概率论习题解答复习课程

1、精品文档1. 写出下列随机试验的样本空间：1) 记录一个小班一次数学考试的平均分数(以百分制记分)；2) 一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1、2、3、4、5,从中同时取出3个球；3) 某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数；4) 在单位圆内任意取一点，记录它的坐标.解：1)设小班共有n个学生，每个学生的成绩为0到100的整数，分别记为n_XiX1,X2， Xn，则全班平均分为X 口，于是样本空间为nS 0,-,2,100n=i|i 0,1,2,3,100 nn n n n2) 所有的组合数共有C；10种，S 123,124,125,134,135,145,234,23

2、5,245,3453) 至少射击一次，S 1,2,3, 4) 单位圆中的坐标(x,y)满足X2 y2 1， S (x,y)|x2 y2 12. 已知 A B， P(A) 0.3， P(B) 0.5，求 P(A)，P(AB)，P(AB)和 P(AB).解 P(A) 1 P(A) 10.3 0.7P(AB) P(A) 0.3 (因为 A B)P(AB) P(B A) P(B) P(A) 0.2P(AB) P(B) 0.5 (因为 A B，则 B A)3. 设有10件产品，其中6件正品，4件次品，从中任取3件，求下列事件的概 率：1) 只有一件次品；2) 最多1件次品；3) 至少1件次品.1 2解1

3、)设A表示只有一件次品，P(A) CC6.C102)设B为最多1件次品，则表示所取到的产品中或者没有次品，或者只有一件次品，P(B)c4cG30G303)设C表示至少1件次品，它的对立事件为没有一件次品,c3P(C) 1 P(C) 1 話C104. 盒子里有10个球，分别标有从1到10的标号，任选3球，记录其号码.(1) 求最小号码为5的概率.(2)求最大号码为5的概率.解1)若最小号码为5,贝U其余的2个球必从6, 7, 8, 9, 10号这5个球中取得则它的概率为Cr .Cio122)若最大号码为5,则其余的2个球必从1, 2, 3, 4号这4个球中取得 则它的概率为2丄.Cw205. 有

4、a个白球，b个黑球，从中一个一个不返回地摸球，直至留在口袋中的球都 是同一种颜色为止.求最后是白球留在口袋中概率.解 设最后留在口袋中的全是白球这一事件为 A，另设想把球继续依次取完，设 取到最后的一个球是白球这一事件为 B，可以验证A=B，显然P(B) a b6. 一间学生寝室中住有6位同学，求下列事件的概率：1) 6个人中至少有1人生日在10月份；2) 6个人中有4人的生日在10月份；3) 6个人中有4人的生日在同一月份.(假定每个人生日在同各个月份的可能性相同)解1)设6个人中至少有1人生日在10月份这一事件为A；它的逆事件为没 有一个人生日在10月份，生日不在10月份的概率为11 ，则

5、12116P(A) 1 P(A) 1 H;)122) 设6个人中有4人的生日在10月份这一事件为B，则P(B) C(4(丄)4(")2.12 123) 设6个人中有4人的生日在同一月份这一事件为C.则414 112P(C) 12P(B) 12C6(衫)(石)7. 甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被击中，问由甲射中的概率为多少？解 设A和B分别表示甲和乙射中。C表示目标被射中，则P(C)P(A B) P(A) P(B) P(AB) 0.6 0.5 0.30.8.P(AC) 0.6P(A|C)0.75PC)0.88. 某商店出售的电灯泡由甲、乙两

6、厂生产，其中甲厂的产品占60%，乙厂的产品占40%.已知甲厂产品的次品率为 4%,乙厂产品的次品率 5%. 一位顾客 随机地取出一个电灯泡，求它是合格品的概率.解 设A和B分别表示电灯泡由甲厂和乙厂生产，C表示产品为合格。则 P(C) P(A)P(C | A) P(B)P(C | B) 0.6 0.96 0.4 0.950.9569. 已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者.今从男女为数相等的 人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率多少？解 设挑选到的人为男性和女性分别为 A和B。另设某人是色盲患者为 C。由已精品文档1知条件，P(A) P(B) - , P(C

7、|A) 0.05 ； P(C|B) 0.0025.则 p(A|C)P(A)P(C|A)O'5 O'050.952P(A)P(C|A) P(B)P(C|B) 0.5 0.05 0.5 0.002510. 甲、乙、丙三人独立地向一敌机射击，设甲、乙、丙命中率分别为0.4, 0.5,0.7,又设敌机被击中1次，2次，3次而坠毁的概率分别为0.2，0.6, 1.现 三人向敌机各射击一次，求敌机坠毁的概率.解 设敌机被击中1 次, 2 次, 3次的事件分别为A , B, C.敌机坠毁的事件为D。则 P(D| A)0.2; P(D | B) 0.6; P(D |C)1P(A)0.4 (10

