2, Xn为总体的一个样本， 称骨(Xi,X2 J ,X

40、n) 为样本函数，其中1为一个连 续函数。如果P中不包含任何 未知参数，则称(M,X2；x”) 为一个统计量。常见 统计 量及 其性 质样本均值2丄hn y 样本方差S2(Xi -X)2.n - 1 i m样本标准差11n样本k阶原点矩1 nM k =卜£ Xik, k =1,2n y样本k阶中心矩1 n -M k 二一工以-x)k, k =2,3n y2E(X)g Dgj，E(S2)2E(S*2)=匸?nJ其中s*2二巾(Xi -X)2，为二阶中心 n y7矩。(2)正 总 下 四态 体 的 大分布名师精编优秀资料正态分布设X1,X2；,Xn为来自正态总体 n|2)的一个样本，则样本函数 u= X-； N(0,1).分t布设X1,X2；,X”为来自正态总体 N的一个样本，则样本函数t= t(n 1),s/p n其中t(n-1)表示自由度为n-1的t分布。设xX2, X为来自正态总体N(*2)的一个样本，则样本函数2def(n1