8、.5)(10.7)(10.4) 0.5(10-7)(10.4) (10.5) 0.70.36P(B)0.4 0.5(1 0.7) 0.4 (1 0.5) 0.7(10.4)0.50.70.51P(C)0.4 0.50.70.14P(D)P(A)P(D | A) P(B)P(D | B) P(C)P(D |C)0.360.2 0.41 0.60.14 10.45811. 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5, 1/3, 1/4.问 三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？解 三人译出密码分别记为 A , B, C。则A B C即为所求事件(三人中至少 有一人能将此密码译

9、出)。它的对立事件为ABC。又因为各人译出密码是相 互独立的，则 P(A B C) 1 P(ABC) 1(11/5)(1 1/3)(1 1/4)0.6袋中任意取一只球放入乙袋中, 率是多少？解设从甲袋中取出白球记为A ,P(B) P(A)PB| A) P(A)P(B| A)12. 甲袋中装有n只白球、m只红球；乙袋中装有N只白球、M只红球.今从甲 再从乙袋中任意取一只球，问取到白球的概从乙取出白球记为Bon N 1 m Nn(N 1) mNmnN M1m nM N1(m n )(M N 1)13. 做一系列独立的试验，每次成功的概率为p，求在成功n次之前已经失败了m次的概率.解根据题意，试验在

10、第n+m次是成功的(记为A),前n+m-1次中有m次是失 败的(记为B)o而前n+m-1次中有m次失败是一个二项分布 B (n+m-1,1-p), 所求概率为P(AB) P(A)P(B) pcn1(1 p)mpn 1 陷1(1 p)mpn14. 甲给乙打电话，但忘记了电话号码的最后 1位数字，因而对最后1位数字就 随机地拨号，若拨完整个电话号码算完成1次拨号，并假设乙的电话不占线(1)求到第k次才拨通乙的电话的概率；(2)求不超过k次而拨通乙的电话 的概率.(设k 10)解1)该问题相当于在09这十个数字中不放回抽样，第k次正好抽到所需的数 字这一个问题。根据抽签与次序无关的结果，第k次抽到的

11、概率为1/10o2)第二个问题相当于一次性地抓了 k个数字，所需数字正好在所抓的数字中这样一个问题。由于每个数字都是等可能被抽到，所需数字落在所抓数字中 的概率与所抓的数目k成正比。设Ak表示所需数字在所抓的k个数字中,P(AJ kC，其中 C 为常数。P(A,) 1/10(或 P(A,o)1)可得出 C=1/10。所以 P(AJ k/1015. 将3个小球随机地放入4个盒子中，求盒子中球的最多个数分别为1,2, 3的 概率解3个球随机放入4个盒子共有43种放法。盒子中最多个数为1,相当于4个盒 子中分别有1，1, 1, 0个球，这种情形的放法共有C：3!种(选一个空盒有4种选法，剩下的每盒有

12、一个球相当于全排列)。故 P(A1)学 |盒子中最多个数为3,相当于4个盒子中有一个盒子中有3个球，其它没有球。它的放法共有C：种(选一个盒子，放入3个球)。故P(A2) 盒子中求的最多个数为2相当于排除以上2种情况而剩下来的情形。3个盒子C：14316P(A2)1 P(A1) P(A3)13/8 1/169/1616.设有一传输信道，若将三字母A, B, C分别输入信道,输出为原字母的概率为,输出为其它字母的概率为(1)/2,现将3个字母串AAAA, BBBB,CCCC分别输入信道,输入的分别为P1, P2, P3,且P1+P2+P3=1,已知输出字母串 为ABCA,问输入为AAAA的概率是

13、多少？解 P(ABCA| AAAA)(1 ) (1 )2 2P(ABCA| BBBB) °°)2 2 22 2(1 )4(1 )38P( ABCA | CCCC)0)O )2 2 2(1)38P(AAAA| ABCA)P(AAAA) P(ABCA | AAAA)P(AAAA)P(ABCA | AAAA) P(BBBB)P(ABCA |BBBB) P(CCCC )P( ABCA | CCC'P12(1)2P12(1)2P2)3P3)32 5(31)P1 (1)17. 证明：若P(A| B) P(A| B),则事件A与B相互独立.p(b)p(aB)证明：P(A|B)謁,P(A|B)器2，所以P(AB)响即 P(AB)1P(B)P(B)P(A) P(AB)即 P(AB) P(A)P(B)18. 某地区约有5%的人体内携带有乙肝病毒，求该地区某校一个班的50名学生 中至少有一人体内携带有乙肝病毒的概率解 设A为学生携带有 乙肝病毒， P(A) 0.05.不携带 有乙肝 病毒为A，P(A) 0.95，50名学生中至少有一人体内携带有乙肝病毒的对立事件是 50 名学生都不携带有乙肝病毒，P( 50名学生都不携带有乙肝病毒)=0.9550 o 所以P (